Vícenásobná funkce zeta - Multiple zeta function

v matematika, více funkcí zeta jsou zobecnění Funkce Riemann zeta, definován

${displaystyle zeta (s_ {1}, ldots, s_ {k}) = součet _ {n_ {1}> n_ {2}> cdots> n_ {k}> 0} {frac {1} {n_ {1} ^ {s_ {1}} cdots n_ {k} ^ {s_ {k}}}} = součet _ {n_ {1}> n_ {2}> cdots> n_ {k}> 0} prod _ {i = 1} ^ {k} {frac {1} {n_ {i} ^ {s_ {i}}}} ,!}$

a konvergovat, když Re (s₁) + ... + Re (s_i) > i pro všechnyi. Stejně jako Riemannova zeta funkce lze analyticky pokračovat v tom, že více zeta funkcí bude meromorfních funkcí (viz například Zhao (1999)). Když s₁, ..., s_k jsou všechna kladná celá čísla (s s₁ > 1) tyto částky se často nazývají více hodnot zeta (MZV) nebo Eulerovy částky. Tyto hodnoty lze také považovat za speciální hodnoty více polylogaritmů. ^[1][2]

The k ve výše uvedené definici se jmenuje "délka" MZV a n = s₁ + ... + s_k je známá jako „váha“.^[3]

Standardní zkratkou pro zápis více funkcí zeta je umístit opakující se řetězce argumentu do složených závorek a použít horní index k označení počtu opakování. Například,

${displaystyle zeta (2,1,2,1,3) = zeta ({2,1} ^ {2}, 3)}$

Případ se dvěma parametry

V konkrétním případě pouze dvou parametrů máme (s s> 1 a n, m celé číslo):^[4]

${displaystyle zeta (s, t) = součet _ {n> mgeq 1} {frac {1} {n ^ {s} m ^ {t}}} = součet _ {n = 2} ^ {infty} {frac { 1} {n ^ {s}}} součet _ {m = 1} ^ {n-1} {frac {1} {m ^ {t}}} = součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {(n + 1) ^ {s}}} součet _ {m = 1} ^ {n} {frac {1} {m ^ {t}}}}$

${displaystyle zeta (s, t) = součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {H_ {n, t}} {(n + 1) ^ {s}}}}$ kde ${displaystyle H_ {n, t}}$ jsou zobecněné harmonické čísla.

Je známo více funkcí zeta, které uspokojují to, co je známé jako dualita MZV, nejjednodušším případem je slavná identita Euler:

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {H_ {n}} {(n + 1) ^ {2}}} = zeta (2,1) = zeta (3) = sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {3}}} ,!}$

kde H_n jsou harmonická čísla.

Speciální hodnoty funkcí dvojité zeta, s s > 0 a dokonce, t > 1 a liché, ale s + t = 2N + 1 (podle potřeby ζ(0) = 0):^[4]

${displaystyle zeta (s, t) = zeta (s) zeta (t) + {frac {1} {2}} {Big [} {binom {s + t} {s}} - 1 {Big]} zeta ( s + t) -sum _ {r = 1} ^ {N-1} {Big [} {binom {2r} {s-1}} + {binom {2r} {t-1}} {Big]} zeta (2r + 1) zeta (s + t-1-2r)}$

