Okubo algebra - Okubo algebra - Wikipedia

v algebra, an Okubo algebra nebo pseudo-oktonionová algebra je 8-dimenzionální neasociativní algebra podobný tomu, který studoval Susumu Okubo.^[1] Okubo algebry jsou složení algebry, flexibilní algebry (A(BA) = (AB)A), Lež přípustné algebry, a moc asociativní, ale nejsou asociativní, ne alternativní algebry, a nemají prvek identity.

Příkladem Okubo byla algebra 3-by-3 stopa -zero komplexní matice s produktem X a Y dána aXY + bYX - Tr (XY)Já/ 3 kde Já je matice identity a A a b uspokojit A + b = 3ab = 1. The Hermitovské prvky tvoří 8-dimenzionální real neasociativní divize algebra. Podobná konstrukce funguje pro jakoukoli kubickou alternativní oddělitelnou algebru nad polem obsahujícím primitivní kořen krychle jednoty. Okubo algebra je algebra vytvořená tímto způsobem ze stopově-nulových prvků stupně 3 centrální jednoduchá algebra přes pole.^[2]

Konstrukce Para-Hurwitzovy algebry

Unital kompoziční algebry se nazývají Hurwitzovy algebry.^[3]^:22 Pokud pozemní pole $K.$ je obor reálná čísla a $N$ je pozitivní-definitivní, pak $A$ se nazývá a Euklidovská Hurwitzova algebra.

Skalární součin

Li $K.$ má charakteristiku ne rovnou 2, pak a bilineární forma $(A, b) = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / 2 [N (A + b) - N (A) - N (b)]$ je spojen s kvadratickou formou $N$ .

Involuce v Hurwitzových algebrách

Za předpokladu $A$ má multiplikativní jednotu, definuje involuci a pravé a levé násobení operátoři

{ displaystyle displaystyle {{ bar {a}} = - a + 2 (a, 1) 1, , , , L (a) b = ab, , , , R (a) b = ba.}}

Zřejmě je involuce a zachovává kvadratickou formu. Overline notace zdůrazňuje skutečnost, že složité a čtveřice časování jsou jeho dílčí případy. Tito operátoři mají následující vlastnosti:

Involuce je antiautomorfismus, tj. $a b = b A$
$A A = N (A) 1 = A A$
$L (A) = L (A)*$ , $R (A) = R (A)*$ , kde $*$ označuje operátor adjoint s ohledem na formu $( , )$
$Re(a b) = Re (b a)$ kde $Re X = (X + X)/2 = (X, 1)$
$Re((a b) C) = Re (A (před naším letopočtem))$
$L (A 2) = L (A) 2$ , $R (A 2) = R (A) 2$ , aby $A$ je alternativní algebra

Tyto vlastnosti se prokazují od polarizované verze identity $(a b, a b) = (A, A)(b, b)$ :

{ displaystyle displaystyle {2 (a, b) (c, d) = (ac, bd) + (reklama, bc).}}

Nastavení $b = 1$ nebo $d = 1$ výnosy $L (A) = L (A)*$ a $R (C) = R (C)*$ . Proto $Re(a b) = (a b, 1) = (A, b) = (b a, 1) = Re (b a)$ . Podobně $(a b, C) = (a b, C) = (b, A C) = (1, b (A C)) = (1, (b A) C) = (b A, C)$ . Proto $Re(a b) C = ((a b) C, 1) = (a b, C) = (A, C b) = (A (před naším letopočtem), 1) = Re (A (před naším letopočtem))$ . Polarizovanou identitou $N (A) (C, d) = (a c, a d) = (A a c, d)$ tak $L (A) L (A) = N (A)$ . Aplikováno na 1 to dává $A A = N (A)$ . Výměna $A$ podle A dává druhé identitě. Nahrazení vzorce pro $A$ v $L (A) L (A) = L (A A)$ dává $L (A) 2 = L (A 2)$ .

Para-Hurwitzova algebra

Další operace $*$ lze definovat v Hurwitzově algebře jako

X * y = X y

Algebra $(A, *)$ je kompoziční algebra, která není obecně jednotná, známá jako a para-Hurwitzova algebra.^[2]^:484 V rozměrech 4 a 8 jsou para-čtveřice^[4] a para-octonion algebry.^[3]^:40,41

Para-Hurwitzova algebra uspokojuje^[3]^:48

{ displaystyle (x * y) * x = x * (y * x) = langle x | x rangle y .}

Naopak, algebra s nedegenerovanou symetrickou bilineární formou splňující tuto rovnici je buď para-Hurwitzova algebra nebo osmrozměrná pseudo-oktonionová algebra.^[3]^:49 Podobně, a flexibilní algebra uspokojující

{ displaystyle langle xy | xy rangle = langle x | x rangle langle y | y rangle }

je buď Hurwitzova algebra, para-Hurwitzova algebra nebo osmrozměrná pseudo-oktonionová algebra.^[3]

Reference

^ Susumu Okubo (1978 )
^ ^A ^b Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost „Jean-Pierre Tignol (1998)„ Složení a soudnost “, kapitola 8 v Kniha účastí451–511, Kolokvium Publikace v. 44, Americká matematická společnost ISBN 0-8218-0904-0
^ ^A ^b ^C ^d ^E Okubo, Susumu (1995). Úvod do oktonionu a dalších neasociativních algeber ve fyzice. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-47215-6. PAN 1356224. Zbl 0841.17001.
^ Termín „para-čtveřice“ se někdy používá u nesouvisejících algeber.

„Okubo_algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Okubo, Susumu (1978), „Pseudo-čtveřice a pseudo-oktonionové algebry“, Hadronic Journal, 1 (4): 1250–1278, PAN 0510100
Susumu Okubo a J. Marshall Osborn (1981) „Algebry s nedgenerovanými asociativními symetrickými bilineárními formami umožňujícími složení“, Komunikace v algebře 9(12): 1233–61, PAN0618901 a 9 (20): 2015–73 PAN0640611.

[1] Susumu Okubo (1978 )

[KMRT-2] A ^b Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost „Jean-Pierre Tignol (1998)„ Složení a soudnost “, kapitola 8 v Kniha účastí451–511, Kolokvium Publikace v. 44, Americká matematická společnost ISBN 0-8218-0904-0

[Ok95-3] A ^b ^C ^d ^E Okubo, Susumu (1995). Úvod do oktonionu a dalších neasociativních algeber ve fyzice. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-47215-6. PAN 1356224. Zbl 0841.17001.

[4] Termín „para-čtveřice“ se někdy používá u nesouvisejících algeber.

[1]

[2]

[3]

[4]