Silová řada - Power series - Wikipedia

v matematika, a výkonová řada (v jedné proměnné) je nekonečná řada formuláře

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} left (xc right) ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} (xc) ^ {1} + a_ {2} (xc) ^ {2} + cdots}

kde A_n představuje koeficient nth termín a C je konstanta. Mocenské řady jsou užitečné v matematická analýza, kde vznikají jako Taylor série z nekonečně diferencovatelné funkce. Ve skutečnosti, Borelův teorém znamená, že každá výkonová řada je Taylorovou řadou nějaké hladké funkce.

V mnoha situacích C (dále jen centrum řady) se rovná nule, například při uvažování a Řada Maclaurin. V takových případech má výkonová řada jednodušší formu

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} x ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots. }

Kromě jejich role v matematické analýze se mocninové řady vyskytují také v kombinatorika tak jako generující funkce (druh formální mocenské řady ) a v elektrotechnice (pod názvem Z-transformace ). Známý desítková notace pro reálná čísla lze také zobrazit jako příklad mocninné řady s celočíselnými koeficienty, ale s argumentem X stanovena na¹⁄₁₀. v teorie čísel, pojem p-adic čísla úzce souvisí také s výkonovou řadou.

Příklady

The exponenciální funkce (modře) a součet prvního n + 1 jeho podmínek Maclaurinová výkonová řada (v červené).

Žádný polynomiální lze snadno vyjádřit jako výkonovou řadu kolem jakéhokoli centra C, i když až na konečnou hodnotu bude mnoho koeficientů nula, protože výkonová řada má podle definice nekonečně mnoho pojmů. Například polynom ${ textstyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 3}$ lze psát jako mocninu kolem středu ${ textstyle c = 0}$ tak jako

{ displaystyle f (x) = 3 + 2x + 1x ^ {2} + 0x ^ {3} + 0x ^ {4} + cdots ,}

nebo kolem centra ${ textstyle c = 1}$ tak jako

{ displaystyle f (x) = 6 + 4 (x-1) +1 (x-1) ^ {2} +0 (x-1) ^ {3} +0 (x-1) ^ {4} + cdots ,}

nebo dokonce kolem jakéhokoli jiného centra C.^[1] Jeden může vidět mocenské řady jako „polynomy nekonečného stupně“, ačkoli mocninné řady nejsou polynomy.

The geometrické řady vzorec

{ displaystyle { frac {1} {1-x}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} x ^ {n} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + cdots,}

který platí pro ${ textstyle | x | <1}$ , je jedním z nejdůležitějších příkladů mocninných řad, stejně jako vzorce exponenciální funkce

{ displaystyle e ^ {x} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + { frac {x ^ {2} } {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3!}} + Cdots,}

a sinusový vzorec

{ displaystyle sin (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} } = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7}} {7!} } + cdots,}

platí pro všechna reálná x.

Tyto výkonové řady jsou také příklady Taylor série.

Na množině exponentů

Záporné síly nejsou v sérii sil povoleny; například, ${ textstyle 1 + x ^ {- 1} + x ^ {- 2} + cdots}$ není považován za výkonovou řadu (i když se jedná o a Laurentova řada ). Podobně zlomkové mocniny jako ${ textstyle x ^ { frac {1} {2}}}$ nejsou povoleny (ale viz Série Puiseux ). Koeficienty ${ textstyle a_ {n}}$ není dovoleno záviset na ${ textstyle x}$ , tedy například:

{ displaystyle sin (x) x + sin (2x) x ^ {2} + sin (3x) x ^ {3} + cdots ,}

není výkonová řada.

Poloměr konvergence

Silová řada ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} (x-c) ^ {n}}$ je konvergentní pro některé hodnoty proměnné $X$ , které zahrnují vždy $X = C$ (jako obvykle, ${ displaystyle (x-c) ^ {0}}$ hodnotí jako 1 a součet řady je tedy ${ displaystyle a_ {0}}$ pro $X = C$ ). Série může rozcházejí se pro ostatní hodnoty $X$ . Li $C$ není jediným bodem konvergence, pak vždy existuje číslo $r$ s $0 < r \leq \infty$ tak, že řada konverguje kdykoli $| X - C | < r$ a kdykoli se liší $| X - C | > r$ . Číslo $r$ se nazývá poloměr konvergence výkonové řady; obecně se uvádí jako

{ displaystyle r = liminf _ {n to infty} left | a_ {n} right | ^ {- { frac {1} {n}}}}

nebo ekvivalentně

{ displaystyle r ^ {- 1} = limsup _ {n to infty} left | a_ {n} right | ^ { frac {1} {n}}}

(to je Cauchy – Hadamardova věta; vidět limit superior a limit inferior pro vysvětlení zápisu). Vztah

{ displaystyle r ^ {- 1} = lim _ {n to infty} left | {a_ {n + 1} over a_ {n}} right |}

je také splněn, pokud tento limit existuje.

