Seznam neredukovatelných indexů kozy - List of irreducible Tits indices

V matematické teorii lineární algebraické skupiny, a Prsa index (nebo index) je objekt, který se používá ke klasifikaci poloprostoru algebraické skupiny definované přes základní pole k, nepředpokládá se algebraicky uzavřeno. Možné neredukovatelné indexy byly klasifikovány podle Jacques prsa,^[1] a tato klasifikace je uvedena níže. (Protože každý index je přímým součtem neredukovatelných indexů, klasifikace Všechno indexy se rovnají klasifikaci neredukovatelných indexů.)

Organizace seznamu

Index může být reprezentován jako Dynkinův diagram s určitými vrcholy taženými blízko sebe (oběžná dráha vrcholů pod * akcí skupiny Galois k) a s určitými sadami vrcholů v kruhu (oběžné dráhy nerozlišujících vrcholů pod akcí *). Tato reprezentace zachycuje úplné informace o indexu, kromě případů, kdy je podkladový Dynkinův diagram D.₄, v takovém případě je třeba rozlišovat mezi žalobou cyklická skupina C₃ nebo permutační skupina S₃.

Alternativně lze index reprezentovat pomocí názvu podkladového Dykinova diagramu spolu s dalšími horními a dolními indexy, které budou na okamžik vysvětleny. Toto znázornění spolu s označeným Dynkinovým diagramem popsaným v předchozím odstavci zachycuje úplné informace o indexu.

Zápis pro index má formu ^GX^t
_n,r, kde

• X je písmeno podkladového Dynkinova diagramu (A, B, C, D, E, F nebo G),
• n je počet vrcholů Dynkinova diagramu,
• r je relativní pozice odpovídající algebraické skupiny,
• G je řád kvocientu absolutní skupiny Galois, která působí věrně na Dynkinově diagramu (tak G = 1, 2, 3 nebo 6) a
• t je buď
  • stupeň jistý divize algebra (tj. druhá odmocnina jeho dimenze) vznikající při konstrukci algebraické skupiny, když je skupina klasického typu (A, B, C nebo D), v takovém případě t je napsán v závorkách, nebo
  • rozměr anizotropního jádra algebraické skupiny, pokud je skupina výjimečného typu (E, F nebo G), v takovém případě t je psáno bez závorek.

A_n

¹A_n

obraz:

Celé jméno: ¹A^(d)
_{n, r}

Podmínky: d · (r + 1) = n + 1, d ≥ 1.

Algebraická skupina: speciální lineární skupina SL_r+1(D) kde D je algebra centrální divize přes k.

Speciální pole: Přes konečné pole, d = 1; přes realitu, d = 1 nebo 2; přes p-adické pole nebo číselné pole, d je libovolný.

²A_n

obraz:

Celé jméno: ²A^(d)
_{n, r}

Podmínky: d | n + 1, d ≥ 1, 2rd ≤ n + 1.

Algebraická skupina: speciální jednotná skupina SU_(n+1)/d(D,h), kde D je ústřední divizní algebra stupně d přes oddělitelné kvadratické rozšíření k ' z k, a kde h je nedgenerativní poustevnická forma z index r vzhledem k jedinečnému netriviálnímu k-automorfismus k ' .

Speciální pole: Přes konečné pole, d = 1 a r = ⌊(n+1) / 2⌋; přes realitu, d = 1; přes p-adické pole, d = 1 a n = 2r - 1; přes číselné pole, d a r jsou libovolné.

B_n

obraz:

Celé jméno: B_{n, r}

Podmínky: Žádný.

Algebraická skupina: speciální ortogonální skupina TAK_2n+1(k,q), kde q je kvadratická forma index ra defekt 1, pokud k má charakteristiku 2.

Speciální pole: Přes konečné pole, r = n; přes p-adické pole, r = n nebo n - 1; přes reals nebo číselné pole, r je libovolný.

C_n

obraz:

Celé jméno: C^(d)
_{n, r}

Podmínky: 2ⁿ | 2n, d ≥ 1; n = r -li d = 1.

Algebraická skupina: speciální jednotná skupina SU_2n/d(D,h), kde D je divizní algebra stupně d přes k a h je nedgenerativní antihermitian forma vzhledem k a k-lineární involuce σ z D (nazývaný také "involuce prvního druhu") takový, že podřetězec s pevným bodem D^σ má rozměr 1/2 d(d + 1); nebo ekvivalentně, když d > 1 a char k ≠ 2, skupina SU_2n/d kde D a h jsou výše, kromě toho h je poustevník a D. má rozměr 1/2 d(d - 1). Když d = 1, tato skupina je symplektická skupina Sp_2n(k).