s	t	přibližná hodnota	explicitní vzorce	OEIS
2	2	0.811742425283353643637002772406	${displaystyle {frac {3} {4}} zeta (4)}$	OEIS: A197110
3	2	0.228810397603353759768746148942	${displaystyle 3zeta (2) zeta (3) - {frac {11} {2}} zeta (5)}$	OEIS: A258983
4	2	0.088483382454368714294327839086	${displaystyle left (zeta (3) ight) ^ {2} - {frac {4} {3}} zeta (6)}$	OEIS: A258984
5	2	0.038575124342753255505925464373	${displaystyle 5zeta (2) zeta (5) + 2zeta (3) zeta (4) -11zeta (7)}$	OEIS: A258985
6	2	0.017819740416835988		OEIS: A258947
2	3	0.711566197550572432096973806086	${displaystyle {frac {9} {2}} zeta (5) -2zeta (2) zeta (3)}$	OEIS: A258986
3	3	0.213798868224592547099583574508	${displaystyle {frac {1} {2}} vlevo (vlevo (zeta (3) ight) ^ {2} -zeta (6) ight)}$	A258987
4	3	0.085159822534833651406806018872	${displaystyle 17zeta (7) -10zeta (2) zeta (5)}$	A258988
5	3	0.037707672984847544011304782294	${displaystyle 5zeta (3) zeta (5) - {frac {147} {24}} zeta (8) - {frac {5} {2}} zeta (6,2)}$	A258982
2	4	0.674523914033968140491560608257	${displaystyle {frac {25} {12}} zeta (6) -left (zeta (3) ight) ^ {2}}$	A258989
3	4	0.207505014615732095907807605495	${displaystyle 10zeta (2) zeta (5) + zeta (3) zeta (4) -18zeta (7)}$	A258990
4	4	0.083673113016495361614890436542	${displaystyle {frac {1} {2}} vlevo (vlevo (zeta (4) ight) ^ {2} -zeta (8) ight)}$	A258991

Všimněte si, že pokud ${displaystyle s + t = 2p + 2}$ my máme ${displaystyle p / 3}$ ireducibles, tj. tyto MZV nelze zapsat jako funkci ${displaystyle zeta (a)}$ pouze.^[5]

Případ tří parametrů

V konkrétním případě pouze tří parametrů, které máme (s a> 1 a n, j, i celé číslo):

${displaystyle zeta (a, b, c) = součet _ {n> j> igeq 1} {frac {1} {n ^ {a} j ^ {b} i ^ {c}}} = součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {(n + 2) ^ {a}}} součet _ {j = 1} ^ {n} {frac {1} {(j + 1) ^ {b}} } součet _ {i = 1} ^ {j} {frac {1} {(i) ^ {c}}} = součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {(n + 2) ^ {a}}} součet _ {j = 1} ^ {n} {frac {H_ {i, c}} {(j + 1) ^ {b}}}}$

Eulerův odrazový vzorec

Výše uvedené MZV splňují Eulerův odrazový vzorec:

${displaystyle zeta (a, b) + zeta (b, a) = zeta (a) zeta (b) -zeta (a + b)}$ pro ${displaystyle a, b> 1}$

Pomocí náhodných vztahů lze snadno dokázat, že:^[5]

${displaystyle zeta (a, b, c) + zeta (a, c, b) + zeta (b, a, c) + zeta (b, c, a) + zeta (c, a, b) + zeta (c , b, a) = zeta (a) zeta (b) zeta (c) + 2zeta (a + b + c) -zeta (a) zeta (b + c) -zeta (b) zeta (a + c) - zeta (c) zeta (a + b)}$ pro ${displaystyle a, b, c> 1}$

Tuto funkci lze chápat jako zobecnění vzorců reflexe.

Symetrické součty z hlediska funkce zeta

Nechat ${displaystyle S (i_ {1}, i_ {2}, cdots, i_ {k}) = součet _ {n_ {1} geq n_ {2} geq cdots n_ {k} geq 1} {frac {1} {n_ {1} ^ {i_ {1}} n_ {2} ^ {i_ {2}} cdots n_ {k} ^ {i_ {k}}}}}$a pro oddíl ${displaystyle Pi = {P_ {1}, P_ {2}, tečky, P_ {l}}}$ sady ${displaystyle {1,2, tečky, k}}$, nechť ${displaystyle c (Pi) = (left | P_ {1} ight | -1)! (left | P_ {2} ight | -1)! cdots (left | P_ {l} ight | -1)!}$. Vzhledem k tomu, že ${displaystyle Pi}$ a k-tice ${displaystyle i = {i_ {1}, ..., i_ {k}}}$ exponentů, definovat ${displaystyle prod _ {s = 1} ^ {l} zeta (součet _ {jin P_ {s}} i_ {j})}$.

