Hmotnost (teorie reprezentace) - Weight (representation theory)

V matematický pole teorie reprezentace, a hmotnost z algebra A přes pole F je homomorfismus algebry z A na F, nebo ekvivalentně, jednorozměrný zastoupení z A přes F. Je to analogie algebry a multiplikativní charakter a skupina. Důležitost koncepce však vyplývá z její aplikace na reprezentace z Lež algebry a tedy také reprezentace z algebraický a Lež skupiny. V této souvislosti a váha reprezentace je zobecněním pojmu vlastní číslo a odpovídající vlastní prostor se nazývá a váhový prostor.

Motivace a obecná koncepce

Vzhledem k sadě S z matice, z nichž každý je úhlopříčně a jakékoli další dva dojíždět, je vždy možné současně diagonalizovat všechny prvky S.^{[poznámka 1]}^{[poznámka 2]} Ekvivalentně pro jakoukoli sadu S vzájemného dojíždění polojednoduchý lineární transformace konečně-dimenzionální vektorový prostor PROTI existuje základ PROTI skládající se z simultánní vlastní vektory všech prvků S. Každý z těchto společných vlastních vektorů proti ∈ PROTI definuje a lineární funkční na subalgebře U konce (PROTI) generovaný souborem endomorfismů S; tato funkce je definována jako mapa, která je přidružena ke každému prvku U jeho vlastní hodnota na vlastním vektoru proti. Tato mapa je také multiplikativní a posílá identitu na 1; jedná se tedy o homomorfismus algebry z U do základního pole. Tato „zobecněná vlastní hodnota“ je prototypem pojmu váha.

Pojem úzce souvisí s myšlenkou a multiplikativní charakter v teorie skupin, což je homomorfismus χ od a skupina G do multiplikativní skupina a pole F. Tím pádem χ: G → F^× splňuje χ(E) = 1 (kde E je prvek identity z G) a

{ displaystyle chi (gh) = chi (g) chi (h)}

pro všechny G, h v G.

Opravdu, pokud G činy na vektorovém prostoru PROTI přes F, každý současný vlastní prostor pro každý prvek G, pokud existuje, určuje multiplikativní znak na G: vlastní číslo na tomto společném vlastním prostoru každého prvku skupiny.

Pojem multiplikativní charakter lze rozšířit na jakýkoli algebra A přes Fnahrazením χ: G → F^× podle a lineární mapa χ: A → F s:

{ displaystyle chi (ab) = chi (a) chi (b)}

pro všechny A, b v A. Pokud algebra A činy na vektorovém prostoru PROTI přes F libovolnému současnému vlastnímu prostoru to odpovídá homomorfismus algebry z A na F přiřazení ke každému prvku A jeho vlastní hodnota.

Li A je Lež algebra (což obecně není asociativní algebra), pak místo toho, aby se vyžadovala multiplikativita znaku, vyžaduje se, aby mapovala libovolnou Lieovu závorku na odpovídající komutátor; ale od F je komutativní, to jednoduše znamená, že tato mapa musí zmizet v Lieových závorkách: χ([a, b]) = 0. A hmotnost na algebře lži G přes pole F je lineární mapa λ: G → F s λ ([X, y]) = 0 pro všechny X, y v G. Jakákoli váha na lže algebře G zmizí na odvozená algebra [G,G] a proto sestupuje na váhu na Abelian Lie Algebra G/[G,G]. Váhy jsou tedy primárně zajímavé pro abelianské Lieovy algebry, kde se redukují na jednoduchou představu zobecněného vlastního čísla pro prostor dojíždění lineárních transformací.

Li G je Lež skupina nebo algebraická skupina, pak multiplikativní znak θ: G → F^× vyvolává váhu χ = dθ: G → F na jeho Lieově algebře diferenciací. (U Lieových skupin se jedná o diferenciaci u prvku identity G, a případ algebraické skupiny je abstrakce používající pojem derivace.)

Váhy v teorii reprezentace polojednodušých Lieových algeber

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ být komplexní polojediný Lie algebra a ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ Cartanova subalgebra z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . V této části popisujeme koncepty potřebné k formulaci „věty o nejvyšší hmotnosti“ klasifikující konečně-dimenzionální reprezentace ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Zejména vysvětlíme pojem „dominantní integrální prvek“. Samotná znázornění jsou popsána ve výše uvedeném článku.

Váha reprezentace

Příklad vah reprezentace Lieovy algebry sl (3, C)

Nechat PROTI být reprezentací Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ přes C a nechť λ je lineární funkce ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ . Pak váhový prostor z PROTI s váhou λ je podprostor ${ displaystyle V _ { lambda}}$ dána

{ displaystyle V _ { lambda}: = {v ve V: forall H in { mathfrak {h}}, quad H cdot v = lambda (H) v }}

.

