Mertensovy věty - Mertens theorems - Wikipedia

v teorie čísel, Mertensovy věty jsou tři výsledky z roku 1874 týkající se hustoty prvočísla prokázáno Franz Mertens.^[1] „Mertensova věta“ může také odkazovat na jeho větu v analýza.

V teorii čísel

V následujícím textu pojďme ${ Displaystyle p leq n}$ znamenají všechna prvočísla nepřesahující n.

Mertensova první věta:

${ displaystyle sum _ {p leq n} { frac { ln p} {p}} - ln n}$

v žádném případě nepřesahuje 2 v absolutní hodnotě ${ displaystyle n geq 2}$. (A083343 )

Mertensova druhá věta:

${ displaystyle lim _ {n to infty} left ( sum _ {p leq n} { frac {1} {p}} - ln ln n-M right) = 0,}$

kde M je Meissel – Mertensova konstanta (A077761 ). Přesněji Mertens^[1] dokazuje, že výraz pod limitem v absolutní hodnotě nepřesahuje

${ displaystyle { frac {4} { ln (n + 1)}} + { frac {2} {n ln n}}}$

pro všechny ${ displaystyle n geq 2}$.

Mertensova třetí věta:

${ displaystyle lim _ {n to infty} ln n prod _ {p leq n} left (1 - { frac {1} {p}} right) = e ^ {- gamma },}$

kde γ je Euler – Mascheroniho konstanta (A001620 ).

Změny ve znamení

V příspěvku ^[2] o tempu růstu funkce součtu dělitelů publikováno v roce 1983, Guy Robin dokázal, že v Mertensově druhé větě je rozdíl

${ displaystyle sum _ {p leq n} { frac {1} {p}} - ln ln n-M}$

znaménko změn nekonečně často, a to ve 3. Mertensově větě rozdíl

${ displaystyle ln n prod _ {p leq n} left (1 - { frac {1} {p}} right) -e ^ {- gamma}}$

znamení změn nekonečně často. Robinovy ​​výsledky jsou analogické Littlewood je slavná věta že rozdíl π (X) - li (X) mění znaménko nekonečně často. Žádný analog Šikmé číslo (horní mez na první přirozené číslo X pro které π (X)> li (X)) je znám v případě Mertensových 2. a 3. vět.

Mertensova druhá věta a věta o prvočísle

Pokud jde o tento asymptotický vzorec, Mertens ve své práci odkazuje na „dva kuriózní vzorce Legendre“,^[1] první je Mertensův prototyp druhé věty (a druhý je Mertensův prototyp třetí věty: viz první řádky článku). Připomíná, že je obsažen ve třetím vydání Legendreho jeho „Théorie des nombres“ (1830; ve skutečnosti je již zmíněno ve druhém vydání, 1808), a také, že propracovanější verzi prokázal Čebyšev v roce 1851.^[3] Všimněte si, že již v roce 1737 Euler znal asymptotické chování této sumy.

Mertens diplomaticky popisuje svůj důkaz jako přesnější a přísnější. Ve skutečnosti žádný z předchozích důkazů není podle moderních standardů přijatelný: Eulerovy výpočty zahrnují nekonečno (a hyperbolický logaritmus nekonečna a logaritmus logaritmu nekonečna!); Legendrův argument je heuristický; a Čebyševův důkaz, i když je naprosto spolehlivý, využívá domněnku Legendre-Gauss, která byla prokázána až v roce 1896 a stala se lépe známou jako věta o prvočísle.

Mertensův důkaz neodvolává na žádnou neprokázanou hypotézu (v roce 1874) a pouze na elementární skutečnou analýzu. Přichází 22 let před prvním důkazem věty o prvočísle, který se naopak opírá o pečlivou analýzu chování Funkce Riemann zeta jako funkce komplexní proměnné. Mertensův důkaz je v tomto ohledu pozoruhodný. Opravdu, s moderní notace vydává se

${ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {1} {p}} = log log x + M + O (1 / log x)}$

zatímco věta o prvočísle (ve své nejjednodušší formě, bez odhadu chyby), může být prokázána jako ekvivalentní^[4]

${ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {1} {p}} = log log x + M + o (1 / log x).}$

V roce 1909 Edmund Landau pomocí nejlepší verze věty o prvočísle, kterou měl k dispozici, se ukázal^[5] že

${ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {1} {p}} = log log x + M + O (e ^ {- ( log x) ^ {1/14}}) }$

drží; zejména je chybový termín menší než ${ displaystyle 1 / ( log x) ^ {k}}$ pro jakékoli pevné celé číslo k. Jednoduchý součet podle částí využívající nejsilnější známá forma věty o prvočísle to vylepšuje na

${ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {1} {p}} = log log x + M + O (e ^ {- c ( log x) ^ {3/5} ( log log x) ^ {- 1/5}})}$

pro některé ${ displaystyle c> 0}$.

Mertensova třetí věta a teorie sít

Odhad pravděpodobnosti ${ displaystyle X}$ (${ displaystyle X gg n}$) bez faktoru ${ displaystyle leq n}$ darováno

${ displaystyle prod _ {p leq n} vlevo (1 - { frac {1} {p}} vpravo)}$

To úzce souvisí s Mertensovou třetí větou, která dává asymptotickou aproximaci

${ displaystyle P (p nmid X forall p leq n) = { frac {1} {e ^ { gamma} ln n}}}$

V teorii summability

v teorie summability, Mertensova věta uvádí, že pokud skutečný nebo složitý nekonečná řada

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$

konverguje na A a další

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n}}$

absolutně konverguje na B pak jejich Cauchyho produkt konverguje na AB.

Reference

Další čtení

• Yaglom a Yaglom Náročné matematické problémy s elementárními řešeními Svazek 2, problémy 171, 173, 174

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Mertens Constant“. MathWorld.
• Sondow, Jonathan & Weisstein, Eric W. „Mertensova věta“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Mertensova druhá věta“. MathWorld.
• Varun Rajkumar, π (x) a Eratosthenovo síto