Sada komplexní čísla takhle $| X - C | < r$ se nazývá disk konvergence série. Série absolutně konverguje uvnitř disku konvergence a konverguje rovnoměrně na každém kompaktní podmnožina disku konvergence.

Pro $| X - C | = r$ , neexistuje obecné prohlášení o konvergenci řady. Nicméně, Ábelova věta uvádí, že pokud je řada konvergentní pro určitou hodnotu $z$ takhle $| z - C | = r$ , pak součet řady pro $X = z$ je limit součtu řady pro $X = C + t (z - C)$ kde $t$ je skutečná proměnná menší než 1 to má tendenci 1.

Operace na výkonových řadách

Sčítání a odčítání

Když dvě funkce F a G jsou rozloženy na výkonové řady kolem stejného středu C, mocninová řada součtu nebo rozdílu funkcí může být získána termickým sčítáním a odčítáním. To je, pokud

{ displaystyle f (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} (x-c) ^ {n}}

a

{ displaystyle g (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} b_ {n} (x-c) ^ {n}}

pak

{ displaystyle f (x) pm g (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} (a_ {n} pm b_ {n}) (x-c) ^ {n}.}

Není pravda, že pokud dvě výkonové řady ${ textstyle sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} x ^ {n}}$ a ${ textstyle sum _ {n = 0} ^ { infty} b_ {n} x ^ {n}}$ mít tedy stejný poloměr konvergence ${ textstyle sum _ {n = 0} ^ { infty} left (a_ {n} + b_ {n} right) x ^ {n}}$ má také tento poloměr konvergence. Li ${ textstyle a_ {n} = (- 1) ^ {n}}$ a ${ textstyle b_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} left (1 - { frac {1} {3 ^ {n}}} right)}$ , pak obě řady mají stejný poloměr konvergence 1, ale řada ${ textstyle sum _ {n = 0} ^ { infty} left (a_ {n} + b_ {n} right) x ^ {n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {3 ^ {n}}} x ^ {n}}$ má poloměr konvergence 3.

Násobení a dělení

Se stejnými definicemi pro ${ displaystyle f (x)}$ a ${ displaystyle g (x)}$ , výkonovou řadu produktu a kvocient funkcí lze získat následovně:

{ displaystyle { begin {aligned} f (x) g (x) & = left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} (xc) ^ {n} right) left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} b_ {n} (xc) ^ {n} right) & = sum _ {i = 0} ^ { infty} sum _ { j = 0} ^ { infty} a_ {i} b_ {j} (xc) ^ {i + j} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} left ( sum _ { i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni} right) (xc) ^ {n}. end {zarovnáno}}}

Sekvence ${ displaystyle m_ {n} = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {n-i}}$ je známý jako konvoluce sekvencí ${ displaystyle a_ {n}}$ a ${ displaystyle b_ {n}}$ .

Pro rozdělení, pokud jeden definuje sekvenci ${ displaystyle d_ {n}}$ podle

{ displaystyle { frac {f (x)} {g (x)}} = { frac { sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} (xc) ^ {n}} { sum _ {n = 0} ^ { infty} b_ {n} (xc) ^ {n}}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} d_ {n} (xc) ^ {n }}

pak

{ displaystyle f (x) = left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} b_ {n} (xc) ^ {n} right) left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} d_ {n} (xc) ^ {n} vpravo)}

a jeden může vyřešit rekurzivně pro podmínky ${ displaystyle d_ {n}}$ porovnáním koeficientů.

