Funkce Dirichlet beta - Dirichlet beta function

Funkce Dirichlet beta

v matematika, Funkce Dirichlet beta (také známý jako Katalánská beta funkce) je speciální funkce, úzce souvisí s Funkce Riemann zeta. Je to zvláštní Dirichletova funkce L., funkce L pro střídání charakter období čtyři.

Definice

Funkce Dirichlet beta je definována jako

${ displaystyle beta (s) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) ^ {s}}},}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle beta (s) = { frac {1} { gama (y)}} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {s-1} e ^ {- x }} {1 + e ^ {- 2x}}} , dx.}$

V každém případě se předpokládá, že Re (s) > 0.

Alternativně následující definice, pokud jde o Funkce Hurwitz zeta, platí v celém komplexu s-letadlo:

${ displaystyle beta (s) = 4 ^ {- s} left ( zeta left (s, {1 over 4} right) - zeta left (s, {3 over 4} right )že jo).}$ důkaz

Další ekvivalentní definice, pokud jde o Lerch transcendentní, je:

${ displaystyle beta (s) = 2 ^ {- s} Phi left (-1, s, {{1} over {2}} right),}$

který je opět platný pro všechny komplexní hodnoty s.

Rovněž lze vytvořit sériové zastoupení funkce Dirichlet beta ve smyslu funkce polygammy

${ displaystyle beta (s) = { frac {1} {2 ^ {s}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} { left (n + { frac {1} {2}} right) ^ {s}}} = { frac {1} {(- 2) ^ {2s} (s-1)!}} left [ psi ^ {(s-1)} left ({ frac {1} {4}} right) - psi ^ {(s-1)} left ({ frac {3} {4}} dobře dobře].}$

Eulerův vzorec produktu

Je to také nejjednodušší příklad řady, která přímo nesouvisí s ${ displaystyle zeta (s)}$ který lze také rozložit na Produkt Euler, což vede k myšlence Dirichletova postava definování přesného souboru Dirichletova řada s faktorizací nad prvočísla.

Alespoň pro Re (s) ≥ 1:

${ displaystyle beta (s) = prod _ {p equiv 1 mathrm {mod} 4} { frac {1} {1-p ^ {- s}}} prod _ {p equiv 3 mathrm {mod} 4} { frac {1} {1 + p ^ {- s}}}}$

kde p≡1 mod 4 jsou prvočísla formy 4n+1 (5,13,17, ...) a p≡3 mod 4 jsou prvočísla formy 4n+3 (3,7,11, ...). To lze napsat kompaktně jako

${ displaystyle beta (s) = prod _ {p> 2 na vrcholu p { text {prime}}} { frac {1} {1 - , scriptstyle (-1) ^ { frac {p -1} {2}} textový styl p ^ {- s}}}.}$

Funkční rovnice

The funkční rovnice rozšiřuje funkci beta na levou stranu složité letadlo Re(s) ≤ 0. Je dána vztahem

${ displaystyle beta (1-s) = left ({ frac { pi} {2}} right) ^ {- s} sin left ({ frac { pi} {2}} s right) Gamma (s) beta (s)}$

kde Γ (s) je funkce gama.

Speciální hodnoty

Některé speciální hodnoty zahrnují:

${ displaystyle beta (0) = { frac {1} {2}},}$

${ displaystyle beta (1) ; = ; arctan (1) ; = ; { frac { pi} {4}},}$

${ displaystyle beta (2) ; = ; G,}$

kde G představuje Katalánská konstanta, a

${ displaystyle beta (3) ; = ; { frac { pi ^ {3}} {32}},}$

${ displaystyle beta (4) ; = ; { frac {1} {768}} vlevo ( psi _ {3} vlevo ({ frac {1} {4}} vpravo) -8 pi ^ {4} vpravo),}$

${ displaystyle beta (5) ; = ; { frac {5 pi ^ {5}} {1536}},}$

${ displaystyle beta (7) ; = ; { frac {61 pi ^ {7}} {184320}},}$

kde ${ displaystyle psi _ {3} (1/4)}$ ve výše uvedeném příkladu funkce polygammy. Obecněji pro jakékoli kladné celé číslo k:

${ displaystyle beta (2k + 1) = {{({- 1}) ^ {k}} {E_ {2k}} { pi ^ {2k + 1}} přes {4 ^ {k + 1} } (2k)!},}$

kde ${ displaystyle ! E_ {n}}$ představují Eulerova čísla. Pro celé číslo k ≥ 0, toto se vztahuje na:

${ displaystyle beta (-k) = {{E_ {k}} nad {2}}.}$

Funkce proto zmizí pro všechny liché záporné celočíselné hodnoty argumentu.

Pro každé kladné celé číslo k:

${ displaystyle beta (2k) = { frac {1} {2 (2k-1)!}} součet _ {m = 0} ^ { infty} left ( left ( sum _ {l = 0} ^ {k-1} { binom {2k-1} {2l}} { frac {(-1) ^ {l} A_ {2k-2l-1}} {2l + 2m + 1}} right) - { frac {(-1) ^ {k-1}} {2m + 2k}} right) { frac {A_ {2m}} {(2m)!}} { left ({ frac { pi} {2}} vpravo)} ^ {2m + 2k},}$^{[Citace je zapotřebí ]}

kde ${ displaystyle A_ {k}}$ je Eulerovo klikaté číslo.

Také to bylo odvozeno Malmsten v roce 1842 to

${ displaystyle beta '(1) = součet _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} { frac { ln (2n + 1)} {2n + 1} } , = , { frac { pi} {4}} { big (} gamma - ln pi) + pi ln Gamma left ({ frac {3} {4}} že jo)}$

Existují nuly na -1; -3; -5; -7 atd.

Viz také

• Funkce Hurwitz zeta
• Funkce Dirichlet eta
• Polylogaritmus

Reference

• Glasser, M. L. (1972). "Hodnocení mřížkových součtů. I. Analytické postupy". J. Math. Phys. 14 (3): 409. Bibcode:1973JMP .... 14..409G. doi:10.1063/1.1666331.
• J. Spanier a K. B. Oldham, Atlas funkcí, (1987) Hemisphere, New York.
• Weisstein, Eric W. „Funkce Dirichlet Beta“. MathWorld.