Spence funkce - Spences function - Wikipedia

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Listopad 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Dilogaritmus podél skutečné osy

v matematika, Spenceova funkcenebo dilogaritmus, označovaný jako Li₂(z), je konkrétním případem polylogaritmus. Dva související speciální funkce jsou označovány jako Spenceova funkce, samotný dilogaritmus:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) = - int _ {0} ^ {z} { ln (1-u) přes u} , du { text {,}} z in mathbb {C}}$

a jeho odraz ${ displaystyle | z | <1}$ také platí nekonečná řada (integrální definice představuje její analytické rozšíření ke komplexní rovině):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) = součet _ {k = 1} ^ { infty} {z ^ {k} nad k ^ {2}}.}$

Alternativně je funkce dilogaritmu někdy definována jako

${ displaystyle int _ {1} ^ {v} { frac { ln t} {1-t}} dt = operatorname {Li} _ {2} (1-v).}$

v hyperbolická geometrie dilogaritmus ${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z)}$ se vyskytuje jako hyperbolický objem z ideální simplex jehož ideální vrcholy mají křížový poměr ${ displaystyle z}$. Lobachevského funkce a Clausenova funkce jsou úzce související funkce.

William Spence, po kterém tuto funkci pojmenovali raní autoři v oboru, byl skotský matematik působící na počátku devatenáctého století.^[1] Byl ve škole s John Galt,^[2] který později napsal životopisnou esej o Spence.

Analytická struktura

Použitím dřívější definice výše je funkce dilogaritmu analytická všude v komplexní rovině kromě v ${ displaystyle z = 1}$, kde má logaritmický bod větvení. Standardní volba řezu větve je podél kladné skutečné osy ${ displaystyle (1, infty)}$. Funkce je však spojitá v bodě odbočky a přebírá hodnotu ${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (1) = pi ^ {2} / 6}$.

Totožnosti

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) + operatorname {Li} _ {2} (- z) = { frac {1} {2}} operatorname {Li} _ {2} ( z ^ {2}).}$^[3]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (1-z) + operatorname {Li} _ {2} left (1 - { frac {1} {z}} right) = - { frac { ln ^ {2} z} {2}}.}$^[4]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) + operatorname {Li} _ {2} (1-z) = { frac {{ pi} ^ {2}} {6}} - ln z cdot ln (1-z).}$^[3]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (- z) - operatorname {Li} _ {2} (1-z) + { frac {1} {2}} operatorname {Li} _ {2 } (1-z ^ {2}) = - { frac {{ pi} ^ {2}} {12}} - ln z cdot ln (z + 1).}$^[4]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) + operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {z}} right) = - { frac { pi ^ {2}} {6}} - { frac {1} {2}} ln ^ {2} (- z).}$^[3]

Zvláštní identita hodnot

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {3}} right) - { frac {1} {6}} operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {9}} right) = { frac {{ pi} ^ {2}} {18}} - { frac { ln ^ {2} 3} {6}}. }$^[4]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left (- { frac {1} {2}} right) + { frac {1} {6}} operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {9}} right) = - { frac {{ pi} ^ {2}} {18}} + ln 2 cdot ln 3 - { frac { ln ^ {2} 2} {2}} - { frac { ln ^ {2} 3} {3}}.}$^[4]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {4}} right) + { frac {1} {3}} operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {9}} right) = { frac {{ pi} ^ {2}} {18}} + 2 ln 2 ln 3-2 ln ^ {2} 2- { frac {2} {3}} ln ^ {2} 3.}$ ^[4]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left (- { frac {1} {3}} right) - { frac {1} {3}} operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {9}} right) = - { frac {{ pi} ^ {2}} {18}} + { frac {1} {6}} ln ^ {2 } 3.}$^[4]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left (- { frac {1} {8}} right) + operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {9 }} right) = - { frac {1} {2}} ln ^ {2} { frac {9} {8}}.}$^[4]

${ displaystyle 36 operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {2}} right) -36 operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} { 4}} right) -12 operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {8}} right) +6 operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {64}} right) = { pi} ^ {2}.}$

Speciální hodnoty

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (- 1) = - { frac {{ pi} ^ {2}} {12}}.}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (0) = 0.}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {2}} right) = { frac {{ pi} ^ {2}} {12}} - { frac { ln ^ {2} 2} {2}}.}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (1) = zeta (2) = { frac {{ pi} ^ {2}} {6}},}$ kde ${ displaystyle zeta (s)}$ je Funkce Riemann zeta.