Řešení příslušných rovnic poskytne vzorce založené na determinanty určitých matic koeficientů ${ displaystyle f (x)}$ a ${ displaystyle g (x)}$

{ displaystyle d_ {0} = { frac {a_ {0}} {b_ {0}}}}

{ displaystyle d_ {n} = { frac {1} {b_ {0} ^ {n + 1}}} cdot det { begin {vmatrix} a_ {n} & b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {n} a_ {n-1} & b_ {0} & b_ {1} & ldots & b_ {n-1} a_ {n-2} & 0 & b_ {0} & ldots & b_ {n- 2} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots a_ {0} & 0 & 0 & ldots & b_ {0} end {vmatrix}}}

Diferenciace a integrace

Jednou funkce ${ displaystyle f (x)}$ je uveden jako výkonová řada, jak je uvedeno výše rozlišitelný na interiér oblasti konvergence. To může být diferencované a integrovaný docela snadno, zpracováním každého termínu zvlášť:

{ displaystyle { begin {aligned} f '(x) & = sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} n (xc) ^ {n-1} = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n + 1} (n + 1) (xc) ^ {n}, int f (x) , dx & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {a_ {n} (xc) ^ {n + 1}} {n + 1}} + k = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n-1 } (xc) ^ {n}} {n}} + k. end {zarovnáno}}}

Obě tyto řady mají stejný poloměr konvergence jako původní.

Analytické funkce

Funkce F na některých definováno otevřená podmnožina U z R nebo C je nazýván analytický pokud je to lokálně dáno konvergentní výkonovou řadou. To znamená, že každý A ∈ U má otevřený sousedství PROTI ⊆ U, takže existuje výkonová řada se středem A který konverguje k F(X) pro každého X ∈ PROTI.

Každá výkonová řada s kladným poloměrem konvergence je analytická na interiér regionu konvergence. Všechno holomorfní funkce jsou komplexně analytické. Součty a produkty analytických funkcí jsou analytické, stejně jako kvocienty, pokud je jmenovatel nenulový.

Pokud je funkce analytická, pak je nekonečně diferencovatelná, ale ve skutečném případě není obrácení obecně pravdivé. Pro analytickou funkci jsou to koeficienty A_n lze vypočítat jako

{ displaystyle a_ {n} = { frac {f ^ { left (n right)} left (c right)} {n!}}}

kde ${ displaystyle f ^ {(n)} (c)}$ označuje nth derivát F na C, a ${ displaystyle f ^ {(0)} (c) = f (c)}$ . To znamená, že každá analytická funkce je lokálně reprezentována jejím Taylor série.

Globální forma analytické funkce je zcela určena jejím lokálním chováním v následujícím smyslu: if F a G jsou dvě analytické funkce definované na stejné připojeno otevřená sada U, a pokud existuje prvek C∈U takhle F⁽ⁿ⁾(C) = G⁽ⁿ⁾(C) pro všechny n ≥ 0, tedy F(X) = G(X) pro všechny X ∈ U.

Pokud jde o výkonovou řadu s poloměrem konvergence r je uveden, lze uvažovat analytické pokračování série, tj. analytické funkce F které jsou definovány na větších množinách než { X : |X − C| < r } a souhlasím s danou výkonovou řadou na této sadě. Číslo r je maximální v následujícím smyslu: vždy existuje a komplexní číslo X s |X − C| = r takže nelze definovat žádné analytické pokračování série X.

Rozšíření výkonové řady inverzní funkce analytické funkce lze určit pomocí Lagrangeova věta o inverzi.

Chování blízko hranice

Součet výkonových řad s kladným poloměrem konvergence je analytická funkce v každém bodě uvnitř disku konvergence. V bodech na hranici daného disku však může nastat odlišné chování. Například:

Divergence, zatímco součet sahá až k analytické funkci: ${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} z ^ {n}}$ má poloměr konvergence rovný ${ displaystyle 1}$ a rozcházejí se v každém bodě ${ displaystyle | z | = 1}$ . Součet v ${ displaystyle | z | <1}$ je ${ displaystyle { frac {1} {1-z}}}$ , který je analytický v každém bodě roviny kromě ${ displaystyle z = 1}$ .
V některých bodech konvergentní v jiných.: ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} { frac {z ^ {n}} {n}}}$ má poloměr konvergence ${ displaystyle 1}$ . Konverguje pro ${ displaystyle z = 1}$ , zatímco se rozchází ${ displaystyle z = -1}$
Absolutní konvergence v každém bodě hranice: ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n ^ {2}}}}$ má poloměr konvergence ${ displaystyle 1}$ , zatímco konverguje absolutně a rovnoměrně v každém bodě ${ displaystyle | z | = 1}$ kvůli Weierstrassův M-test aplikováno s hyperharmonická konvergentní řada ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}}}$ .
Konvergentní na uzavření disku konvergence, ale ne spojitý součet: Sierpiński uvedl příklad^[2] výkonové řady s poloměrem konvergence ${ displaystyle 1}$ , konvergentní ve všech bodech s ${ displaystyle | z | = 1}$ , ale součet je neomezená funkce a zejména nespojitá. Dostačující podmínku pro jednostrannou kontinuitu v hraničním bodě udává Ábelova věta.