Vztahy mezi ${displaystyle zeta}$ a ${displaystyle S}$ jsou:${displaystyle S (i_ {1}, i_ {2}) = zeta (i_ {1}, i_ {2}) + zeta (i_ {1} + i_ {2})}$ a ${displaystyle S (i_ {1}, i_ {2}, i_ {3}) = zeta (i_ {1}, i_ {2}, i_ {3}) + zeta (i_ {1} + i_ {2}, i_ {3}) + zeta (i_ {1}, i_ {2} + i_ {3}) + zeta (i_ {1} + i_ {2} + i_ {3})}$

Věta 1 (Hoffman)

Pro všechny skutečné ${displaystyle i_ {1}, cdots, i_ {k}> 1,}$, ${displaystyle sum _ {sigma in sum _ {k}} S (i_ {sigma (1)}, dots, i_ {sigma (k)}) = sum _ {{ext {partitions}} Pi {ext {of}} {1, tečky, k}} c (Pi) zeta (i, Pi)}$.

Důkaz. Předpokládejme ${displaystyle i_ {j}}$ jsou všechny odlišné. (Nedochází ke ztrátě obecnosti, protože můžeme brát limity.) Na levou stranu lze psát jako${displaystyle sum _ {sigma} sum _ {n_ {1} geq n_ {2} geq cdots geq n_ {k} geq 1} {frac {1} {{n ^ {i_ {1}}} _ {sigma (1 )} {n ^ {i_ {2}}} _ {sigma (2)} cdots {n ^ {i_ {k}}} _ {sigma (k)}}}}$. Nyní přemýšlím o symetrii

skupina ${displaystyle sum _ {k}}$ jako působící na k-n-tici ${displaystyle n = (1, cdots, k)}$ kladných celých čísel. Daná k-tice ${displaystyle n = (n_ {1}, cdots, n_ {k})}$ má izotropní skupinu

${displaystyle sum _ {k} (n)}$ a přidružený oddíl ${displaystyle Lambda}$ z ${displaystyle (1,2, cdots, k)}$: ${displaystyle Lambda}$ je množina tříd ekvivalence vztahu daná vztahem ${displaystyle isim j}$ iff ${displaystyle n_ {i} = n_ {j}}$, a ${displaystyle sum _ {k} (n) = {sigma v součtu _ {k}: sigma (i) sim forall i}}$. Nyní termín ${displaystyle {frac {1} {{n ^ {i_ {1}}} _ {sigma (1)} {n ^ {i_ {2}}} _ {sigma (2)} cdots {n ^ {i_ {k }}} _ {sigma (k)}}}}$ se vyskytuje na levé straně ${displaystyle sum _ {sigma in sum _ {k}} S (i_ {sigma (1)}, dots, i_ {sigma (k)}) = sum _ {{ext {partitions}} Pi {ext {of}} {1, tečky, k}} c (Pi) zeta (i, Pi)}$ přesně ${displaystyle left | sum _ {k} (n) ight |}$ krát. Vyskytuje se na pravé straně v těch výrazech, které odpovídají oddílům ${displaystyle Pi}$ to jsou upřesnění ${displaystyle Lambda}$: pronájem ${displaystyle succeq}$ označit upřesnění, ${displaystyle {frac {1} {{n ^ {i_ {1}}} _ {sigma (1)} {n ^ {i_ {2}}} _ {sigma (2)} cdots {n ^ {i_ {k }}} _ {sigma (k)}}}}$ dojde ${displaystyle sum _ {Pi succeq Lambda} (Pi)}$ krát. Závěr tedy bude následovat, pokud ${displaystyle left | sum _ {k} (n) ight | = sum _ {Pi succeq Lambda} c (Pi)}$ pro jakoukoli k-tici ${displaystyle n = {n_ {1}, cdots, n_ {k}}}$ a přidružený oddíl ${displaystyle Lambda}$Toto si všimněte ${displaystyle c (Pi)}$ spočítá permutace, které mají typ cyklu specifikovaný ${displaystyle Pi}$: protože všechny prvky ${displaystyle sum _ {k} (n)}$ má jedinečný typ cyklu určený oddílem, který upřesňuje ${displaystyle Lambda}$, následuje výsledek.^[6]

