Abstraktní analytická teorie čísel - Abstract analytic number theory

Abstraktní analytická teorie čísel je pobočkou matematika který bere myšlenky a techniky klasické analytická teorie čísel a aplikuje je na různé matematické oblasti. Klasický věta o prvočísle slouží jako prototypový příklad a důraz je kladen na abstrakt výsledky asymptotické distribuce. Teorie byla vynalezena a vyvinuta matematiky, jako je John Knopfmacher a Arne Beurling ve dvacátém století.

Aritmetické poloskupiny

Základní představou je pojem aritmetická poloskupina, což je komutativní monoidní G splňující následující vlastnosti:

• Existuje a počitatelný podmnožina (konečný nebo spočetně nekonečný) P z G, takže každý prvek A ≠ 1 palec G má jedinečnou faktorizaci formy

${ displaystyle a = p_ {1} ^ { alpha _ {1}} p_ {2} ^ { alpha _ {2}} cdots p_ {r} ^ { alpha _ {r}}}$

Kde str_i jsou odlišné prvky P, α_i jsou pozitivní celá čísla, r může záviset na Aa dvě faktorizace jsou považovány za stejné, pokud se liší pouze v pořadí uvedených faktorů. Prvky P se nazývají připraví z G.

• Existuje a nemovitý -hodnota mapování norem ${ displaystyle | { mbox {}} |}$ na G takhle
  1. ${ displaystyle | 1 | = 1}$
  2. ${ displaystyle | p |> 1 { mbox {pro všechny}} p v P}$
  3. ${ displaystyle | ab | = | a || b | { mbox {pro všechny}} a, b v G}$
  4. Celkový počet ${ displaystyle N_ {G} (x)}$ prvků ${ displaystyle a v G}$ normy ${ displaystyle | a | leq x}$ je konečný, pro každý skutečný ${ displaystyle x> 0}$.

Systémy aditivních čísel

An aditivní číselný systém je aritmetická poloskupina, ve které je podkladový monoid G je zdarma abelian. Normální funkce může být zapsána aditivně.^[1]

Pokud má norma celočíselnou hodnotu, přidružíme funkce počítání A(n) a str(n) s G kde str počítá počet prvků P normy n, a A počítá počet prvků G normy n. Nechali jsme A(X) a P(X) být odpovídající formální mocenské řady. Máme základní identita^[2]

${ displaystyle A (x) = součet _ {n} a (n) x ^ {n} = prod _ {n} (1-x ^ {n}) ^ {- p (n)} }$

který formálně kóduje jedinečný výraz každého prvku G jako produkt prvků P. The poloměr konvergence z G je poloměr konvergence výkonové řady A(X).^[3]

Základní identita má alternativní podobu^[4]

${ displaystyle A (x) = exp left ({ sum _ {m geq 1} { frac {P (x ^ {m})} {m}}} right) .}$

Příklady

• Prototypickým příkladem aritmetické poloskupiny je multiplikativní poloskupina z pozitivní celá čísla G = Z⁺ = {1, 2, 3, ...}, s podmnožinou racionálních připraví P = {2, 3, 5, ...}. Zde je norma celého čísla jednoduše ${ displaystyle | n | = n}$, aby ${ displaystyle N_ {G} (x) = lfloor x rfloor}$, největší celé číslo nepřesahující X.

• Li K. je algebraické číslo pole, tj. konečné prodloužení pole z racionální čísla Q, pak sada G všech nenulových ideály v prsten celých čísel Ó_K. z K. tvoří aritmetickou poloskupinu s prvkem identity Ó_K. a norma ideálu Já je dáno mohutností kvocientového kruhu Ó_K./Já. V tomto případě je vhodné zobecnění věty o prvočísle Landauova hlavní ideální věta, který popisuje asymptotické rozdělení ideálů v Ó_K..

