Vzorec pro dexp bylo poprvé prokázáno Friedrich Schur (1891).[3] To bylo později rozpracováno Henri Poincaré (1899) v kontextu problému vyjádření množení Lieových skupin pomocí Lieových algebraických výrazů.[4] To je také někdy známé jako Duhamelův vzorec.
Skrz notace exp (X) a EX budou použity zaměnitelně k označení exponenciálu daného argumentu, až na když, jak je uvedeno, byly notace vyhrazeny odlišný významy. Pro lepší čitelnost v rovnicích je zde preferována notace ve stylu kalkulu. Na druhou stranu exp-style je někdy vhodnější pro inline rovnice a je nezbytný ve výjimečných případech, kdy je třeba rozlišovat.
X = X(t) je C1 (spojitě diferencovatelná) cesta v Lieově algebře s derivací X ´(t) = dX(t)/dt. Argument t je vynechán, pokud není potřeba.
inzerátX je lineární transformace Lieovy algebry daná inzerátX(Y) = [X, Y]. To je adjunkční akce lže algebry na sobě.
Zlomek 1 - exp (−adX)/inzerátX je dána výkonovou řadou
(2)
odvozeno od výkonové řady exponenciální mapy lineárního endomorfismu, jako v maticovém umocňování[6]
Když G je maticová Lieova skupina, všechny výskyty exponenciálu jsou dány jejich rozšířením výkonových řad.
Když G je ne maticová Lieova skupina, 1 - exp (−adX)/inzerátX je stále dána jeho výkonovou řadou (2), zatímco další dva výskyty exp ve vzorci, které nyní jsou exponenciální mapa v Lieově teorii, podívejte se na časovou jednotku tok z vlevo neměnnývektorové poleX, tj. prvek Lieovy algebry, jak je definován v obecném případě, na Lieově skupině G zobrazeno jako analytické potrubí. To stále představuje přesně stejný vzorec jako v případě matice.
Vzorec platí pro případ, kdy exp je považován za mapu na maticovém prostoru ℝ nebo ℂviz exponenciální matice. Když G = GL (n, ℂ) nebo GL (n, ℝ), pojmy se přesně shodují.
Vypočítat rozdíldexp z exp na X, dexpX: TGX → TGexp (X), standardní recept[2]
vyplývá okamžitě z (1). Zejména, dexp0: TG0 → TGexp (0) = TGE je identita, protože TGX ≃ G (od té doby G je vektorový prostor) a TGE ≃ G.
Důkaz
Důkaz uvedený níže předpokládá maticovou Lieovu skupinu. To znamená, že exponenciální mapování z Lieovy algebry na maticovou Lieovu skupinu je dáno obvyklou výkonovou řadou, tj. Maticovým umocněním. Závěr důkazu stále platí v obecném případě, za předpokladu, že dojde k exp je správně interpretován. Viz komentáře k obecnému případu níže.
Osnova důkazu využívá techniku diferenciace s ohledem na s parametrizovaného výrazu
získat diferenciální rovnici prvního řádu pro Γ které lze poté vyřešit přímou integrací do s. Řešení tedy je EX Γ (1, t).
Lemma Nechat Inzerát označit adjunkční akce skupiny na její Lie algebře. Akce je dána InzerátAX = AXA−1 pro A ∈ G, X ∈ G. Často užitečný vztah mezi Inzerát a inzerát darováno[7][poznámka 1]
(4)
Důkaz Použití pravidla produktu dvakrát jeden najde,
Využití formální mocenské řady k rozšíření exponenciálu, integrace po termínech a nakonec rozpoznání (2),
a výsledek následuje. Důkaz, jak je zde uveden, je v podstatě ten, který je uveden v Rossmann (2002). Důkaz s více algebraickým nádechem najdete v Hall (2015).[8]
Tady exp-notace se používá pro exponenciální mapování Lieovy algebry a zápis ve stylu kalkulu ve zlomku označuje obvyklé formální rozšíření řady. Další informace a dva úplné důkazy v obecném případě viz volně dostupné Sternberg (2004) odkaz.