Pro ${displaystyle k = 3}$, říká věta ${displaystyle sum _ {sigma in sum _ {3}} S (i_ {sigma (1)}, i_ {sigma (2)}, i_ {sigma (3)}) = zeta (i_ {1}) zeta (i_ {2}) zeta (i_ {3}) + zeta (i_ {1} + i_ {2}) zeta (i_ {3}) + zeta (i_ {1}) zeta (i_ {2} + i_ {3} ) + zeta (i_ {1} + i_ {3}) zeta (i_ {2}) + 2zeta (i_ {1} + i_ {2} + i_ {3})}$pro ${displaystyle i_ {1}, i_ {2}, i_ {3}> 1}$. To je hlavní výsledek.^[7]

Mít ${displaystyle zeta (i_ {1}, i_ {2}, cdots, i_ {k}) = součet _ {n_ {1}> n_ {2}> cdots n_ {k} geq 1} {frac {1} {n_ {1} ^ {i_ {1}} n_ {2} ^ {i_ {2}} cdots n_ {k} ^ {i_ {k}}}}}$. Uvést analogii Věty 1 pro ${displaystyle zeta}$, požadujeme jeden bit notace. Pro oddíl

${displaystyle Pi = {P_ {1}, cdots, P_ {l}}}$ nebo ${displaystyle {1,2cdots, k}}$, nechť ${displaystyle {ilde {c}} (Pi) = (- 1) ^ {k-l} c (Pi)}$.

Věta 2 (Hoffman)

Pro všechny skutečné ${displaystyle i_ {1}, cdots, i_ {k}> 1}$, ${displaystyle sum _ {sigma in sum _ {k}} zeta (i_ {sigma (1)}, dots, i_ {sigma (k)}) = sum _ {{ext {partitions}} Pi {ext {of}} {1, dots, k}} {ilde {c}} (Pi) zeta (i, Pi)}$.

Důkaz. Sledujeme stejnou argumentační linii jako v předchozím důkazu. Nyní je levá strana${displaystyle sum _ {sigma} sum _ {n_ {1}> n_ {2}> cdots> n_ {k} geq 1} {frac {1} {{n ^ {i_ {1}}} _ {sigma (1 )} {n ^ {i_ {2}}} _ {sigma (2)} cdots {n ^ {i_ {k}}} _ {sigma (k)}}}}$a termín ${displaystyle {frac {1} {n_ {1} ^ {i_ {1}} n_ {2} ^ {i_ {2}} cdots n_ {k} ^ {i_ {k}}}}}$ se vyskytuje na levé straně, protože jednou, pokud jsou všechny ${displaystyle n_ {i}}$ jsou odlišné a vůbec ne jinak. To tedy stačí ukázat ${displaystyle sum _ {Pi succeq Lambda} {ilde {c}} (Pi) = {egin {cases} 1, {ext {if}} left | Lambda ight | = k 0, {ext {jinak}}. konec {případy}}}$ (1)

Chcete-li to dokázat, nejprve si povšimněte znaménka ${displaystyle {ilde {c}} (Pi)}$ je pozitivní, pokud jsou permutace typu cyklu ${displaystyle Pi}$ jsou sudé a záporné, jsou-li liché: levá strana (1) je tedy znaménkový součet počtu sudých a lichých permutací ve skupině izotropie ${displaystyle sum _ {k} (n)}$. Ale taková izotropní skupina má stejný počet sudých a lichých permutací, pokud to není triviální, tj. Pokud není přidružený oddíl ${displaystyle Lambda}$ je ${displaystyle {{1}, {2}, cdots, {k}}}$.^[6]

Souhrn a dualita domněnky^[6]

Nejprve uvedeme souhrnnou domněnku, která je způsobena C. Moenem.^[8]

Souhrn domněnka (Hoffman). Pro kladná celá čísla k a n,${displaystyle sum _ {i_ {1} + cdots + i_ {k} = n, i_ {1}> 1} zeta (i_ {1}, cdots, i_ {k}) = zeta (n)}$, kde je součet rozšířen o k-n-tice ${displaystyle i_ {1}, cdots, i_ {k}}$ kladných celých čísel s ${displaystyle i_ {1}> 1}$.

