Antisymetrický operátor - Anti-symmetric operator

v kvantová mechanika, a zvyšování nebo spouštěcí operátor (souhrnně označováno jako operátoři žebříků ) je operátor který zvyšuje nebo snižuje vlastní číslo jiného operátora. V kvantové mechanice se operátor zvedání někdy nazývá operátor vytvoření a operátor spouštění operátor vyhlazení. Známé aplikace operátorů žebříku v kvantové mechanice jsou ve formalizmech kvantový harmonický oscilátor a moment hybnosti.

Úvod

Další typ operátora v kvantová teorie pole, objevený na začátku 70. let, je známý jako anti-symetrický operátor. Tento operátor, podobný rotaci v nerelativistickém kvantová mechanika je operátor žebříku který může vytvořit dva fermiony opačného vytočení z a boson nebo a boson ze dvou fermiony. A Fermion, pojmenovaná podle Enrica Fermiho, je částice s poločíselným spinem, jako jsou elektrony a protony. To je hmotná částice. A boson, pojmenoval podle S. N. Bose, je částice s úplným celočíselným spinem, jako jsou fotony a W. Toto je částice nesoucí sílu.

Roztočit

Nejprve přezkoumáme spin pro nerelativistickou kvantovou mechaniku. Spin, vnitřní vlastnost podobná momentu hybnosti, je definován operátorem spin S který hraje roli v systému podobném operátorovi L pro orbitální moment hybnosti. Provozovatelé ${displaystyle S ^ {2}}$ a ${displaystyle S_ {z}}$ jejichž vlastní čísla jsou ${displaystyle S ^ {2} | s, mangle = s (s + 1) hbar ^ {2} | s, mangle}$ a ${displaystyle S_ {z} | s, mangle = mhbar | s, mangle}$ resp. Tyto formalizmy také poslouchají obvyklé komutační vztahy pro moment hybnosti ${displaystyle [S_ {x}, S_ {y}] = ihbar S_ {z}}$, ${displaystyle [S_ {y}, S_ {z}] = ihbar S_ {x}}$, a ${displaystyle [S_ {z}, S_ {x}] = ihbar S_ {y}}$. Operátory zvedání a spouštění, ${displaystyle S _ {+}}$ a ${displaystyle S _ {-}}$, jsou definovány jako ${displaystyle S _ {+} = S_ {x} + icdot S_ {y}}$ a ${displaystyle S _ {-} = S_ {x} -icdot S_ {y}}$ resp. Tito operátoři žebříku jednají v následujícím stavu ${displaystyle S _ {+} | s, mangle = hbar {sqrt {s (s + 1) -m (m + 1)}} | s, m + 1angle}$ a ${displaystyle S _ {-} | s, mangle = hbar {sqrt {s (s + 1) -m (m-1)}} | s, m-1angle}$ resp.

Operátory S_x a S_y lze určit pomocí žebříkové metody. V případě točení 1/2 případu (fermion) operátor ${displaystyle S _ {+}}$ působící na stát produkuje ${displaystyle S _ {+} | + úhel = 0}$ a ${displaystyle S _ {+} | -angle = hbar | + úhel}$. Stejně tak operátor ${displaystyle S _ {-}}$ působící na stát produkuje ${displaystyle S _ {-} | -angle = 0}$ a ${displaystyle S _ {-} | + úhel = hbar | -angle}$. Maticové reprezentace těchto operátorů jsou konstruovány následovně:

${displaystyle [S _ {+}] = {egin {bmatrix} langle + | S _ {+} | + úhel & langle + | S _ {+} | -angle langle - | S _ {+} | + úhel & langle - | S_ { +} | -angle end {bmatrix}} = hbar cdot {egin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0end {bmatrix}}}$

${displaystyle [S _ {-}] = {egin {bmatrix} langle + | S _ {-} | + úhel & langle + | S _ {-} | -angle langle - | S _ {-} | + úhel & langle - | S_ { -} | -angle end {bmatrix}} = hbar cdot {egin {bmatrix} 0 & 0 1 & 0end {bmatrix}}}$

Proto, ${displaystyle S_ {x}}$ a ${displaystyle S_ {y}}$ mohou být reprezentovány maticovými reprezentacemi:

${displaystyle [S_ {x}] = {frac {hbar} {2}} cdot {egin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0end {bmatrix}}}$

${displaystyle [S_ {y}] = {frac {hbar} {2}} cdot {egin {bmatrix} 0 & -i i & 0end {bmatrix}}}$

Připomínaje obecný vztah nejistoty pro dva operátory A a B, ${displaystyle Delta _ {psi} A, Delta _ {psi} Bgeq {frac {1} {2}} left | leftlangle left [{A}, {B} ight] ightangle _ {psi} ight |}$, můžeme okamžitě vidět, že neurčitost vztah operátorů ${displaystyle S_ {x}}$ a ${displaystyle S_ {y}}$ jsou následující:

${displaystyle Delta _ {psi} S_ {x}, Delta _ {psi} S_ {y} geq {frac {1} {2}} left | leftlangle left [{S_ {x}}, {S_ {y}} ight ] ightangle _ {psi} ight | = {frac {1} {2}} (ihbar S_ {z}) = {frac {hbar} {2}} S_ {z}}$

Stejně jako orbitální moment hybnosti tedy můžeme specifikovat pouze jednu souřadnici najednou. Specifikujeme operátory ${displaystyle S ^ {2}}$ a ${displaystyle S_ {z}}$.

Aplikace v teorii kvantového pole

Vytvoření částice a anti-částice z bosonu je definováno podobně, ale pro nekonečné dimenze. Proto Symbol Levi-Civita pro nekonečné rozměry.

${displaystyle varepsilon _ {ijkell dots} = left {{egin {matrix} + 1 & {mbox {if}} (i, j, k, ell, dots) {mbox {is an even permutation of}} (1,2, 3,4, tečky) - 1 & {mbox {if}} (i, j, k, ell, tečky) {mbox {je lichá permutace}} (1,2,3,4, tečky) 0 & { mbox {pokud jsou dva štítky stejné}} konec {matice}} vpravo.}$

Komutační vztahy se jednoduše přenášejí do nekonečných dimenzí ${displaystyle [S_ {i}, S_ {j}] = ihbar S_ {k} varepsilon _ {ijk}}$. ${displaystyle S ^ {2}}$ se nyní rovná ${displaystyle S ^ {2} = součet _ {m = 1} ^ {n} S_ {m} ^ {2}}$ kde n = ∞. Jeho vlastní hodnota je ${displaystyle S ^ {2} | s, m> = s (s + 1) hbar ^ {2} | s, m>}$. Definování magnetického kvantového čísla, momentu hybnosti promítaného ve směru z, je náročnější než jednoduchý stav rotace. Problém se stává obdobou moment setrvačnosti v klasická mechanika a je zobecnitelný na n rozměrů. Právě tato vlastnost umožňuje vytváření a ničení bosonů.

Bosoni

Charakterizovaný jejich rotací, a bosonické pole mohou to být skalární pole, vektorová pole a dokonce i tenzorová pole. Pro ilustraci je kvantovaným elektromagnetickým polem fotonové pole, které lze kvantizovat pomocí konvenčních metod kanonické nebo dráhové integrální kvantizace. To vedlo k teorii kvantové elektrodynamiky, pravděpodobně nejúspěšnější teorii ve fyzice. Gravitonové pole je kvantované gravitační pole. Teprve musí existovat teorie, která kvantuje gravitační pole, ale teorie, jako je teorie strun, lze považovat za kvantifikované gravitační pole. Příklad nerelativistického bosonické pole je popisující chladné bosonické atomy, jako je Helium-4. Volná bosonická pole dodržují komutační vztahy:

${displaystyle [a_ {i}, a_ {j}] = [a_ {i} ^ {dagger}, a_ {j} ^ {dagger}] = 0}$

${displaystyle [a_ {i}, a_ {i} ^ {dagger}] = jazyk f | gangle}$,

Pro ilustraci předpokládejme, že máme systém N bosonů, které zaujímají vzájemně ortogonální stavy jedné částice ${displaystyle | phi _ {1} úhel, | phi _ {2} úhel, | phi _ {3} úhel}$atd. Pomocí obvyklé reprezentace předvedeme systém přiřazením stavu každé částice a následným zavedením směnné symetrie.

