Legendre chi funkce - Legendre chi function

v matematika, Legendre chi funkce je speciální funkce jehož Taylor série je také a Dirichletova řada, dána

${ displaystyle chi _ { nu} (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {2k + 1}} {(2k + 1) ^ { nu} }}.}$

Jako takový se podobá sérii Dirichlet pro polylogaritmus, a je skutečně triviálně vyjádřitelný z hlediska polylogaritmu jako

${ displaystyle chi _ { nu} (z) = { frac {1} {2}} left [ operatorname {Li} _ { nu} (z) - operatorname {Li} _ { nu } (- z) vpravo].}$

Funkce Legendre chi se zobrazí jako diskrétní Fourierova transformace, s ohledem na pořadí ν, Funkce Hurwitz zeta, a také Eulerovy polynomy, s výslovnými vztahy uvedenými v těchto článcích.

Funkce Legendre chi je speciální případ Lerch transcendentní, a je dán

${ displaystyle chi _ { nu} (z) = 2 ^ {- nu} z , Phi (z ^ {2}, nu, 1/2).}$

Totožnosti

${ displaystyle chi _ {2} (x) + chi _ {2} (1 / x) = { frac { pi ^ {2}} {4}} - { frac {i pi} { 2}} ln | x |.}$

${ displaystyle { frac {d} {dx}} chi _ {2} (x) = { frac {{ rm {artanh ,}} x} {x}}.}$

Integrální vztahy

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi / 2} arcsin (r sin theta) d theta = chi _ {2} left (r right)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi / 2} arctan (r sin theta) d theta = - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { pi } { frac {r theta cos theta} {1 + r ^ {2} sin ^ {2} theta}} d theta = 2 chi _ {2} left ({ frac {{ sqrt {1 + r ^ {2}}} - 1} {r}} vpravo)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi / 2} arctan (p sin theta) arctan (q sin theta) d theta = pi chi _ {2} vlevo ({ frac {{ sqrt {1 + p ^ {2}}} - 1} {p}} cdot { frac {{ sqrt {1 + q ^ {2}}} - 1} {q}} že jo)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { alpha} int _ {0} ^ { beta} { frac {dxdy} {1-x ^ {2} y ^ {2}}} = chi _ {2} ( alpha beta) qquad { rm {if}} ~~ | alpha beta | leq 1}$

Reference

• Weisstein, Eric W. „Legendreova funkce Chi“. MathWorld.
• Djurdje Cvijović, Jacek Klinowski (1999). „Hodnoty Legendre chi a Hurwitz zeta fungují při racionálních argumentech“. Matematika výpočtu. 68 (228): 1623–1630. doi:10.1090 / S0025-5718-99-01091-1.
• Djurdje Cvijović (2007). "Integrovaná reprezentace funkce Legendre chi". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 332 (2): 1056–1062. arXiv:0911.4731. doi:10.1016 / j.jmaa.2006.10.083.

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.