Tři poznámky týkající se této domněnky jsou v pořádku. Nejprve to znamená${displaystyle sum _ {i_ {1} + cdots + i_ {k} = n, i_ {1}> 1} S (i_ {1}, cdots, i_ {k}) = {n-1 zvolte k-1} zeta (n)}$. Zadruhé, v případě ${displaystyle k = 2}$ říká to ${displaystyle zeta (n-1,1) + zeta (n-2,2) + cdots + zeta (2, n-2) = zeta (n)}$nebo pomocí vztahu mezi ${displaystyle zeta}$ a ${displaystyle S's}$ a věta 1, ${displaystyle 2S (n-1,1) = (n + 1) zeta (n) -sum _ {k = 2} ^ {n-2} zeta (k) zeta (n-k).}$

To dokázal Euler^[9] a byl znovuobjeven několikrát, zejména Williamsem.^[10] Nakonec C. Moen^[8] prokázal stejnou domněnku pro k = 3 zdlouhavými, ale elementárními argumenty. Pro domněnku duality nejprve definujeme involuci ${displaystyle au}$ na scéně ${displaystyle Im}$ konečných posloupností kladných celých čísel, jejichž první prvek je větší než 1. Let ${displaystyle mathrm {T}}$ být množina striktně rostoucí konečné sekvence kladných celých čísel, a let ${displaystyle Sigma: Im ightarrow mathrm {T}}$ být funkce, která posílá sekvenci dovnitř ${displaystyle Im}$ k jeho posloupnosti dílčích součtů. Li ${displaystyle mathrm {T} _ {n}}$ je sada sekvencí v ${displaystyle mathrm {T}}$ jehož poslední prvek je nanejvýš ${displaystyle n}$, máme dvě dojíždějící involuce ${displaystyle R_ {n}}$ a ${displaystyle C_ {n}}$ na ${displaystyle mathrm {T} _ {n}}$ definován ${displaystyle R_ {n} (a_ {1}, a_ {2}, cdots, a_ {l}) = (n + 1-a_ {l}, n + 1-a_ {l-1}, cdots, n + 1-a_ {1})}$ a ${displaystyle C_ {n} (a_ {1}, cdots, a_ {l})}$ = doplněk ${displaystyle {a_ {1}, cdots, a_ {l}}}$ v ${displaystyle {1,2, cdots, n}}$ uspořádány ve vzestupném pořadí. Naše definice ${displaystyle au}$ je ${displaystyle au (I) = Sigma ^ {- 1} R_ {n} C_ {n} Sigma (I) = Sigma ^ {- 1} C_ {n} R_ {n} Sigma (I)}$ pro ${displaystyle I = (i_ {1}, i_ {2}, cdots, i_ {k}) v Im}$ s ${displaystyle i_ {1} + cdots + i_ {k} = n}$.

Například,${displaystyle au (3,4,1) = Sigma ^ {- 1} C_ {8} R_ {8} (3,7,8) = Sigma ^ {- 1} (3,4,5,7,8) = (3,1,1,2,1).}$Řekneme sekvence ${displaystyle (i_ {1}, cdots, i_ {k})}$ a ${displaystyle au (i_ {1}, cdots, i_ {k})}$ jsou navzájem dvojí a odkazují na posloupnost stanovenou pomocí ${displaystyle au}$ jako sebe-dual.^[6]

Dualita domněnka (Hoffman). Li ${displaystyle (h_ {1}, cdots, h_ {n-k})}$ je dvojí ${displaystyle (i_ {1}, cdots, i_ {k})}$, pak ${displaystyle zeta (h_ {1}, cdots, h_ {n-k}) = zeta (i_ {1}, cdots, i_ {k})}$.