Speciální pole: Přes konečné pole, d = 1; přes reals nebo číselné pole, d = 1 (a r = n) nebo d = 2; přes p-adické pole, d = 1 (a r = n) nebo d = 2 a n = 2r nebo 2r − 1.

D_n

¹D_n

obraz:

Celé jméno: ¹D^(d)
_{n, r}

Podmínky: d je síla 2, d | 2n, d ≥ 1, rd ≤ n, n ≠ rd + 1.

Algebraická skupina: Pokud k má charakteristiku 2, stejnou jako pro C_n kromě toho h je poustevnická forma diskriminačního 1 a indexu r.

Speciální pole: Přes konečné pole, d = 1 a n = r; přes realitu, d = 1 a n − r = 2mnebo d = 2 a n = 2r; přes p-adické pole, d = 1 a r = n nebo n - 2 nebo d = 2 a n = 2r nebo 2r + 3; přes číselné pole, d = 1 a n − r = 2mnebo d = 2 a n − 2r = 2m nebo 3.

²D_n

Celé jméno: ²D^(d)
_{n, r}

obraz:

³D²⁸
_4,0

obraz:

⁶D²⁸
_4,0

obraz:

³D⁹
_4,1

obraz:

⁶D⁹
_4,1

obraz:

³D²
_4,2

obraz:

⁶D²
_4,2

obraz:

E₆

¹E⁷⁸
_6,0

obraz:

¹E²⁸
_6,2

obraz:

¹E¹⁶
_6,2

obraz:

¹E⁰
_6,6

obraz:

²E⁷⁸
_6,0

obraz:

²E³⁵
_6,1

obraz:

²E²⁹
_6,1

obraz:

²E^16'
_6,2

obraz:

²E^16"
_6,2

obraz:

²E²
_6,4

obraz:

E₇

E¹³³
_7,0

obraz:

E⁷⁸
_7,1

obraz:

E⁶⁶
_7,1

obraz:

E⁴⁸
_7,1

obraz:

E³¹
_7,2

obraz:

E²⁸
_7,3

obraz:

E⁹
_7,4

obraz:

E⁰
_7,7

obraz:

E₈

E²⁴⁸
_8,0

obraz:

E¹³³
_8,1

obraz:

E⁹¹
_8,1

obraz:

E⁷⁸
_8,2

obraz:

E⁶⁶
_8,2

obraz:

E²⁸
_8,4

obraz:

E⁰
_8,8

obraz:

F₄

F⁵²
_4,0

obraz:

Algebraická skupina: Automorphism skupina výjimečné jednoduché Jordan algebra J který neobsahuje nenulovou hodnotu nilpotentní elementy.

F²¹
_4,1

obraz:

Algebraická skupina: Skupina automorfismu výjimečné jednoduché Jordanovy algebry J obsahující nenulové nilpotentní prvky, z nichž žádné dva nejsou neproporcionální a ortogonální.

F⁰
_4,4

obraz:

Algebraická skupina: Skupina automorfismu výjimečné jednoduché Jordanovy algebry J obsahující neproporcionální ortogonální nilpotentní prvky.

G₂

Skupina typu G.₂ je vždy automorfická skupina skupiny octonion algebra.^[2]

G¹⁴
_2,0

obraz:

Algebraická skupina: skupina automorfismu a divize octonion algebra.

Speciální pole: Existuje přes pole reálných čísel a čísel; neexistuje přes konečná pole nebo a p-adické pole.

G⁰
_2,2

obraz:

Algebraická skupina: skupina automorfismu a split octonion algebra.

Speciální pole: Existuje přes konečné pole, reals, a p-adické pole a číselné pole.

Poznámky

Reference

• Kozy, Jacques (1966), „Klasifikace algebraických polojednodušých skupin“, Algebraické skupiny a diskontinuální podskupiny (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965)„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 33–62, PAN  0224710CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Jacobson, Nathan (1939), „Cayleyova čísla a jednoduché Lieovy algebry typu G“, Duke Mathematical Journal, 5: 775–783, doi:10.1215 / s0012-7094-39-00562-4CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Lineární algebraické skupiny (2. vyd.), New York: Birkhäuser, ISBN  0-8176-4021-5, PAN  1642713CS1 maint: ref = harv (odkaz)