Dimenzionální regularizace - Dimensional regularization

v teoretická fyzika, dimenzionální regularizace je metoda zavedená Giambiagi a Bollini^[1] stejně jako - nezávisle a komplexněji^[2] - od 't Hooft a Veltman^[3] pro regularizující integrály při hodnocení Feynmanovy diagramy; jinými slovy, přiřazení hodnot k nim, které jsou meromorfní funkce komplexního parametru d, analytické pokračování počtu rozměrů časoprostoru.

Dimenzionální regularizace píše a Feynmanův integrál jako integrál v závislosti na dimenzi časoprostoru d a na druhou vzdálenosti (X_i−X_j)² časoprostorových bodů X_i, ... objevit se v něm. v Euklidovský prostor, integrál často konverguje pro −Re (d) dostatečně velký a může být analyticky pokračovalo z této oblasti na meromorfní funkci definovanou pro celý komplex d. Obecně bude na fyzické hodnotě pól (obvykle 4) d, kterou je třeba zrušit do renormalizace získat fyzikální veličiny.Etingof (1999) ukázal, že dimenzionální regularizace je matematicky dobře definována, alespoň v případě masivních euklidovských polí, pomocí Bernstein – Sato polynom provést analytické pokračování.

Ačkoli je metoda nejlépe pochopena, když jsou póly odečteny a d je opět nahrazen 4, také to vedlo k určitým úspěchům, když d se používá k přiblížení další celočíselné hodnoty, kde se zdá, že teorie je silně spojena, jako v případě Wilson – Fisher pevný bod. Dalším skokem je brát vážně interpolaci přes zlomkové dimenze. To vedlo některé autory k domněnce, že dimenzionální regularizace může být použita ke studiu fyziky krystalů, které se makroskopicky zdají být fraktály.^[4]

Pokud si přejeme vyhodnotit integrál smyčky, který je logaritmicky odlišný ve čtyřech rozměrech, jako

${ displaystyle int { frac {d ^ {d} p} {(2 pi) ^ {d}}} { frac {1} { vlevo (p ^ {2} + m ^ {2} vpravo) ^ {2}}},}$

jeden nejprve nějakým způsobem přepíše integrál, takže na něm nebude záviset počet integrovaných proměnných d, a poté formálně změníme parametr d, zahrnout neintegrální hodnoty jako d = 4 − ε.

To dává

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {dp} {(2 pi) ^ {4- varepsilon}}} { frac {2 pi ^ {(4- varepsilon) / 2}} { Gamma left ({ frac {4- varepsilon} {2}} right)}} { frac {p ^ {3- varepsilon}} { left (p ^ {2} + m ^ {2} right) ^ {2}}} = { frac {2 ^ { varepsilon -4} pi ^ {{ frac { varepsilon} {2}} - 1}} { sin left ({ frac { pi varepsilon} {2}} right) Gamma left (1 - { frac { varepsilon} {2}} right)}} m ^ {- varepsilon} = { frac {1} {8 pi ^ {2} varepsilon}} - { frac {1} {16 pi ^ {2}}} left ( ln { frac {m ^ {2}} {4 pi}} + gamma right) + { mathcal {O}} ( varepsilon).}$

To bylo argumentoval, že Zeta regularizace a dimenzionální regularizace jsou ekvivalentní, protože používají stejný princip použití analytického pokračování, aby se řada nebo integrál konvergovaly.^[5]

Poznámky

Reference

• Bollini, Carlos; Giambiagi, Juan Jose (1972), "Dimenzionální renormalizace: Počet dimenzí jako regulační parametr.", Il Nuovo Cimento B (1971-1996), Il Nuovo Cimento B, 12 (1): 20–26, doi:10.1007 / BF02895558 (neaktivní 11. 11. 2020)CS1 maint: DOI neaktivní od listopadu 2020 (odkaz)
• Etingof, Pavel (1999), „Poznámka k rozměrové regularizaci“, Kvantová pole a řetězce: kurz pro matematiky, sv. 1, (Princeton, NJ, 1996/1997)„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., S. 597–607, ISBN  978-0-8218-2012-4, PAN  1701608
• Hooft, G. 't; Veltman, M. (1972), „Regularizace a renormalizace rozchodových polí“, Jaderná fyzika B, 44 (1): 189–213, Bibcode:1972NuPhB..44..189T, doi:10.1016/0550-3213(72)90279-9, hdl:1874/4845, ISSN  0550-3213