Tato hypotéza součtu je také známá jako Věta o součtu, a lze jej vyjádřit následovně: Riemannova zeta hodnota celého čísla n ≥ 2 se rovná součtu všech platných (tj. S s₁ > 1) MZV z oddíly délky k a hmotnost n, s 1 ≤k ≤n - 1. Ve vzorci:^[3]

${displaystyle sum _ {stackrel {s_ {1} + cdots + s_ {k} = n} {s_ {1}> 1}} zeta (s_ {1}, ldots, s_ {k}) = zeta (n)}$

Například s délkou k = 2 a hmotnost n = 7:

${displaystyle zeta (6,1) + zeta (5,2) + zeta (4,3) + zeta (3,4) + zeta (2,5) = zeta (7)}$

Eulerova suma se všemi možnými střídáním znaménka

Eulerova suma se střídáním znaménka se objevuje ve studiích nestřídavého Eulerova součtu.^[5]

Zápis

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {H_ {n} ^ {(b)} (- 1) ^ {(n + 1)}} {(n + 1) ^ {a}} } = zeta ({ar {a}}, b)}$ s ${displaystyle H_ {n} ^ {(b)} = + 1+ {frac {1} {2 ^ {b}}} + {frac {1} {3 ^ {b}}} + cdots}$ jsou zobecněné harmonické čísla.

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {{ar {H}} _ {n} ^ {(b)}} {(n + 1) ^ {a}}} = zeta (a, {ar {b}})}$ s ${displaystyle {ar {H}} _ {n} ^ {(b)} = - 1+ {frac {1} {2 ^ {b}}} - {frac {1} {3 ^ {b}}} + cdots}$

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {{ar {H}} _ {n} ^ {(b)} (- 1) ^ {(n + 1)}} {(n + 1 ) ^ {a}}} = zeta ({ar {a}}, {ar {b}})}$

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {n}} {(n + 2) ^ {a}}} součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {{ar {H}} _ {n} ^ {(c)} (- 1) ^ {(n + 1)}} {(n + 1) ^ {b}}} = zeta ({ar {a} }, {ar {b}}, {ar {c}})}$ s ${displaystyle {ar {H}} _ {n} ^ {(c)} = - 1+ {frac {1} {2 ^ {c}}} - {frac {1} {3 ^ {c}}} + cdots}$

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {n}} {(n + 2) ^ {a}}} součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {H_ {n} ^ {(c)}} {(n + 1) ^ {b}}} = zeta ({ar {a}}, b, c)}$ s ${displaystyle H_ {n} ^ {(c)} = + 1+ {frac {1} {2 ^ {c}}} + {frac {1} {3 ^ {c}}} + cdots}$

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {(n + 2) ^ {a}}} sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {H_ {n} ^ { (c)} (- 1) ^ {(n + 1)}} {(n + 1) ^ {b}}} = zeta (a, {ar {b}}, c)}$

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {(n + 2) ^ {a}}} suma _ {n = 1} ^ {infty} {frac {{ar {H}} _ {n} ^ {(c)}} {(n + 1) ^ {b}}} = zeta (a, b, {ar {c}})}$

Jako varianta Funkce Dirichlet eta definujeme

${displaystyle phi (s) = {frac {1-2 ^ {(s-1)}} {2 ^ {(s-1)}}} zeta (s)}$ s ${displaystyle s> 1}$

${displaystyle phi (1) = - ln 2}$

Reflexní vzorec

Reflexní vzorec ${displaystyle zeta (a, b) + zeta (b, a) = zeta (a) zeta (b) -zeta (a + b)}$ lze zobecnit následovně:

${displaystyle zeta (a, {ar {b}}) + zeta ({ar {b}}, a) = zeta (a) phi (b) -phi (a + b)}$

${displaystyle zeta ({ar {a}}, b) + zeta (b, {ar {a}}) = zeta (b) phi (a) -phi (a + b)}$

