Hadjicostassův vzorec - Hadjicostass formula - Wikipedia

v matematika, Hadjicostasův vzorec je vzorec vztahující se k určité dvojitý integrál k hodnotám Funkce gama a Funkce Riemann zeta. Je pojmenována po Petrosovi Hadjicostasovi.

Prohlášení

Nechat s být komplexní číslo s s ≠ -1 a Re (s)> −2. Pak

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {1-x} {1-xy}} (- log (xy)) ^ {s} , dx , dy = Gamma (s + 2) left ( zeta (s + 2) - { frac {1} {s + 1}} right).}

Tady Γ je Funkce gama a ζ je Funkce Riemann zeta.

Pozadí

První instanci vzorce prokázal a použil Frits Beukers ve svém příspěvku z roku 1978, který uvádí alternativní důkaz Apéryho věta.^[1] Vzorec prokázal, když s = 0, a prokázal ekvivalentní formulaci pro případ s = 1. To vedlo Petrose Hadjicostase k domněnce výše uvedeného vzorce v roce 2004,^[2] a do týdne to dokázal Robin Chapman.^[3] Dokázal, že vzorec platí, když Re (s)> −1 a poté rozšířil výsledek o analytické pokračování získat úplný výsledek.

Speciální případy

Stejně jako dva případy, které Beukers používá k získání alternativních výrazů pro ζ (2) a ζ (3), lze vzorec použít k vyjádření Euler-Mascheroniho konstanta jako dvojitý integrál necháním s inklinovat k -1:

{ displaystyle gamma = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {1-x} {(1-xy) (- log (xy))}} , dx , dy.}

Druhý vzorec poprvé objevil Jonathan Sondow^[4] a je tím, na který odkazuje název Hadjicostasova příspěvku.

Poznámky

^ Beukers, F. (1979). "Poznámka k iracionalitě ζ (2) a ζ (3)". Býk. London Math. Soc. 11 (3): 268–272. doi:10.1112 / blms / 11.3.268.
^ Hadjicostas, P. (2004). „Zobecnění dohadů o Sondowově vzorci“. arXiv:math.NT / 0405423.
^ Chapman, R. (2004). „Důkaz Hadjicostasova domněnky“. arXiv:matematika / 0405478.
^ Sondow, J. (2003). „Kritéria pro iracionalitu Eulerovy konstanty“. Proc. Amer. Matematika. Soc. 131: 3335–3344. doi:10.1090 / S0002-9939-03-07081-3.

Viz také

Hessami Pilehrood, Kh .; Hessami Pilehrood, T. (2008). "Série typu Vacca pro hodnoty funkce zobecněné Eulerovy konstanty a její derivace". arXiv:0808.0410.

Sondow, J (2005). "Dvojité integrály pro Eulerovu konstantu a ln 4 / π a analog Hadjicostasova vzorce". Americký matematický měsíčník. 112: 61–65. arXiv:math.CA/0211148. doi:10.2307/30037385.
Sondow, Jonathan; Hadjicostas, Petros (2008). "Zobecněná Eulerova konstantní funkce γ (z) a zobecnění Somosovy kvadratické rekurentní konstanty". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 332: 292–314. arXiv:matematika / 0610499. doi:10.1016 / j.jmaa.2006.09.081.

[1] Beukers, F. (1979). "Poznámka k iracionalitě ζ (2) a ζ (3)". Býk. London Math. Soc. 11 (3): 268–272. doi:10.1112 / blms / 11.3.268.

[2] Hadjicostas, P. (2004). „Zobecnění dohadů o Sondowově vzorci“. arXiv:math.NT / 0405423.

[3] Chapman, R. (2004). „Důkaz Hadjicostasova domněnky“. arXiv:matematika / 0405478.

[4] Sondow, J. (2003). „Kritéria pro iracionalitu Eulerovy konstanty“. Proc. Amer. Matematika. Soc. 131: 3335–3344. doi:10.1090 / S0002-9939-03-07081-3.

[1]

[2]

[3]

[4]