Hurwitzův problém - Hurwitz problem

V matematice je Hurwitzův problém, pojmenoval podle Adolf Hurwitz, je problém hledání multiplikativních vztahů mezi kvadratické formy které zobecňují ty, o nichž je známo, že existují mezi součty čtverců v určitém počtu proměnných.

Existují dobře známé multiplikativní vztahy mezi součty čtverců ve dvou proměnných

${ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) (u ^ {2} + v ^ {2}) = (xu-yv) ^ {2} + (xv + yu) ^ {2} ,}$

(známý jako Brahmagupta – Fibonacciho identita ), a také Eulerova čtvercová identita a Degenova identita s osmi čtverečky. Ty mohou být interpretovány jako multiplikativita pro normy na komplexní čísla, čtveřice a octonions resp.^[1]:1–3[2]

Hurwitzův problém pro pole K. je najít obecné vztahy formuláře

${ displaystyle (x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {r} ^ {2}) cdot (y_ {1} ^ {2} + cdots + y_ {s} ^ {2}) = (z_ {1} ^ {2} + cdots + z_ {n} ^ {2}) ,}$

s z být bilineární formy v X a y: tedy každý z je K.-lineární kombinace výrazů formuláře X_iy_j.^[3]:127 Říkáme trojnásobný (r, s, n) přípustný pro K. pokud taková identita existuje.^[1]:125 Mezi triviální případy přípustných trojic patří (r, s, rs). Problém je nezajímavý K. charakteristiky 2, protože nad takovými poli je každý součet čtverců čtvercem a tento případ vylučujeme. Předpokládá se, že jinak je přípustnost nezávislá na oblasti definice.^[1]:137

Hurwitz ve zvláštním případě nastolil problém v roce 1898 r = s = n a ukázal, že když se vezmou koeficienty C, jediné přípustné hodnoty (n, n, n) byly n = 1, 2, 4, 8:^[3]:130 jeho důkaz se vztahuje na jakékoli pole charakteristik, nikoli 2.^[1]:3

Problém „Hurwitz – Radon“ spočívá v hledání přípustných trojic formy (r, n, n). Je zřejmé (1,n, n) je přípustný. The Hurwitz – Radonova věta uvádí, že (ρ (n), n, n) je přípustný v každém poli, kde ρ (n) je funkce definovaná pro n = 2^uproti, proti zvláštní, u = 4A + b, 0 ≤ b ≤ 3, as ρ(n) = 8A + 2^b.^{[1]:137[3]:130}

Mezi další přípustné trojice patří (3,5,7)^[1]:138 a (10, 10, 16).^[1]:137

Viz také

• Složení algebra
• Hurwitzova věta (normované dělení algebry)
• Radon – Hurwitzovo číslo

Reference