• Rozličný aritmetické kategorie které splňují teorém typu Krull-Schmidt, lze uvažovat. Ve všech těchto případech prvky G jsou třídy izomorfismu v odpovídající kategorie, a P se skládá ze všech tříd izomorfismu nerozložitelný objekty, tj. objekty, které nelze rozložit jako přímý produkt nenulových objektů. Některé typické příklady jsou následující.
  • Kategorie všech konečný abelianské skupiny za obvyklého přímého provozu produktu a mapování norem ${ displaystyle | A | = operatorname {karta} (A).}$ Nerozložitelné objekty jsou cyklické skupiny nejvyššího řádu.
  • Kategorie všech kompaktní jednoduše připojeno globálně symetrický Riemannian rozdělovače pod Riemannovým součinem potrubí a mapování norem ${ displaystyle | M | = c ^ { dim M},}$ kde C > 1 je pevná a tlumená M označuje rozdělovací dimenzi M. Nerozložitelné objekty jsou kompaktní jednoduše připojené neredukovatelné symetrické prostory.
  • Kategorie všech pseudometrizovatelné konečný topologické prostory pod topologický součet a mapování norem ${ displaystyle | X | = 2 ^ { operatorname {karta} (X)}.}$ Nerozložitelné objekty jsou propojené prostory.

Metody a techniky

Použití aritmetické funkce a funkce zeta jsou rozsáhlé. Cílem je rozšířit různé argumenty a techniky aritmetických funkcí a funkcí zeta v klasické teorii analytických čísel na kontext libovolné aritmetické poloskupiny, která může uspokojit jeden nebo více dalších axiomů. Takový typický axiom je v literatuře obvykle nazýván „Axiom A“:

• Axiom A. Existují pozitivní konstanty A a ${ displaystyle delta}$a konstanta ${ displaystyle nu}$ s ${ displaystyle 0 leq nu < delta}$, takový, že ${ displaystyle N_ {G} (x) = Ax ^ { delta} + O (x ^ { nu}) { mbox {as}} x rightarrow infty.}$^[5]

Pro jakoukoli aritmetickou poloskupinu, která vyhovuje Axiomu A, máme následující abstraktní věta o prvočísle:^[6]

${ displaystyle pi _ {G} (x) sim { frac {x ^ { delta}} { delta log x}} { mbox {as}} x rightarrow infty}$

kde π_G(X) = celkový počet prvků str v P normy |str| ≤ X.

Aritmetická formace

Pojem aritmetický útvar poskytuje zobecnění ideální třídní skupina v algebraická teorie čísel a umožňuje výsledky abstraktní asymptotické distribuce za určitých omezení. Například v případě číselných polí to je Chebotarevova věta o hustotě. Aritmetický útvar je aritmetická poloskupina G s relací ekvivalence ≡ takový, že kvocient G/ ≡ je konečná abelianská skupina A. Tento podíl je skupina tříd tříd formace a ekvivalence jsou zobecněné aritmetické postupy nebo zobecněné ideální třídy. Pokud χ je a charakter z A pak můžeme definovat a Dirichletova řada

${ displaystyle sum _ {g v G} chi ([g]) | g | ^ {- s}}$

který poskytuje představu o funkci zeta pro aritmetickou poloskupinu.^[7]

Viz také

• Axiom A, vlastnost dynamických systémů
• Funkce Beurling zeta

Reference

• Burris, Stanley N. (2001). Číselné teoretické hustoty a logické limitní zákony. Matematické průzkumy a monografie. 86. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-2666-2. Zbl  0995.11001.
• Knopfmacher, John (1990) [1975]. Abstraktní teorie analytických čísel (2. vyd.). New York, NY: Dover Publishing. ISBN  0-486-66344-2. Zbl  0743.11002.
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplikativní teorie čísel I. Klasická teorie. Cambridge studium pokročilé matematiky. 97. p. 278. ISBN  0-521-84903-9. Zbl  1142.11001.