Funkce Debye - Debye function - Wikipedia

v matematika, rodina Debye funkce je definováno

${ displaystyle D_ {n} (x) = { frac {n} {x ^ {n}}} int _ {0} ^ {x} { frac {t ^ {n}} {e ^ {t } -1}} , dt.}$

Funkce jsou pojmenovány na počest Peter Debye, který narazil na tuto funkci (s n = 3) v roce 1912, když analyticky vypočítal tepelná kapacita toho, co se nyní nazývá Debye model.

Matematické vlastnosti

Vztah k ostatním funkcím

Funkce Debye úzce souvisí s polylogaritmus.

Rozšíření série

Mají rozšíření série^[1]

${ displaystyle D_ {n} (x) = 1 - { frac {n} {2 (n + 1)}} x + n součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {B_ { 2k}} {(2k + n) (2k)!}} X ^ {2k}, quad | x | <2 pi, n geq 1,}$

kde ${ displaystyle B_ {n}}$ je n-té Bernoulliho číslo.

Mezní hodnoty

${ displaystyle lim _ {x až 0} D_ {n} (x) = 1.}$

Li ${ displaystyle Gamma}$ je funkce gama a ${ displaystyle zeta}$ je Funkce Riemann zeta pak pro ${ displaystyle x gg 0}$,

${ displaystyle D_ {n} (x) = { frac {n} {x ^ {n}}} int _ {0} ^ {x} { frac {t ^ {n} , dt} {e ^ {t} -1}} sim { frac {n} {x ^ {n}}} Gamma (n + 1) zeta (n + 1), qquad operatorname {Re} n> 0, }$^[2]

Derivát

Derivát se řídí vztahem

${ displaystyle xD_ {n} ^ { prime} (x) = n (B (x) -D_ {n} (x)),}$

kde ${ displaystyle B (x) = x / (e ^ {x} -1)}$ je funkce Bernoulli.

Aplikace ve fyzice pevných látek

Model Debye

The Debye model má hustota vibračních stavů

${ displaystyle g _ { rm {D}} ( omega) = { frac {9 omega ^ {2}} { omega _ { rm {D}} ^ {3}}}}$ pro ${ displaystyle 0 leq omega leq omega _ { rm {D}}}$

s Frekvence debye ω_D.

Vnitřní energie a tepelná kapacita

Vkládání G do vnitřní energie

${ displaystyle U = int _ {0} ^ { infty} d omega , g ( omega) , hbar omega , n ( omega)}$

s Distribuce Bose – Einstein

${ displaystyle n ( omega) = { frac {1} { exp ( hbar omega / k _ { rm {B}} T) -1}}}$.

jeden získá

${ displaystyle U = 3k _ { rm {B}} T , D_ {3} ( hbar omega _ { rm {D}} / k _ { rm {B}} T)}$.

Tepelná kapacita je její derivát.

Střední čtvercový posun

Intenzita Rentgenová difrakce nebo neutronová difrakce u vlnového čísla q je dán Debye-Wallerův faktor nebo Jehněčí-Mössbauerův faktor U izotropních systémů má formu

${ displaystyle exp (-2W (q)) = exp (-q ^ {2} langle u_ {x} ^ {2} rangle}$).

V tomto výrazu střední čtvercový posun označuje pouze jednou kartézskou složkuu_X vektoru u který popisuje přemístění atomů z jejich rovnovážných poloh. Za předpokladu harmonie a vývoje do normálních režimů,^[3]jeden získá

${ displaystyle 2W (q) = { frac { hbar ^ {2} q ^ {2}} {6Mk _ { rm {B}} T}} int _ {0} ^ { infty} d omega { frac {k _ { rm {B}} T} { hbar omega}} g ( omega) coth { frac { hbar omega} {2k _ { rm {B}} T}} = { frac { hbar ^ {2} q ^ {2}} {6Mk _ { rm {B}} T}} int _ {0} ^ { infty} d omega { frac {k _ { rm {B}} T} { hbar omega}} g ( omega) left [{ frac {2} { exp ( hbar omega / k _ { rm {B}} T) -1}} +1 vpravo].}$

Vložením hustoty stavů z Debyeho modelu získáme jeden

${ displaystyle 2W (q) = { frac {3} {2}} { frac { hbar ^ {2} q ^ {2}} {M hbar omega _ { rm {D}}}} left [2 left ({ frac {k _ { rm {B}} T} { hbar omega _ { rm {D}}}} right) D_ {1} left ({ frac { hbar omega _ { rm {D}}} {k _ { rm {B}} T}} vpravo) + { frac {1} {2}} vpravo]}$.

Z výše uvedeného rozšíření výkonové řady o ${ displaystyle D_ {1}}$ z toho vyplývá, že střední kvadratický posun při vysokých teplotách má lineární teplotu

${ displaystyle 2W (q) = { frac {3k _ { rm {B}} Tq ^ {2}} {M omega _ { rm {D}} ^ {2}}}}$.

Nepřítomnost ${ displaystyle hbar}$ označuje, že se jedná o klasický výsledek. Protože ${ displaystyle D_ {1} (x)}$ jde na nulu pro ${ displaystyle x to infty}$ z toho vyplývá, že pro ${ displaystyle T = 0}$

${ displaystyle 2W (q) = { frac {3} {4}} { frac { hbar ^ {2} q ^ {2}} {M hbar omega _ { rm {D}}}} }$ (pohyb nulového bodu ).

Reference

Další čtení

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 27“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. str. 998. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• „Funkce Debye“ v MathWorld, definuje funkce Debye bez prefaktoru n/Xⁿ

Implementace

• Fortran 77 kód podle Allan MacLeod z Transakce s matematickým softwarem
• Verze Fortran 90
• Verze C. z Vědecká knihovna GNU