Archimedean nařídil vektorový prostor - Archimedean ordered vector space

V matematice, konkrétně v teorie objednávek, a binární relace ≤ na a vektorový prostor X se volá reálné nebo komplexní číslo Archimedean pokud pro všechny X v X, kdykoli nějaké existují y v X takhle nx ≤ y pro všechna kladná celá čísla n, pak nutně X ≤ 0. An Archimédův (před) uspořádaný vektorový prostor je (pre)uspořádaný vektorový prostor jehož pořadí je Archimedean.[1] Preuspořádaný vektorový prostor X je nazýván téměř Archimedean pokud pro všechny X v X, kdykoli existuje a y v X takový, že -n−1y ≤ X ≤ n−1y pro všechna kladná celá čísla n, pak X = 0.[2]

Charakterizace

Preuspořádaný vektorový prostor (X, ≤) s an objednat jednotku u je Archimedean předobjednán právě tehdy n x ≤ u pro všechna nezáporná celá čísla n naznačuje X ≤ 0.[3]

Vlastnosti

Nechat X být uspořádaný vektorový prostor nad realitami, které jsou konečně trojrozměrné. Pak pořadí X je Archimedean právě tehdy, když je pozitivní kužel z X je uzavřen pro jedinečnou topologii, pod kterou X je Hausdorff TVS.[4]

Norma objednávky jednotky

Předpokládejme (X, ≤) je uspořádaný vektorový prostor nad reálemi s objednat jednotku u jehož pořadí je Archimedean a nechť U = [-u, u]. Pak Minkowski funkční pU z U (definován ) je norma zvaná objednávková jednotka norm. To uspokojuje pU(u) = 1 a uzavřená jednotková koule určena pU je rovný [-u, u] (tj. [-u, u] = \{ X v X : pU(X) ≤ 1 \}.[3]

Příklady

Prostor prostor l∞(S, ℝ) ohraničených map se skutečnou hodnotou na množině S s bodovým řádem je Archimedean objednán s objednávkovou jednotkou u : = 1 (tj. Funkce, která je shodně 1 zapnutá S). Norma objednávkové jednotky na l∞(S, ℝ) je totožný s obvyklou normou sup: .[3]

Příklady

Každý Objednávka Kompletní vektorové mřížky je nařízeno Archimédovi.[5] Konečně-dimenzionální vektorová mřížka dimenze n je Archimedean nařízeno právě tehdy, pokud je izomorfní s s jeho kanonickým řádem.[5] Naprosto seřazené vektorové pořadí dimenze> 1 však nelze uspořádat podle Archimeda.[5] Existují uspořádané vektorové prostory, které jsou téměř archimédské, ale nikoli archimédské.

The Euklidovský prostor přes realitu s lexikografický řád je ne Archimedean nařídil od té doby r(0, 1) ≤ (1, 1) pro každou r > 0 ale (0, 1) ≠ (0, 0).[3]

Viz také

Reference

  1. ^ Schaefer & Wolff 1999, str. 204–214.
  2. ^ Schaefer & Wolff 1999, str. 254.
  3. ^ A b C d Narici 2011, str. 139-153.
  4. ^ Schaefer & Wolff 1999, str. 222–225.
  5. ^ A b C Schaefer & Wolff 1999, str. 250–257.

Zdroje

  • Narici, Lawrence (2011). Topologické vektorové prostory. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  1-58488-866-0. OCLC  144216834.
  • Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 3. New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.CS1 maint: ref = harv (odkaz)