Siegel – Walfiszova věta - Siegel–Walfisz theorem

v analytická teorie čísel, Siegel – Walfiszova věta bylo získáno Arnold Walfisz^[1] jako aplikace a teorém podle Carl Ludwig Siegel^[2] na prvočísla v aritmetických postupech. Jedná se o zdokonalení obou věta o prvočísle a ze dne Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetických postupech.

Prohlášení

Definovat

${displaystyle psi (x; q, a) = součet _ {n, leq, x na vrcholu n, ekviv, a! {pmod {! q}}} Lambda (n),}$

kde ${displaystyle Lambda}$ označuje von Mangoldtova funkce a nechte φ označit Eulerova totientová funkce.

Poté teorém uvádí, že daný libovolný reálné číslo N existuje pozitivní konstanta C_N záleží jen na N takhle

${displaystyle psi (x; q, a) = {frac {x} {varphi (q)}} + Oleft (xexp left (-C_ {N} (log x) ^ {frac {1} {2}} v noci) v noci),}$

kdykoli (A, q) = 1 a

${displaystyle qleq (log x) ^ {N}.}$

Poznámky

Konstanta C_N není efektivně vypočítatelné protože Siegelova věta je neúčinná.

Z věty můžeme odvodit následující vazbu týkající se věta o prvočísle pro aritmetické posloupnosti: Pokud, pro (A, q) = 1, od ${displaystyle pi (x; q, a)}$ označíme počet prvočísel menší nebo rovný X což jsou shodný na A mod q, pak

${displaystyle pi (x; q, a) = {frac {{m {Li}} (x)} {varphi (q)}} + Oleft (xexp left (- {frac {C_ {N}} {2}} (log x) ^ {frac {1} {2}} ight) ight),}$

kde N, A, q, C_N a φ jsou jako ve větě a Li označuje logaritmický integrál.

Reference