Čebyševova zaujatost - Chebyshevs bias - Wikipedia

v teorie čísel, Čebyševova zaujatost je fenomén, kterého je většinou více připraví formuláře 4k + 3 než z formuláře 4k +1, až do stejného limitu. Tento jev poprvé pozoroval Čebyšev v roce 1853.

Popis

Nechť π (X; n, m) označte počet prvočísel formuláře nk + m až doX. Podle věta o prvočísle (rozšířeno na aritmetický postup ),

{ displaystyle pi (x; 4,1) sim pi (x; 4,3) sim { frac {1} {2}} { frac {x} { log x}}.}

To znamená, že polovina prvočísel má formu 4k + 1 a polovina formuláře 4k + 3. Rozumným odhadem by bylo, že π (X; 4, 1)> π (X; 4, 3) a π (X; 4, 1) <π (X; 4, 3) každý také nastane 50% času. Toto však není podporováno číselnými důkazy - ve skutečnosti π (X; 4, 3)> π (X; 4, 1) se vyskytuje mnohem častěji. Například tato nerovnost platí pro všechna prvočísla X <26833 kromě 5, 17, 41 a 461, pro které π (X; 4, 1) = π (X; 4, 3). První prime X takové, že π (X; 4, 1)> π (X; 4, 3) je 26861, tj. Π (X; 4, 3) ≥ π (X; 4, 1) pro všechna prvočísla X < 26861.

Obecně platí, že pokud 0 <A, b < n jsou celá čísla, GCD (A, n) = GCD (b, n) = 1, A je kvadratický zbytek mod n, b je kvadratický neresiduální mod n, pak π (X; n, b)> π (X; n, A) se vyskytuje častěji než ne. To bylo prokázáno pouze za předpokladu silných forem Riemannova hypotéza. Silnější domněnka Knapowského a Turán, že hustota číselX pro které π (X; 4, 3)> π (X; 4, 1) drží je 1 (to znamená platí pro téměř všechny X), se ukázalo jako nepravdivé. Oni však mají logaritmická hustota, což je přibližně 0,9959 ....^[1]

Zobecnění

To je pro k = −4 najít nejmenší prvočíslo p takhle ${ displaystyle sum _ {q leq p, q { text {je hlavní}}} vlevo ({ frac {k} {q}} vpravo)> 0}$ (kde ${ displaystyle left ({ frac {m} {n}} right)}$ je symbol kronecker ), ale pro dané nenulové celé číslo k (nejen k = −4), můžeme také najít nejmenší prvočíslo p splnění této podmínky. Podle věty o prvočísle pro každé nenulové celé číslo k, existuje nekonečně mnoho prvočísel p splnění této podmínky.

Pro kladná celá čísla k = 1, 2, 3, ..., nejmenší prvočísla p jsou

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... (OEIS: A306499 je subsekvence, pro k = 1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37, 40, 41, 44, 53, 56, 57, 60, 61, ... OEIS: A003658)

Pro záporná celá čísla k = −1, −2, −3, ..., nejmenší prvočísla p jsou

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... (OEIS: A306500 je subsekvence, pro k = −3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31, −35, −39, −40, −43, −47, −51, −52, −55, −56, −59, ... OEIS: A003657)

Pro každého (pozitivní nebo negativní) nonsquare celé číslo k, existuje více prvočísel p s ${ displaystyle left ({ frac {k} {p}} right) = - 1}$ než s ${ displaystyle left ({ frac {k} {p}} right) = 1}$ (až do stejného limitu) častěji než ne. Li silné formy Riemannovy hypotézy jsou pravdivé.

Rozšíření na vyšší zbytkový výkon

Nechat m a n být taková celá čísla m≥0, n> 0, GCD (m, n) = 1, definujte a funkce ${ displaystyle f (m, n) = součet _ {p { text {is}} { text {prime}}, p mid phi (n), x ^ {p} ekv m { text {(mod n) má řešení}}} left ({ frac {1} {p}} right)}$ , kde ${ displaystyle phi}$ je Eulerova totientová funkce.

Například, F(1, 5) = F(4, 5) = 1/2, F(2, 5) = F(3, 5) = 0, F(1, 6) = 1/2, F(5, 6) = 0, F(1, 7) = 5/6, F(2, 7) = F(4, 7) = 1/2, F(3, 7) = F(5, 7) = 0, F(6, 7) = 1/3, F(1, 8) = 1/2, F(3, 8) = F(5, 8) = F(7, 8) = 0, F(1, 9) = 5/6, F(2, 9) = F(5, 9) = 0, F(4, 9) = F(7, 9) = 1/2, F(8, 9) = 1/3.

Předpokládá se, že pokud 0 <A, b < n jsou celá čísla, GCD (A, n) = GCD (b, n) = 1, F(A, n) > F(b, n), pak π (X; n, b)> π (X; n, A) se vyskytuje častěji než ne.

Reference

^ (Rubinstein - Sarnak, 1994)

P.L. Čebyšev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4n + 1 a 4n + 3, Býk. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. Petrohrad, 11 (1853), 208.
Granville, Andrew; Martin, Greg (2006). "Prvotřídní závody". Amer. Matematika. Měsíční. 113: 1–33. JSTOR 27641834.
J. Kaczorowski: O distribuci prvočísel (mod 4), Analýza, 15 (1995), 159–171.
Knapowski, Turan: Srovnávací teorie prvočísel, I, Acta Math. Acad. Sci. Visel., 13 (1962), 299–314.
Rubinstein, M .; Sarnak, P. (1994). „Čebyševova zaujatost“. Experimentální matematika. 3: 173–197. doi:10.1080/10586458.1994.10504289.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Čebyševovo zkreslení". MathWorld.
(sekvence A007350 v OEIS ) (kde hlavní závod 4n + 1 versus 4n + 3 mění vůdce)
(sekvence A007352 v OEIS ) (kde hlavní závod 3n + 1 versus 3n + 2 mění vůdce)

[1] (Rubinstein - Sarnak, 1994)

[1]