A váha reprezentace PROTI je lineární funkční λ tak, že odpovídající váhový prostor je nenulový. Nenulové prvky váhového prostoru se nazývají váhové vektory. To znamená, že váhový vektor je současný vlastní vektor pro působení prvků prvku ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ , s odpovídajícími vlastními čísly danými λ.

Li PROTI je přímý součet jeho váhových prostorů

{ displaystyle V = bigoplus _ { lambda v { mathfrak {h}} ^ {*}} V _ { lambda}}

pak se nazývá a hmotnostní modul; to odpovídá tomu, že existuje obyčejný vlastní základna (základ simultánních vlastních vektorů) pro všechny reprezentované prvky algebry, tj. k jejich současně diagonalizovatelným maticím (viz diagonalizovatelná matice ).

Li G je skupina s Lieovou algebrou ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , každé konečně-dimenzionální znázornění G vyvolává reprezentaci ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Váha reprezentace G je pak jednoduše váha přidruženého zobrazení ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Mezi vahami skupinových reprezentací a Lieovými algebrickými reprezentacemi je jemný rozdíl, což znamená, že v obou případech existuje odlišná představa o podmínce integrity; viz. níže. (Podmínka integrity je v případě skupiny přísnější, což odráží to, že ne každá reprezentace Lieovy algebry pochází z reprezentace skupiny.)

Akce kořenových vektorů

Li PROTI je adjunkční reprezentace z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , nenulové hmotnosti PROTI jsou nazývány kořeny, váhové prostory se nazývají kořenové prostory a váhové vektory se nazývají kořenové vektory. Výslovně lineární funkční ${ displaystyle alpha}$ na ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ se nazývá root, pokud ${ displaystyle alpha neq 0}$ a existuje nenulová hodnota ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ takhle

{ displaystyle [H, X] = alfa (H) X}

pro všechny ${ displaystyle H}$ v ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ . Sbírka kořenů tvoří a kořenový systém.

Z pohledu teorie reprezentace je význam kořenů a kořenových vektorů následujícím elementárním, ale důležitým výsledkem: If PROTI je reprezentace ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , proti je váhový vektor s váhou ${ displaystyle lambda}$ a X je kořenový vektor s rootem ${ displaystyle alpha}$ , pak

{ displaystyle H cdot (X cdot v) = [( lambda + alfa) (H)] (X cdot v)}

pro všechny H v ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ . To znamená, ${ displaystyle X cdot v}$ je buď nulový vektor, nebo váhový vektor s váhou ${ displaystyle lambda + alpha}$ . Akce tedy ${ displaystyle X}$ mapuje váhový prostor s váhou ${ displaystyle lambda}$ do váhového prostoru s váhou ${ displaystyle lambda + alpha}$ .

Integrální prvek

Algebraicky integrální prvky (trojúhelníková mřížka), dominantní integrální prvky (černé tečky) a základní váhy pro sl (3, C)

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ {0} ^ {*}}$ být skutečným podprostorem ${ displaystyle { mathfrak {h}} ^ {*}}$ generované kořeny ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Pro výpočty je vhodné zvolit vnitřní produkt, který je neměnný pod Weylovou skupinou, tj. Pod odrazy nad rovinami kolmými ke kořenům. Tento vnitřní produkt pak můžeme použít k identifikaci ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ {0} ^ {*}}$ s podprostorem ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ {0}}$ z ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ . S touto identifikací je kořen přidružený ke kořenu ${ displaystyle alpha}$ je uveden jako

{ displaystyle H _ { alpha} = 2 { frac { alpha} { langle alpha, alpha rangle}}}

.

Nyní definujeme dva různé pojmy integrality pro prvky ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ {0}}$ . Motivace pro tyto definice je jednoduchá: Váhy konečných dimenzionálních reprezentací ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ splňují první podmínku integrity, zatímco pokud G je skupina s Lie algebrou ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , váhy konečných trojrozměrných reprezentací G splnit druhou podmínku integrity.

Prvek ${ displaystyle lambda v { mathfrak {h}} _ {0}}$ je algebraicky integrální -li

{ displaystyle langle lambda, H _ { alpha} rangle = 2 { frac { langle lambda, alpha rangle} { langle alpha, alpha rangle}} in mathbf {Z} }

pro všechny kořeny ${ displaystyle alpha}$ . Motivací pro tento stav je, že kořen ${ displaystyle H _ { alpha}}$ lze identifikovat pomocí H prvek ve standardu ${ displaystyle {X, Y, H}}$ základ pro sl (2,C) -subalgebra z G.^[1] Podle základních výsledků pro sl (2,C), vlastní čísla ${ displaystyle H _ { alpha}}$ v jakékoli konečně-dimenzionální reprezentaci musí být celé číslo. Dospěli jsme k závěru, že jak je uvedeno výše, váha jakéhokoli konečně-dimenzionálního zobrazení ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je algebraicky integrální.^[2]

