Stupně osmičlánkové identity - Degens eight-square identity - Wikipedia

v matematika, Degenova osmičtvrteční identita stanoví, že součin dvou čísel, z nichž každé je součtem osmi čtverců, je sám o sobě součtem osmi čtverců.

{ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = }

{ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3} + a_ {5} b_ {6} -a_ {6} b_ {5} -a_ {7} b_ {8} + a_ {8} b_ {7}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} + a_ {5} b_ {7} + a_ {6} b_ {8} -a_ {7} b_ {5} -a_ {8} b_ {6}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1} + a_ {5} b_ {8} -a_ {6} b_ {7} + a_ {7} b_ {6} -a_ {8} b_ {5}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {5} -a_ {2} b_ {6} -a_ {3} b_ {7} -a_ {4} b_ {8} + a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {6} + a_ {2} b_ {5} -a_ {3} b_ {8} + a_ {4} b_ {7} -a_ {5} b_ {2} + a_ {6} b_ {1} -a_ {7} b_ {4} + a_ {8} b_ {3}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {7} + a_ {2} b_ {8} + a_ {3} b_ {5} -a_ {4} b_ {6} -a_ {5} b_ {3} + a_ {6} b_ {4} + a_ {7} b_ {1} -a_ {8} b_ {2}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {8} -a_ {2} b_ {7} + a_ {3} b_ {6} + a_ {4} b_ {5} -a_ {5} b_ {4} -a_ {6} b_ {3} + a_ {7} b_ {2} + a_ {8} b_ {1}) ^ {2}}

Poprvé objeveno uživatelem Carl Ferdinand Degen kolem roku 1818 byla identita nezávisle znovu objevena John Thomas Graves (1843) a Arthur Cayley (1845). Poslední dva to odvodili při práci na rozšíření čtveřice volala octonions. v algebraické výrazy identita znamená, že norma součin dvou oktonionů se rovná součinu jejich norem: ${ displaystyle | ab | = | a | | b |}$ . Podobné výroky platí pro čtveřice (Eulerova čtvercová identita ), komplexní čísla ( Brahmagupta – Fibonacciho identita se dvěma čtverci ) a reálná čísla. V roce 1898 Adolf Hurwitz dokázal, že nic podobného neexistuje bilineární identita pro 16 čtverců (sedimenty ) nebo jakýkoli jiný počet čtverců s výjimkou 1,2,4 a 8. V 60. letech však H. Zassenhaus, W. Eichhorn a A. Pfister (nezávisle) ukázali, že může existovat nebilineární identita pro 16 čtverců.

Všimněte si, že každý kvadrant se redukuje na verzi Eulerova čtvercová identita:

{ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) =}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} +}

{ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2}}

a podobně pro ostatní tři kvadranty. Podle Pfisterova věta, lze zadat jiný druh osmičtverečné identity ${ displaystyle z_ {i}}$ , představené níže, jsou nebilineární a pouze racionální funkce z ${ displaystyle x_ {i}, y_ {i}}$ . Tím pádem,