Metrická derivace - Metric derivative

v matematika, metrická derivace je pojem derivát vhodné parametrizováno cesty v metrické prostory. Zobecňuje pojem „rychlost“ nebo „absolutní rychlost“ do prostorů, které mají pojem vzdálenost (tj. Metrické prostory), ale ne směr (například vektorové prostory ).

Definice

Nechat ${displaystyle (M, d)}$ být metrický prostor. Nechat ${displaystyle Esubseteq mathbb {R}}$ mít mezní bod na ${displaystyle tin mathbb {R}}$. Nechat ${displaystyle gamma: E o M}$ být cestou. Pak metrická derivace z ${displaystyle gamma}$ na ${displaystyle t}$, označeno ${displaystyle | gamma '| (t)}$, je definováno

${displaystyle | gamma '| (t): = lim _ {s o 0} {frac {d (gamma (t + s), gamma (t))} {| s |}},}$

Pokud tohle omezit existuje.

Vlastnosti

Odvolej to AC^p(Já; X) je prostor křivek y : Já → X takhle

${displaystyle dleft (gamma (s), gamma (t) ight) leq int _ {s} ^ {t} m (au), mathrm {d} au {mbox {pro všechny}} [s, t] subseteq I}$

pro některé m v L^p prostor L^p(Já; R). Pro y ∈ AC^p(Já; X), metrický derivát y existuje pro Lebesgue -téměř všechny krát dovnitř Jáa metrická derivace je nejmenší m ∈ L^p(Já; R) tak, aby výše uvedená nerovnost platila.

Li Euklidovský prostor ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ je vybaven obvyklou euklidovskou normou ${displaystyle | - |}$, a ${displaystyle {dot {gamma}}: E o V ^ {*}}$ je obvyklé Fréchetův derivát tedy s ohledem na čas

${displaystyle | gamma '| (t) = | {dot {gamma}} (t) |,}$

kde ${displaystyle d (x, y): = | x-y |}$ je euklidovská metrika.

Reference

• Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005). Toky gradientu v metrických prostorech a v prostoru pravděpodobnostních opatření. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basilej. str. 24. ISBN  3-7643-2428-7.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)