The základní váhy ${ displaystyle omega _ {1}, ldots, omega _ {n}}$ jsou definovány vlastností, ze které tvoří základ ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ {0}}$ duální na sadu kořenů spojených s jednoduché kořeny. To znamená, že základní váhy jsou definovány podmínkou

{ displaystyle 2 { frac { langle omega _ {i}, alpha _ {j} rangle} { langle alpha _ {j}, alpha _ {j} rangle}} = delta _ {i, j}}

kde ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots alpha _ {n}}$ jsou jednoduché kořeny. Prvek ${ displaystyle lambda}$ je pak algebraicky integrální právě tehdy, pokud jde o integrální kombinaci základních vah.^[3] Sada všech ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -integrované závaží je a mříž v ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ {0}}$ volala váhová mřížka pro ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , označeno ${ displaystyle P ({ mathfrak {g}})}$ .

Obrázek ukazuje příklad Lieovy algebry sl (3, C), jejíž kořenový systém je ${ displaystyle A_ {2}}$ kořenový systém. Existují dva jednoduché kořeny, ${ displaystyle gamma _ {1}}$ a ${ displaystyle gamma _ {2}}$ . První zásadní váha, ${ displaystyle omega _ {1}}$ , by měly být kolmé na ${ displaystyle gamma _ {2}}$ a měl by vyčnívat kolmo na polovinu ${ displaystyle gamma _ {1}}$ , a podobně pro ${ displaystyle omega _ {2}}$ . Váhová mřížka je pak trojúhelníková mřížka.

Předpokládejme, že teď leží algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je Lieova algebra skupiny Lie G. Pak to říkáme ${ displaystyle lambda v { mathfrak {h}} _ {0}}$ je analyticky integrální (G-integrál) pokud pro každého t v ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ takhle ${ displaystyle exp (t) = 1 v G}$ my máme ${ displaystyle langle lambda, t rangle in 2 pi i mathbf {Z}}$ . Důvod pro vytvoření této definice je, že pokud jde o reprezentaci ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ vyplývá z reprezentace G, pak váhy reprezentace budou G-integrální.^[4] Pro G polojediný, soubor všech G-integrované závaží je sublattice P(G) ⊂ P( ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ). Li G je jednoduše připojeno, pak P(G) = P( ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ). Li G není jednoduše spojeno, pak mříž P(G) je menší než P( ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ) a jejich kvocient je isomorfní s základní skupina z G.^[5]

Částečné uspořádání v prostoru závaží

Pokud jsou pozitivní kořeny

{ displaystyle alpha _ {1}}

,

{ displaystyle alpha _ {2}}

, a

{ displaystyle alpha _ {3}}

, stínovaná oblast je sada bodů vyšších než

{ displaystyle lambda}

Nyní zavedeme částečné uspořádání na množině vah, které bude použito k formulaci věty o nejvyšší hmotnosti popisující reprezentace G. Odvolej to R je množina kořenů; nyní opravíme sadu ${ displaystyle R ^ {+}}$ z pozitivní kořeny.

Zvažte dva prvky ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle lambda}$ z ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ {0}}$ . Zajímá nás hlavně případ, kdy ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle lambda}$ jsou integrální, ale tento předpoklad není nezbytný pro definici, kterou se chystáme představit. Pak to říkáme ${ displaystyle mu}$ je vyšší než ${ displaystyle lambda}$ , které píšeme jako ${ displaystyle mu succeq lambda}$ , pokud ${ displaystyle mu - lambda}$ je vyjádřitelná jako lineární kombinace kladných kořenů s nezápornými reálnými koeficienty.^[6] To zhruba znamená, že „vyšší“ znamená ve směrech kladných kořenů. Rovnocenně to říkáme ${ displaystyle lambda}$ je „nižší“ než ${ displaystyle mu}$ , které píšeme jako ${ displaystyle lambda preceq mu}$ .

Toto je jen a částečný objednávání; snadno se to může stát ${ displaystyle mu}$ není ani vyšší, ani nižší než ${ displaystyle lambda}$ .

Dominantní váha

Integrální prvek λ je dominantní -li ${ displaystyle langle lambda, gamma rangle geq 0}$ pro každý pozitivní kořen y. Ekvivalentně je λ dominantní, pokud je a nezáporné celočíselná kombinace základních vah. V ${ displaystyle A_ {2}}$ v případě, že dominantní integrální prvky žijí v 60stupňovém sektoru. Pojem být dominantní není stejný jako být vyšší než nula.

Sada všech λ (ne nutně integrálních) takových, že ${ displaystyle langle lambda, gamma rangle geq 0}$ je známý jako základní Weylova komora spojené s danou sadou pozitivních kořenů.

