Křižovatka (4-potrubí) - Intersection form (4-manifold)

v matematika, křižovatka orientovaného kompaktu 4-potrubí je speciální symetrický bilineární forma na 2. (ko) homologické skupině 4-potrubí. Odráží velkou část topologie 4-variet, včetně informací o existenci a hladká struktura.

Definice pomocí průniku

Nechat M být uzavřený 4-rozdělovač (PL nebo hladký). Vezměte triangulaci T z M. Označit podle ${ displaystyle T ^ {*}}$ the dvoučlánkové dělení. Představují třídy ${ displaystyle a, b v H_ {2} (M; mathbb {Z} / 2 mathbb {Z})}$ o 2 cykly A a B modulo 2 vnímáno jako odbory 2-jednoduchostí T a ze dne ${ displaystyle T ^ {*}}$, resp. Definujte průnik z modulo 2

${ displaystyle cap _ {M, 2}: H_ {2} (M; mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}) krát H_ {2} (M; mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}) to mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$

podle vzorce

${ displaystyle a cap _ {M, 2} b = | A cap B | mod 2.}$

To je dobře definované, protože průsečík cyklu a hranice se skládá ze sudého počtu bodů (podle definice cyklu a hranice).

Li M je orientován, analogicky (tj. počítání křižovatek se znaménky) definuje tvar křižovatky na 2. homologické skupině

${ displaystyle Q_ {M} = cap _ {M} = cdot _ {M}: H_ {2} (M; mathbb {Z}) krát H_ {2} (M; mathbb {Z}) to mathbb {Z}.}$

Použitím pojmu transverzality lze konstatovat následující výsledky (které tvoří ekvivalentní definici průnikového tvaru).

• Pokud třídy ${ displaystyle a, b v H_ {2} (M; mathbb {Z} / 2 mathbb {Z})}$ jsou reprezentovány uzavřenými plochami (nebo 2 cykly modulo 2) A a B tedy příčné setkání ${ displaystyle a cap _ {M, 2} b = | A cap B | mod 2.}$

• Li M je orientován a třídy ${ displaystyle a, b v H_ {2} (M; mathbb {Z})}$ jsou reprezentovány uzavřenými orientovanými povrchy (nebo 2 cykly) A a B setkání napříč, pak každý průsečík dovnitř ${ displaystyle A cap B}$ má znaménko +1 nebo -1 v závislosti na orientaci a ${ displaystyle Q_ {M} (a, b)}$ je součet těchto znaků.

Definice pomocí kalíškového produktu

Pomocí pojmu pohárový produkt ${ displaystyle úsměv}$, jeden může dát dvojí (a tedy ekvivalentní) definice následovně. Nechat M být uzavřený čtyřcestný rozdělovač (PL nebo hladký). Definujte průnikový formulář na 2. kohomologické skupině

${ displaystyle Q_ {M} dvojtečka H ^ {2} (M; mathbb {Z}) krát H ^ {2} (M; mathbb {Z}) do mathbb {Z}}$

podle vzorce

${ displaystyle Q_ {M} (a, b) = langle a úsměv b, [M] rangle.}$

Definice pohárového produktu je dvojí (a je analogická) s výše uvedenou definicí průnikové formy na homologii potrubí, ale je abstraktnější. Definice pohárového produktu se však zobecňuje na komplexy a topologické potrubí. To je výhoda pro matematiky, kteří se zajímají o komplexy a topologické rozdělovače (nejen o PL a plynulé rozdělovače).

Když je 4-rozdělovač hladký, pak dovnitř de Rhamova kohomologie, pokud A a b jsou reprezentovány 2 formami ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$, pak tvar průniku lze vyjádřit integrálem

${ displaystyle Q (a, b) = int _ {M} alfa klín beta}$

kde ${ displaystyle klín}$ je klínový produkt.

Definice používající kalíškový produkt má jednodušší analogové modulo 2 (které funguje pro neorientovatelné rozdělovače). V de Rhamově kohomologii to člověk samozřejmě nemá.

Vlastnosti a aplikace

Poincare dualita uvádí, že průniková forma je unimodulární (do kroucení).

Podle Wuova vzorce, a roztočit 4-potrubí musí mít rovnoměrný tvar průniku, tj. ${ displaystyle Q (x, x)}$ je dokonce pro každého X. Pro jednoduše připojeno Čtyřnásobné potrubí (nebo obecněji jedno bez torze spočívající v první homologii), platí obrácení.

Podpis formuláře křižovatky je důležitým invariantem. A 4-potrubí ohraničuje 5-potrubí, pokud a pouze pokud má nulový podpis. Van der Blijovo lemma naznačuje, že spin 4-manifold má podpis násobkem osmi. Ve skutečnosti, Rokhlinova věta znamená, že hladký kompaktní spin 4-potrubí má podpis násobek 16.

Michael Freedman použil formulář pro průnik ke klasifikaci jednoduše připojených topologických 4-potrubí. Vzhledem k jakékoli unimodulární symetrické bilineární formě přes celá čísla, Q, je zde jednoduše připojený uzavřený 4-rozdělovač M s průnikovým formulářem Q. Li Q je sudé, existuje pouze jedno takové potrubí. Li Q je liché, existují dva, přičemž alespoň jeden (možná oba) nemá hladkou strukturu. Tak dva jednoduše spojené uzavřeny hladký 4-potrubí se stejným tvarem průniku jsou homeomorfní. V lichém případě se obě potrubí liší jejich Kirby – Siebenmann neměnný.

Donaldsonova věta uvádí a hladký jednoduše připojené 4-rozdělovače s pozitivním definitivním tvarem průniku mají tvar průniku diagonální (skalární 1). Freedmanova klasifikace tedy naznačuje, že existuje mnoho nevyhladitelných 4-variet, například Rozdělovač E8.

Reference

• Průnikový formulář Citovat má prázdné neznámé parametry: |1= a |2= (Pomoc)

• Intersection_number_of_immersions Citovat má prázdné neznámé parametry: |1= a |2= (Pomoc)

• Kirby, Robion (1989), Topologie 4-variet, přednášky v matematice. 1374, Springer-Verlag Citovat má prázdný neznámý parametr: |1= (Pomoc)

• Linking_form Citovat má prázdné neznámé parametry: |1= a |2= (Pomoc)

• Scorpan, Alexandru (2005), Divoký svět čtyř potrubí, Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-3749-4

• Skopenkov, Arkadiy (2015), Algebraická topologie z geometrického hlediska (v ruštině), MCCME, ISBN  978-5-4439-0293-7