Přímý formální argument
Okamžitý způsob, jak zjistit, co odpověď musí za předpokladu, že existuje, je následující. Existenci je třeba v každém případě prokázat samostatně. Přímou diferenciací definice standardního limitu exponenciálu a výměnou pořadí diferenciace a limitu,
kde každý faktor vděčí za své místo nekomutativitě X(t) a X ´(t).
Rozdělení jednotkového intervalu na N sekce Δs = Δk/N (Δk = 1 protože součtové indexy jsou celá čísla) a letting N → ∞, Δk → dk, k/N → s, Σ → ∫ výnosy
Aplikace
Místní chování exponenciální mapy
The věta o inverzní funkci společně s derivátem exponenciální mapy poskytuje informace o místním chování exp. Žádný Ck, 0 ≤ k ≤ ∞, ω mapa F mezi vektorovými prostory (zde nejprve uvažujeme maticové Lieovy skupiny) má a Ck inverzní tak, že F je Ck bijekce v otevřené množině kolem bodu X v poskytnuté doméně dfX je invertibilní. Z (3) z toho vyplývá, že k tomu dojde právě tehdy
je invertibilní. To se zase stane, když jsou vlastní čísla tohoto operátoru nenulová. Vlastní čísla 1 - exp (−adX)/inzerátX souvisí s těmi z inzerátX jak následuje. Li G je analytická funkce komplexní proměnné vyjádřené v výkonové řadě tak, že G(U) pro matici U konverguje, pak vlastní čísla G(U) bude G(λij), kde λij jsou vlastní čísla z U, dvojitý dolní index je objasněn níže.[pozn. 3] V tomto případě s G(U) = 1 - exp (-U)/U a U = reklamaX, vlastní čísla 1 - exp (−adX)/inzerátX jsou
Kde λij jsou vlastní čísla z inzerátX. Uvedení 1 - exp (-λij)/λij = 0 jeden to vidí dexp je invertibilní přesně, když
Vlastní čísla inzerátX jsou zase příbuzní těm z X. Nechť vlastní čísla z X být λi. Opravte objednaný základ Ei podkladového vektorového prostoru PROTI takhle X je nižší trojúhelníkový. Pak
se zbývajícími termíny násobky En s n > i. Nechat Eij být odpovídajícím základem pro maticový prostor, tj. (Eij)kl = δikδjl. Objednejte si tento základ tak Eij < Enm -li i − j < n − m. Jeden kontroluje, že akce inzerátX darováno
se zbývajícími termíny násobky Emn > Eij. Tohle znamená tamto inzerátX je nižší trojúhelníkový se svými vlastními hodnotami λij = λi − λj na úhlopříčce. Závěr je takový dexpX je tedy invertibilní exp je místní bianalytická bijekce kolem X, když vlastní čísla X uspokojit[10][pozn. 4]
Zejména v případě maticových Lieových skupin z toho vyplývá, protože dexp0 je invertibilní tím, že věta o inverzní funkci že exp je bi-analytická bijekce v sousedství 0 ∈ G v maticovém prostoru. Dále exp, je bi-analytická bijekce ze sousedství 0 ∈ G v G do sousedství E ∈ G.[11] Stejný závěr platí pro obecné Lieovy skupiny používající rozmanitou verzi věty o inverzní funkci.
Nicméně, pomocí vztahu mezi Inzerát a inzerát dána (4), je přímé to dále vidět
a tudíž
Uvedení do podoby integrálu v t od 0 do 1 výnosů,
an integrální vzorec pro Z(1) to je v praxi přijatelnější než explicitní Dynkinova formule řady z důvodu jednoduchosti rozšíření řady o ψ. Všimněte si, že tento výraz se skládá z X + Y a jejich vnořené komutátory s X nebo Y. Učebnicový důkaz v tomto směru najdete v Hall (2015) a Miller (1972).
Odvození Dynkinovy řady
Eugene Dynkin doma v roce 2003. V roce 1947 Dynkin prokázal výslovný vzorec řady BCH.[15]Poincaré, Pekař, Campbell a Hausdorff se většinou zabývaly existence řady závorek, která postačuje v mnoha aplikacích, například k prokázání ústředních výsledků v Lež korespondence.[16][17] Foto s laskavým svolením Dynkin Collection.