${displaystyle {frac {1} {sqrt {3}}} vlevo [| phi _ {1} úhel | phi _ {2} úhel | phi _ {3} úhel + | phi _ {2} úhel | phi _ {1 } úhel | phi _ {3} úhel + | phi _ {3} úhel | phi _ {2} úhel | phi _ {1} úhel ight].}$

Tuto vlnovou rovnici lze reprezentovat pomocí druhého kvantovaného přístupu, známého jako druhá kvantizace. Je uveden počet částic v každém stavu jedné částice.

${displaystyle | 1,2,0,0,0, úhel cdots,}$

The operátory tvorby a zničení, které sčítají a odečítají částice ze stavů více částic. Tito operátoři vytváření a zničení jsou velmi podobní operátorům definovaným pro kvantový harmonický oscilátor, který přidal a odečetl energetická množství. Tito operátoři však doslova vytvářejí a ničí částice s daným kvantovým stavem. Operátor bosonického zničení ${displaystyle a_ {2}}$ a operátor vytvoření ${displaystyle a_ {2} ^ {dýka}}$ mít následující účinky:

${displaystyle a_ {2} | N_ {1}, N_ {2}, N_ {3}, cdots angle = {sqrt {N_ {2}}} uprostřed N_ {1}, (N_ {2} -1), N_ {3}, úhel cdots,}$

${displaystyle a_ {2} ^ {dagger} | N_ {1}, N_ {2}, N_ {3}, cdots angle = {sqrt {N_ {2} +1}} uprostřed N_ {1}, (N_ {2 } +1), N_ {3}, úhel cdots.}$

Jako operátoři tvorby a zničení ${displaystyle a_ {i}}$ a ${displaystyle a_ {i} ^ {dýka}}$ také nalezeno v Teorie kvantového pole, operátory vytváření a zničení ${displaystyle S_ {i} ^ {+}}$ a ${displaystyle S_ {i} ^ {-}}$ působí na bosony ve vícečásticových stavech. Zatímco ${displaystyle a_ {i}}$ a ${displaystyle a_ {i} ^ {dýka}}$ umožňuje nám určit, zda byla v systému vytvořena nebo zničena částice, operátory odstřeďování ${displaystyle S_ {i} ^ {+}}$ a ${displaystyle S_ {i} ^ {-}}$ dovolte nám určit jak. Foton se může stát pozitronem i elektronem a naopak. Kvůli anti-symetrické statistice, částice rotace ${displaystyle {frac {1} {2}}}$ dodržuje pravidlo vyloučení Pauli. Dvě částice mohou existovat ve stejném stavu právě tehdy, je-li rotace částice opačná.

Zpět k našemu příkladu je stav rotace částice spin-1. Symetrické částice neboli bosony se nemusí řídit Pauliho vylučovacím principem, takže můžeme reprezentovat spinový stav částice následovně:

${displaystyle | 1, ix, 0,0,0, úhel cdots,}$ a ${displaystyle | 1, -ix, 0,0,0, úhel cdots,}$

Operátor zničení spin, jak jeho název napovídá, ničí foton na elektron i pozitron. Podobně operátor vytváření rotace vytvoří foton. Foton může být v tomto příkladu buď v prvním stavu, nebo ve druhém stavu. Pokud použijeme operátor lineární hybnosti

Bosonizace

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Září 2010)

Fermiony

Proto definujeme operátora ${displaystyle S_ {i} +}$ a ${displaystyle S_ {i} -}$. V případě nerelativistické částice, pokud ${displaystyle S _ {+}}$ je aplikováno na fermiona dvakrát, výsledné vlastní číslo je 0. Podobně vlastní číslo je 0, když ${displaystyle S _ {-}}$ se aplikuje na fermion dvakrát. Tento vztah vyhovuje Princip vyloučení Pauli. Avšak bosony jsou symetrické částice, které se neřídí Pauliho principem vyloučení.

Reference

• Griffiths, David J. (2004). Úvod do kvantové mechaniky (2. vydání). Prentice Hall. ISBN  0-13-111892-7.
• McMahon, David (2006). Kvantová mechanika DeMystified: Průvodce samoukem. Společnosti McGraw-Hill. ISBN  0-07-145546-9.