Formální výkonová řada

v abstraktní algebra se pokouší zachytit podstatu výkonových řad, aniž by byl omezen na pole reálných a komplexních čísel a bez nutnosti hovořit o konvergenci. To vede ke konceptu formální mocenské řady, koncept velkého užitku v algebraická kombinatorika.

Silová řada v několika proměnných

Rozšíření teorie je nezbytné pro účely počet proměnných. A výkonová řada je zde definována jako nekonečná řada formy

{ displaystyle f (x_ {1}, dots, x_ {n}) = sum _ {j_ {1}, dots, j_ {n} = 0} ^ { infty} a_ {j_ {1}, dots, j_ {n}} prod _ {k = 1} ^ {n} (x_ {k} -c_ {k}) ^ {j_ {k}},}

kde j = (j₁, ..., j_n) je vektor přirozených čísel, koeficientů A_{(j₁, …, j_n)} jsou obvykle reálná nebo komplexní čísla a střed C = (C₁, ..., C_n) a argument X = (X₁, ..., X_n) jsou obvykle reálné nebo složité vektory. Symbol ${ displaystyle Pi}$ je symbol produktu, označující násobení. V pohodlnější multi-index zápis lze psát

{ displaystyle f (x) = součet _ { alpha in mathbb {N} ^ {n}} a _ { alpha} (x-c) ^ { alpha}.}

kde ${ displaystyle mathbb {N}}$ je sada přirozená čísla a tak ${ displaystyle mathbb {N} ^ {n}}$ je sada objednaných n-n-tice přirozených čísel.

Teorie takových řad je složitější než pro řady s jednou proměnnou, se složitějšími oblastmi konvergence. Například výkonová řada ${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} x_ {1} ^ {n} x_ {2} ^ {n}}$ je v sadě absolutně konvergentní ${ displaystyle {(x_ {1}, x_ {2}): | x_ {1} x_ {2} | <1 }}$ mezi dvěma hyperbolami. (Toto je příklad a log-konvexní sada, v tom smyslu, že množina bodů ${ displaystyle ( log | x_ {1} |, log | x_ {2} |)}$ , kde ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$ leží ve výše uvedené oblasti, je konvexní množina. Obecněji lze ukázat, že když c = 0, vnitřek oblasti absolutní konvergence je vždy log-konvexní množina nastavená v tomto smyslu.) Na druhou stranu ve vnitřku této oblasti konvergence lze rozlišovat a integrovat pod znamením série, stejně jako je tomu u běžných výkonových řad.

Pořadí výkonové řady

Nechat α být multi-indexem pro výkonovou řadu F(X₁, X₂, ..., X_n). The objednat výkonové řady F je definována jako nejmenší hodnota ${ displaystyle r}$ taková, že existuje A_α ≠ 0 s ${ displaystyle r = | alpha | = alpha _ {1} + alpha _ {2} + cdots + alpha _ {n}}$ nebo ${ displaystyle infty}$ -li F ≡ 0. Zejména pro výkonovou řadu F(X) v jedné proměnné X, pořadí F je nejmenší síla X s nenulovým koeficientem. Tato definice se snadno rozšíří na Laurentova řada.

Poznámky

^ Howard Levi (1967). Polynomy, mocninové řady a počet. Van Nostrand. p. 24.
^ Wacław Sierpiński (1916). Sur une série potentielle qui, étant conversgente en tout point de son cercle de conversgence, représente sur ce cercle une fonction discontine. (Francouzština). Palermo Rend. 187–190.

Reference

Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Power series", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Formální výkonová řada". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Power Series". MathWorld.
Pravomoci komplexních čísel Michael Schreiber, Demonstrační projekt Wolfram.

[1] Howard Levi (1967). Polynomy, mocninové řady a počet. Van Nostrand. p. 24.

[2] Wacław Sierpiński (1916). Sur une série potentielle qui, étant conversgente en tout point de son cercle de conversgence, représente sur ce cercle une fonction discontine. (Francouzština). Palermo Rend. 187–190.

[1]

[2]