${displaystyle zeta ({ar {a}}, {ar {b}}) + zeta ({ar {b}}, {ar {a}}) = phi (a) phi (b) -zeta (a + b )}$

-li ${displaystyle a = b}$ my máme ${displaystyle zeta ({ar {a}}, {ar {a}}) = {frac {1} {2}} {Big [} phi ^ {2} (a) -zeta (2a) {Big]}}$

Další vztahy

Pomocí definice řady je snadné dokázat:

${displaystyle zeta (a, b) + zeta (a, {ar {b}}) + zeta ({ar {a}}, b) + zeta ({ar {a}}, {ar {b}}) = {frac {zeta (a, b)} {2 ^ {(a + b-2)}}}}$ s ${displaystyle a> 1}$

${displaystyle zeta (a, b, c) + zeta (a, b, {ar {c}}) + zeta (a, {ar {b}}, c) + zeta ({ar {a}}, b, c) + zeta (a, {ar {b}}, {ar {c}}) + zeta ({ar {a}}, b, {ar {c}}) + zeta ({ar {a}}, {ar {b}}, c) + zeta ({ar {a}}, {ar {b}}, {ar {c}}) = {frac {zeta (a, b, c)} {2 ^ { (a + b + c-3)}}}}$ s ${displaystyle a> 1}$

Další užitečný vztah je:^[5]

${displaystyle zeta (a, b) + zeta ({ar {a}}, {ar {b}}) = sum _ {s> 0} (a + bs-1)! {Big [} {frac {Z_ { a} (a + bs, s)} {(as)! (b-1)!}} + {frac {Z_ {b} (a + bs, s)} {(bs)! (a-1)! }} {Big]}}$

kde ${displaystyle Z_ {a} (s, t) = zeta (s, t) + zeta ({ar {s}}, t) - {frac {{Big [} zeta (s, t) + zeta (s + t ) {Big]}} {2 ^ {(s-1)}}}}$ a ${displaystyle Z_ {b} (s, t) = {frac {zeta (s, t)} {2 ^ {(s-1)}}}}$

Všimněte si, že ${displaystyle s}$ musí být použit pro všechny hodnoty ${displaystyle> 1}$ pro koho je argument faktoriálů ${displaystyle geqslant 0}$

Další výsledky

Pro celé kladné číslo:${displaystyle a, b, tečky, k}$:

${displaystyle sum _ {n = 2} ^ {infty} zeta (n, k) = zeta (k + 1)}$ nebo obecněji:

${displaystyle sum _ {n = 2} ^ {infty} zeta (n, a, b, tečky, k) = zeta (a + 1, b, tečky, k)}$

${displaystyle sum _ {n = 2} ^ {infty} zeta (n, {ar {k}}) = - phi (k + 1)}$

${displaystyle sum _ {n = 2} ^ {infty} zeta (n, {ar {a}}, b) = zeta ({overline {a + 1}}, b)}$

${displaystyle sum _ {n = 2} ^ {infty} zeta (n, a, {ar {b}}) = zeta (a + 1, {ar {b}})}$

${displaystyle sum _ {n = 2} ^ {infty} zeta (n, {ar {a}}, {ar {b}}) = zeta ({overline {a + 1}}, {ar {b}}) }$

${displaystyle lim _ {k o infty} zeta (n, k) = zeta (n) -1}$

${displaystyle 1-zeta (2) + zeta (3) -zeta (4) + cdots = | {frac {1} {2}} |}$

${displaystyle zeta (a, a) = {frac {1} {2}} {Big [} (zeta (a)) ^ {2} -zeta (2a) {Big]}}$

${displaystyle zeta (a, a, a) = {frac {1} {6}} (zeta (a)) ^ {3} + {frac {1} {3}} zeta (3a) - {frac {1} {2}} zeta (a) zeta (2a)}$

Hodnoty Mordell – Tornheim zeta

Funkce Mordell – Tornheim zeta, kterou zavedl Matsumoto (2003) který byl motivován novinami Mordell (1958) a Tornheim (1950), je definováno

${displaystyle zeta _ {MT, r} (s_ {1}, tečky, s_ {r}; s_ {r + 1}) = součet _ {m_ {1}, tečky, m_ {r}> 0} {frac { 1} {m_ {1} ^ {s_ {1}} cdots m_ {r} ^ {s_ {r}} (m_ {1} + tečky + m_ {r}) ^ {s_ {r + 1}}}} }$

Jedná se o speciální případ Funkce Shintani zeta.

