Meissel – Mertensova konstanta - Meissel–Mertens constant

V limitu součet převrácených hodnot prvočísel < n a funkce ln (ln n) jsou odděleny konstantou, Meissel – Mertensovou konstantou (označenou M výše).

The Meissel – Mertensova konstanta (pojmenoval podle Ernst Meissel a Franz Mertens ), označovaný také jako Mertensova konstanta, Kronecker je konstantní, Hadamard –de la Vallée-Poussin konstantní nebo primární reciproční konstanta, je matematická konstanta v teorie čísel, definovaný jako omezující rozdíl mezi harmonická řada shrnuto pouze přes připraví a přirozený logaritmus přirozeného logaritmu:

${ displaystyle M = lim _ {n rightarrow infty} left ( sum _ {p leq n} { frac {1} {p}} - ln ( ln n) right) = gamma + sum _ {p} left [ ln ! left (1 - { frac {1} {p}} right) + { frac {1} {p}} right].}$

Tady je γ Euler – Mascheroniho konstanta, který má analogickou definici zahrnující součet přes všechna celá čísla (nejen prvočísla).

Děj součtu hlavních harmonických až ${ displaystyle n = 2 ^ {15}, 2 ^ {16}, ldots, 2 ^ {46} přibližně 7,04 krát 10 ^ {13}}$ a Mertenova aproximace. Originál tohoto obrázku má osu y délky 8 cm a rozpětí intervalu (2,5, 3,8), takže pokud by osa n byla vynesena v lineárním měřítku namísto logaritmické, pak by měla být ${ displaystyle 5,33 (3) krát 10 ^ {9}}$ km dlouhé - to je velikost sluneční soustavy.

Hodnota M je přibližně

M ≈ 0,2614972128476427837554268386086958590516 ... (sekvence A077761 v OEIS ).

Mertensova druhá věta stanoví, že limit existuje.

Skutečnost, že v limitu pro konstantu Meissel – Mertens existují dva logaritmy (log log), lze považovat za důsledek kombinace věta o prvočísle a limit Euler – Mascheroniho konstanty.

V populární kultuře

Konstanta Meissel-Mertens byla použita Google při dražení v Nortel aukce patentů. Google zveřejnil tři nabídky na základě matematických čísel: 1 902 160 540 USD (Brunova konstanta ), 2 614 972 128 $ (konstanta Meissel – Mertens) a 3,14159 miliardy $ (π ).^[1]

Viz také

• Divergence součtu převrácených hodnot prvočísel
• Prime funkce zeta

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Mertens Constant“. MathWorld.
• Zbytek v sérii Mertens (postscriptový soubor)