Dynkinův vzorec může být také odvozen analogicky, počínaje parametrickým rozšířením
V tomto bodě je evidentní, že kvalitativní vyjádření vzorce BCH platí, a to Z leží v Lieově algebře generované X, Y a je vyjádřitelný jako řada v opakovaných závorkách (A). Pro každého k, výrazy pro každý jejich oddíl jsou uspořádány uvnitř integrálu ∫dttk − 1. Výsledný Dynkinův vzorec je tedy
Podobný důkaz s podrobným rozšířením série najdete v části Rossmann (2002).
Kombinatorické detaily
Změňte součtový index v (5) na k = n − 1 a rozšířit
(97)
v silové řadě. Chcete-li jednoduše zvládnout rozšíření série, zvažte nejprveZ = log (EXEY). The log-series and the exp- série jsou dány
resp. Kombinace těchto získá
(98)
To se stává
(99)
kde Sk je množina všech sekvencí s = (i1, j1, …, ik, jk) délky 2k za podmínek v (99).
Nyní nahradit (EXEY − 1) pro (EinzeráttXEinzeráttY − 1) v LHS z (98). Rovnice (99) pak dává
Všimněte si, že součet index pro nejvíce vpravo EinzeráttX ve druhém semestru v (97) je označen ik + 1, ale je ne prvek sekvence s ∈ Sk. Nyní integrujte Z = Z(1) = ∫dZ/dtdt, použitím Z(0) = 0,
Napište to jako
To činí
(100)
pomocí jednoduchého pozorování [T, T] = 0 pro všechny T. To je v (100), hlavní termín zmizí, pokud jk + 1 rovná se 0 nebo 1, což odpovídá prvnímu a druhému členu v rovnici před ním. V případě jk + 1 = 0, ik + 1 musí se rovnat 1, jinak termín zmizí ze stejného důvodu (ik + 1 = 0 není povoleno). Nakonec posuňte index, k → k − 1,
Toto je Dynkinův vzorec. Nápadná podobnost s (99) není náhodná: odráží Mapa Dynkin – Specht – Wever, což je základem původního, odlišného odvození vzorce.[15] A to, -li
^Důkaz totožnosti najdete v tady. Jedná se jednoduše o vztah mezi reprezentací Lieovy skupiny a její Lieovy algebry podle Lež korespondence, protože oba Inzerát a inzerát jsou reprezentace s reklama = dInzerát.
^To platí pro | z - 1 | <1 kde Tady, τ je exponenciální generující funkce kde bk jsou Bernoulliho čísla.
^To je vidět výběrem základu pro podkladový vektorový prostor tak, že U je trojúhelníkový, přičemž vlastní čísla jsou diagonální prvky. Pak Uk je trojúhelníkový s diagonálními prvky λik. Z toho vyplývá, že vlastní čísla U jsou F(λi). Vidět Rossmann 2002, Lemma 6 v oddíle 1.2.
^Matice, jejichž vlastní hodnoty λ uspokojit | Im λ| < π jsou pod exponenciálem v bijekci s maticemi, jejichž vlastní hodnoty μ nejsou na záporné reálné linii nebo na nule. The λ a μ jsou spojeny komplexním exponenciálem. Vidět Rossmann (2002) Poznámka 2c oddíl 1.2.
Hall, Brian C. (2015), Lieovy skupiny, Lieovy algebry a reprezentace: Základní úvod, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN978-3319134666
Miller, Wllard (1972), Skupiny symetrie a jejich aplikaceAkademický tisk, ISBN0-12-497460-0
Poincaré, H. (1899), "Sur les groupes continus", Cambridge Philos. Trans., 18: 220–55
Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups, Oxfordské postgraduální texty z matematiky, Oxford Science Publications, ISBN0 19 859683 9
Schur, F. (1891), „Zur Theorie der endlichen Transformationsgruppen“, Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg, 4: 15–32
Suzuki, Masuo (1985). "Dekompoziční vzorce exponenciálních operátorů a Lieovy exponenciály s některými aplikacemi pro kvantovou mechaniku a statistickou fyziku". Journal of Mathematical Physics. 26 (4): 601. Bibcode:1985JMP .... 26..601S. doi:10.1063/1.526596.