Octonion algebra - Octonion algebra

v matematika, an octonion algebra nebo Cayleyova algebra přes pole F je algebraická struktura což je 8-dimenzionální složení algebra přes F. Jinými slovy, je to unital neasociativní algebra A přes F s nedegenerovaný kvadratická forma N (volal normální forma) takové, že

${displaystyle N (xy) = N (x) N (y)}$

pro všechny X a y v A.

Nejznámějším příkladem oktonionové algebry je klasika octonions, což je oktonionová algebra Rpole reálná čísla. The split-octonions také tvoří oktonionovou algebru R. Až do R-algebra izomorfismus, to jsou jediné oktonionové algebry nad reálemi. Algebra z bioktoniony je oktonionová algebra nad komplexní čísla C.

Octonionová algebra pro N je divize algebra jen a jen v případě, že formulář N je anizotropní. A split octonion algebra je kvadratická forma N je izotropní (tj. existuje nenulový vektor X s N(X) = 0). Až do F-algebra isomorphism, tam je jedinečný split octonion algebra nad jakýmkoli polem F.^[1] Když F je algebraicky uzavřeno nebo a konečné pole, to jsou jediné oktonionové algebry F.

Octonionové algebry jsou vždy neasociativní. Jsou to však alternativní algebry, přičemž alternativita je slabší formou asociativity. Navíc Mufangské identity držet v jakékoli oktonionové algebře. Z toho vyplývá, že invertibilní prvky v jakékoli oktonionové algebře tvoří a Mufang smyčka, stejně jako prvky jednotkové normy.

Konstrukce obecných oktonionových algeber nad libovolným polem k popsal Leonard Dickson ve své knize Algebren und ihre Zahlentheorie (1927) (strana 264) a opakováno Max Zorn.^[2] Produkt závisí na výběru γ z k. Dáno q a Q od a čtveřice algebra přes k, je napsán octonion q + QE. Může být napsán další octonion r + RE. Pak s * označující konjugaci v algebře čtveřice je jejich součin

${displaystyle (q + Qe) (r + Re) = (qr + gama R ^ {*} Q) + (Rq + qr ^ {*}) e.}$

Zorn německý jazyk popis toho Cayley – Dicksonova konstrukce přispěl k trvalému používání tohoto eponym popisující konstrukci složení algebry.

N. Furey navrhl, že oktonionové algebry mohou být použity ve snaze sladit složky standardní model.^[3]

Klasifikace

Je to věta o Adolf Hurwitz že F-izomorfismus třídy normové formy jsou v individuální korespondenci s izomorfismem tříd octonion F-algebry. Možné formy norem jsou navíc přesně ty Pfister 3 formy přes F.^[4]

Protože jakékoli dva octoniony F-algebry se stávají izomorfními nad algebraickým uzavřením F, lze uplatnit myšlenkyabelian Galoisova kohomologie. Zejména s využitím skutečnosti, že automorfní skupina rozdělených oktonionů je rozdělená algebraická skupina G₂, jeden vidí shodu tříd izomorfismu octonion F-algebry s izomorfismem tříd G₂-torzory přes F. Tyto třídy izomorfismu tvoří neabelovskou galoisovou kohomologickou sadu ${displaystyle H ^ {1} (F, G_ {2})}$.^[5]

Reference

• Garibaldi, přeskočit; Merkurjev, Alexander; Serre, Jean-Pierre (2003). Cohomological invariants in Galois cohomology. Série univerzitních přednášek. 28. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-3287-5. Zbl  1159.12311.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-1095-2. PAN  2104929. Zbl  1068.11023.
• Okubo, Susumu (1995). Úvod do oktonionu a dalších neasociativních algeber ve fyzice. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. 2. Cambridge: Cambridge University Press. p. 22. ISBN  0-521-47215-6. Zbl  0841.17001.
• Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Úvod do neasociativních algeber. Dover Publications. ISBN  0-486-68813-5. Zbl  0145.25601.
• Zhevlakov, K.A .; Slin'ko, A.M .; Shestakov, I.P .; Shirshov, A.I. (1982) [1978]. Kroužky, které jsou téměř asociativní. Akademický tisk. ISBN  0-12-779850-1. PAN  0518614. Zbl  0487.17001.
• Serre, J. P. (2002). Galoisova kohomologie. Springer Monografie z matematiky. Přeložil z francouzštiny Patrick Ion. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-42192-0. Zbl  1004.12003.
• Springer, T. A.; Veldkamp, ​​F. D. (2000). Octonions, Jordan Algebras a výjimečné skupiny. Springer-Verlag. ISBN  3-540-66337-1.

externí odkazy

• „Cayley – Dicksonova algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]