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (2) = { frac {{ pi} ^ {2}} {4}} - i pi ln 2.}$

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Li} _ {2} left (- { frac {{ sqrt {5}} - 1} {2}} right) & = - { frac { { pi} ^ {2}} {15}} + { frac {1} {2}} ln ^ {2} { frac {{ sqrt {5}} + 1} {2}} & = - { frac {{ pi} ^ {2}} {15}} + { frac {1} {2}} operatorname {arcsch} ^ {2} 2. end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Li} _ {2} left (- { frac {{ sqrt {5}} + 1} {2}} right) & = - { frac { { pi} ^ {2}} {10}} - ln ^ {2} { frac {{ sqrt {5}} + 1} {2}} & = - { frac {{ pi } ^ {2}} {10}} - operatorname {arcsch} ^ {2} 2. end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {3 - { sqrt {5}}} {2}} right) & = { frac {{ pi} ^ {2}} {15}} - ln ^ {2} { frac {{ sqrt {5}} + 1} {2}} & = { frac {{ pi} ^ { 2}} {15}} - operatorname {arcsch} ^ {2} 2. end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {{ sqrt {5}} - 1} {2}} right) & = { frac {{ pi} ^ {2}} {10}} - ln ^ {2} { frac {{ sqrt {5}} + 1} {2}} & = { frac {{ pi} ^ { 2}} {10}} - operatorname {arcsch} ^ {2} 2. end {zarovnáno}}}$

Ve fyzice částic

Spenceova funkce se běžně vyskytuje ve fyzice částic při výpočtu radiačních korekcí. V této souvislosti je funkce často definována s absolutní hodnotou uvnitř logaritmu:

${ displaystyle operatorname { Phi} (x) = - int _ {0} ^ {x} { frac { ln | 1-u |} {u}} , du = { begin {případů} operatorname {Li} _ {2} (x), & x leq 1; { frac { pi ^ {2}} {3}} - { frac {1} {2}} ln ^ { 2} (x) - operatorname {Li} _ {2} ({ frac {1} {x}}), & x> 1. end {cases}}}$

Poznámky

Reference

• Lewin, L. (1958). Dilogaritmy a související funkce. Předmluva J. C. P. Millera. Londýn: Macdonald. PAN  0105524.
• Morris, Robert (1979). „Funkce dilogaritmu skutečného argumentu“. Matematika. Comp. 33 (146): 778–787. doi:10.1090 / S0025-5718-1979-0521291-X. PAN  0521291.
• Loxton, J. H. (1984). "Zvláštní hodnoty dilogaritmu". Acta Arith. 18 (2): 155–166. doi:10,4064 / aa-43-2-155-166. PAN  0736728.
• Kirillov, Anatol N. (1994). "Dilogaritmické identity". Průběh doplňku teoretické fyziky. 118: 61–142. arXiv:hep-th / 9408113. Bibcode:1995PThPS.118 ... 61K. doi:10.1143 / PTPS.118.61.
• Osacar, Carlos; Palacian, Ježíš; Palacios, Manuel (1995). Msgstr "Numerické vyhodnocení dilogaritmu komplexního argumentu". Celest. Mech. Dyn. Astron. 62 (1): 93–98. Bibcode:1995CeMDA..62 ... 93O. doi:10.1007 / BF00692071.
• Zagier, Don (2007). "Funkce dilogaritmu". V Pierre Cartier; Pierre Moussa; Bernard Julia; Pierre Vanhove (eds.). Hranice v teorii čísel, fyzice a geometrii II (PDF). s. 3–65. doi:10.1007/978-3-540-30308-4_1. ISBN  978-3-540-30308-4.

Další čtení

• Bloch, Spencer J. (2000). Vyšší regulátory, algebraické K.-teorie a zeta funkce eliptických křivek. Série monografií CRM. 11. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-2114-8. Zbl  0958.19001.

externí odkazy

• NIST Digitální knihovna matematických funkcí: Dilogaritmus
• Weisstein, Eric W. „Dilogaritmus“. MathWorld.