Věta o nejvyšší hmotnosti

Hmotnost ${ displaystyle lambda}$ reprezentace ${ displaystyle V}$ z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ se nazývá a nejvyšší váha pokud každá další váha ${ displaystyle V}$ je nižší než ${ displaystyle lambda}$ .

Teorie klasifikace konečně-dimenzionálních neredukovatelných reprezentací z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je pomocí „věty o nejvyšší hmotnosti“. Věta říká, že^[7]

(1) každé neredukovatelné (konečně-rozměrné) vyjádření má nejvyšší váhu,

(2) nejvyšší váha je vždy dominantní, algebraicky integrální prvek,

(3) dvě neredukovatelné reprezentace se stejnou nejvyšší hmotností jsou izomorfní a

(4) každý dominantní, algebraicky integrální prvek má nejvyšší váhu neredukovatelné reprezentace.

Poslední bod je nejtěžší; reprezentace mohou být vytvořeny pomocí Verma moduly.

Modul s nejvyšší hmotností

Reprezentace (nemusí být nutně konečná rozměrná) PROTI z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nazýván modul s nejvyšší hmotností pokud je generován váhovým vektorem proti ∈ PROTI který je zničen působením všech pozitivní kořen mezery v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Každý neredukovatelný ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - modul s nejvyšší hmotností je nutně modul s nejvyšší hmotností, ale v nekonečně rozměrném případě nemusí být modul s nejvyšší hmotností ireducibilní. Pro každého ${ displaystyle lambda v { mathfrak {h}} ^ {*}}$ - nemusí být nutně dominantní nebo integrální - existuje jedinečný (až izomorfismus) jednoduchý nejvyšší váha ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modul s nejvyšší hmotností λ, který je označen L(λ), ale tento modul je nekonečně dimenzionální, pokud λ není dominantní integrál. Je možné ukázat, že každý modul s nejvyšší hmotností s nejvyšší hmotností λ je a kvocient z Modul Verma M(λ). Toto je jen přepracování univerzalita majetku v definici modulu Verma.

Každý konečně-dimenzionální modul s nejvyšší hmotností je neredukovatelný.^[8]

Viz také

Poznámky

^ Platí také obrácení - sada diagonalizovatelných matic dojíždí právě tehdy, když je sada současně diagonalizovatelná (Horn & Johnson 1985, s. 51–53).
^ Ve skutečnosti, vzhledem k sadě dojíždějících matic přes algebraicky uzavřené pole, jsou současně triangularizovatelné, aniž byste museli předpokládat, že jsou úhlopříčně.

Reference

^ Hall 2015 Věta 7.19 a ekv. (7,9)
^ Hall 2015 Návrh 9.2
^ Hall 2015 Návrh 8.36
^ Hall 2015 Návrh 12.5
^ Hall 2015 Dodatek 13.8 a Dodatek 13.20
^ Hall 2015 Definice 8.39
^ Hall 2015 Věty 9.4 a 9.5
^ To vyplývá z (dokladu) návrhu 6.13 v Hall 2015 spolu s obecným výsledkem o úplné redukovatelnosti konečně-dimenzionálních reprezentací polojednodušých Lieových algeber

Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. PAN 1153249. OCLC 246650103..
Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Zastoupení a invarianty klasických skupin, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9.
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Reprezentations: An Elementary Introduction, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN 978-3319134666
Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Maticová analýza, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
Humphreys, James E. (1972a), Úvod do Lie Algebry a teorie reprezentace, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7.
Humphreys, James E. (1972b), Lineární algebraické skupiny, Postgraduální texty z matematiky, 21, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4, PAN 0396773
Knapp, Anthony W. (2002), Skupiny lži nad rámec úvodu (2. vyd.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4.

[1] Platí také obrácení - sada diagonalizovatelných matic dojíždí právě tehdy, když je sada současně diagonalizovatelná (Horn & Johnson 1985, s. 51–53).

[2] Ve skutečnosti, vzhledem k sadě dojíždějících matic přes algebraicky uzavřené pole, jsou současně triangularizovatelné, aniž byste museli předpokládat, že jsou úhlopříčně.

[3] Hall 2015 Věta 7.19 a ekv. (7,9)

[4] Hall 2015 Návrh 9.2

[5] Hall 2015 Návrh 8.36

[6] Hall 2015 Návrh 12.5

[7] Hall 2015 Dodatek 13.8 a Dodatek 13.20

[8] Hall 2015 Definice 8.39

[9] Hall 2015 Věty 9.4 a 9.5

[10] To vyplývá z (dokladu) návrhu 6.13 v Hall 2015 spolu s obecným výsledkem o úplné redukovatelnosti konečně-dimenzionálních reprezentací polojednodušých Lieových algeber

[poznámka 1]

[poznámka 2]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]