Reference

• Tornheim, Leonard (1950). "Harmonická dvojitá řada". American Journal of Mathematics. 72 (2): 303–314. doi:10.2307/2372034. ISSN  0002-9327. JSTOR  2372034. PAN  0034860.
• Mordell, Louis J. (1958). Msgstr "O hodnocení několika sérií". Journal of the London Mathematical Society. Druhá série. 33 (3): 368–371. doi:10.1112 / jlms / s1-33.3.368. ISSN  0024-6107. PAN  0100181.
• Apostol, Tom M.; Vu, Thiennu H. (1984), „Dirichletova řada týkající se funkce Riemann zeta“, Žurnál teorie čísel, 19 (1): 85–102, doi:10.1016 / 0022-314X (84) 90094-5, ISSN  0022-314X, PAN  0751166
• Crandall, Richard E .; Buhler, Joe P. (1994). „K vyhodnocení Eulerových součtů“. Experimentální matematika. 3 (4): 275. doi:10.1080/10586458.1994.10504297. PAN  1341720.
• Borwein, Jonathan M .; Girgensohn, Roland (1996). „Vyhodnocení součtu Triple Euler“. El. J. Combinat. 3 (1): # R23. PAN  1401442.
• Flajolet, Philippe; Salvy, Bruno (1998). "Eulerovy součty a integrální zobrazení obrysu". Exp. Matematika. 7: 15–35. CiteSeerX  10.1.1.37.652. doi:10.1080/10586458.1998.10504356.
• Zhao, Jianqiang (1999). "Analytické pokračování více funkcí zeta". Proceedings of the American Mathematical Society. 128 (5): 1275–1283. doi:10.1090 / S0002-9939-99-05398-8. PAN  1670846.
• Matsumoto, Kohji (2003), „On Mordell – Tornheim and other multiple zeta-functions“, Sborník relace v teorii analytického čísla a diofantických rovnic, Bonner Math. Schriften, 360, Bonn: Univ. Bonn, PAN  2075634
• Espinosa, Olivier; Moll, Victor H. (2008). "Vyhodnocení Tornheimových dvojitých součtů". arXiv:matematika / 0505647.
• Espinosa, Olivier; Moll, Victor H. (2010). "Hodnocení Tornheimových dvojitých součtů II". Ramanujan J. 22: 55–99. arXiv:0811.0557. doi:10.1007 / s11139-009-9181-1. PAN  2610609.
• Borwein, J.M.; Chan, O-Y. (2010). Msgstr "Dualita v koncích více hodnot zeta". Int. J. Teorie čísel. 6 (3): 501–514. CiteSeerX  10.1.1.157.9158. doi:10.1142 / S1793042110003058. PAN  2652893.
• Basu, Ankur (2011). "Na vyhodnocení Tornheimových součtů a spojeneckých dvojitých součtů". Ramanujan J. 26 (2): 193–207. doi:10.1007 / s11139-011-9302-5. PAN  2853480.

Poznámky

externí odkazy

• Borwein, Jonathan; Zudilin, Wadim. „Poznámky k přednášce o funkci Zeta více“.
• Hoffman, Michael (2012). "Více hodnot zeta".
• Zhao, Jianqiang (2016). Více funkcí Zeta, více polylogaritmů a jejich speciální hodnoty. Série o teorii čísel a jejích aplikacích. 12. World Scientific Publishing. doi:10.1142/9634. ISBN  978-981-4689-39-7.
• Burgos Gil, José Ignacio; Fresán, Javier. "Více hodnot zeta: od čísel k motivům" (PDF).