Weierstrassův M-test - Weierstrass M-test
v matematika, Weierstrassův M-test je test pro určení, zda nekonečná řada z funkce konverguje jednotně a Absolutně. Platí pro řady, jejichž termíny jsou omezené funkce s nemovitý nebo komplex hodnoty a je analogický s srovnávací test pro určení konvergence řady reálných nebo komplexních čísel. Je pojmenována po německém matematikovi Karl Weierstrass (1815-1897).
Prohlášení
Weierstrassův M-test. Předpokládejme, že (Fn) je sekvence funkcí se skutečnou nebo komplexní hodnotou definovaných v a soubor A, a že existuje posloupnost nezáporných čísel (Mn) uspokojující
Pak série
konverguje Absolutně a jednotně na A.
Poznámka. Výsledek se často používá v kombinaci s věta o jednotném limitu. Společně říkají, že pokud je kromě výše uvedených podmínek nastavena A je topologický prostor a funkce Fn jsou kontinuální na A, pak řada konverguje na spojitou funkci.
Důkaz
Zvažte posloupnost funkcí
Od té série konverguje a Mn ≥ 0 pro každého n, poté Cauchyho kritérium,
Pro vyvolené N,
(Nerovnost (1) vyplývá z nerovnost trojúhelníku.)
Sekvence Sn(X) je tedy a Cauchyova posloupnost v R nebo C, a tím úplnost, konverguje na nějaké číslo S(X) to záleží na X. Pro n > N můžeme psát
Od té doby N nezávisí na X, to znamená, že sekvence Sn dílčích součtů konverguje jednotně k funkci S. Proto, podle definice, série konverguje rovnoměrně.
Analogicky se to dá dokázat konverguje rovnoměrně.
Zobecnění
Obecnější verze Weierstrassova M-testu platí, pokud je společná codomain funkcí (Fn) je Banachův prostor, v takovém případě předpoklad
má být nahrazen
- ,
kde je norma v Banachově prostoru. Příklad použití tohoto testu na Banachově prostoru najdete v článku Fréchetův derivát.
Viz také
Reference
- Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Rudin, Walter (květen 1986). Skutečná a komplexní analýza. McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 0-07-054234-1.
- Rudin, Walter (1976). Principy matematické analýzy. McGraw-Hill Science / Engineering / Math.
- Whittaker, E.T.; Watson, G.N. (1927). Kurz moderní analýzy (Čtvrté vydání). Cambridge University Press. p. 49.