Bipolární souřadnice - Bipolar coordinates

Bipolární souřadnicový systém

Bipolární souřadnice jsou dvourozměrné ortogonální souřadnicový systém založeno na Apollonian kruhy.^[1] Matoucí je, že stejný termín je také někdy používán pro dvoucentrové bipolární souřadnice. K dispozici je také třetí systém založený na dvou pólech (biangulární souřadnice ).

Termín „bipolární“ se dále příležitostně používá k popisu dalších křivek majících dva singulární body (ohniska), jako například elipsy, hyperboly, a Cassini ovály. Nicméně termín bipolární souřadnice je vyhrazeno pro zde popsané souřadnice a nikdy se nepoužívá pro systémy spojené s těmito jinými křivkami, jako například eliptické souřadnice.

Geometrická interpretace bipolárních souřadnic. Úhel σ je tvořen dvěma ložisky a bodem P, zatímco τ je logaritmus poměru vzdáleností k ohniskům. Odpovídající kruhy konstanty σ a τ jsou zobrazeny červeně a modře a setkávají se v pravých úhlech (purpurová rámeček); jsou ortogonální.

Definice

Systém je založen na dvou ohniska F₁ a F₂. S odkazem na obrázek vpravo, σ- souřadnice bodu P rovná se úhel F₁ P F₂a τ-koordinátor se rovná přirozený logaritmus poměru vzdáleností d₁ a d₂:

${ displaystyle tau = ln { frac {d_ {1}} {d_ {2}}}.}$

Pokud se v karteziánském systému ohniska položí na (-A, 0) a (A, 0), souřadnice bodu P jsou

${ displaystyle x = a { frac { sinh tau} { cosh tau - cos sigma}}, qquad y = a { frac { sin sigma} { cosh tau - cos sigma}}.}$

Souřadnice τ se pohybuje od ${ displaystyle - infty}$ (pro body blízké F₁) až ${ displaystyle infty}$ (pro body blízké F₂). Souřadnice σ je definováno pouze modulo 2πa nejlépe se pohybuje v rozmezí od -π na πtím, že to vezmeme jako negativ ostrého úhlu F₁ P F₂ -li P je v dolní polovině roviny.

Důkaz, že souřadnicový systém je ortogonální

Rovnice pro X a y lze kombinovat dát

${ displaystyle x + iy = ai cot left ({ frac { sigma + i tau} {2}} right).}$^[2][3]

(To lze dokázat nejprve rozlišením x a y vzhledem k sigma a tau a poté obrácením logiky níže uvedené části k nalezení faktorů měřítka.). Tato rovnice to ukazuje σ a τ jsou skutečnou a imaginární částí analytické funkce x + iy (s logaritmickou větví směřující k ohniskům), což zase dokazuje (odvoláním na obecnou teorii konformní mapování ) (dále jen Cauchy-Riemannovy rovnice ), že tyto částicové konkrétní křivky σ a τ protínají v pravých úhlech, tj. že souřadnicový systém je ortogonální. To lze dokázat nejprve rozlišením x a y vzhledem k sigma a tau a poté obrácením logiky níže uvedené části pro nalezení faktorů měřítka.

Křivky konstanty σ a τ

Křivky konstanty σ odpovídají nekoncentrickým kruhům

${ displaystyle x ^ {2} + vlevo (y-a cot sigma right) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} { sin ^ {2} sigma}}}$

které se protínají ve dvou ohniskách. Středy konstantní-σ kruhy leží na y-osa. Kruhy kladné σ jsou vycentrovány nad X-osy, zatímco ty negativní σ ležet pod osou. Jako velikost |σ|- π/ 2 zmenší, poloměr kruhů se zmenší a střed se přiblíží počátku (0, 0), kterého je dosaženo, když |σ| = π/ 2. (Ze základní geometrie jsou všechny trojúhelníky v kruhu se 2 vrcholy na opačných koncích průměru pravoúhlými trojúhelníky.)

Křivky konstanty ${ displaystyle tau}$ jsou neprotínající se kruhy různých poloměrů

${ displaystyle y ^ {2} + left (x-a coth tau right) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} { sinh ^ {2} tau}}}$

které obklopují ohniska, ale opět nejsou soustředné. Středy konstantní-τ kruhy leží na X-osa. Kruhy pozitivního τ ležet na pravé straně letadla (X > 0), zatímco kruhy záporné τ ležet na levé straně letadla (X <0). The τ = 0 křivka odpovídá y- osa (X = 0). Jako velikost τ zvětšuje se, poloměr kruhů se zmenšuje a jejich středy se přibližují k ohniskům.

Vzájemné vztahy

Přechod z kartézských souřadnic k bipolárním souřadnicím lze provést pomocí následujících vzorců:

${ displaystyle tau = { frac {1} {2}} ln { frac {(x + a) ^ {2} + y ^ {2}} {(xa) ^ {2} + y ^ { 2}}}}$

a

${ displaystyle pi - sigma = 2 arctan { frac {2ay} {a ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} + { sqrt {(a ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {2} + 4a ^ {2} y ^ {2}}}}}.}$

Souřadnice mají také identitu:

${ displaystyle tanh tau = { frac {2ax} {x ^ {2} + y ^ {2} + a ^ {2}}}}$

a

${ displaystyle tan sigma = { frac {2ay} {x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2}}}.}$

což je limit, který by z definice ve výše uvedené části dostal x = 0. A všechny limity vypadají zcela normálně na x = 0.

Faktory měřítka

Abychom získali měřítkové faktory pro bipolární souřadnice, vezmeme diferenciální rovnici pro ${ displaystyle x + iy}$, což dává

${ displaystyle dx + i , dy = { frac {-ia} { sin ^ {2} { bigl (} { tfrac {1} {2}} ( sigma + i tau) { bigr )}}} (d sigma + i , d tau).}$

Násobení této rovnice s jejími komplexními výnosy konjugátu

${ displaystyle (dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} {{ bigl [} 2 sin { tfrac {1} {2}} { bigl (} sigma + i tau { bigr)} sin { tfrac {1} {2}} { bigl (} sigma -i tau { bigr)} { bigr]} ^ {2 }}} { bigl (} (d sigma) ^ {2} + (d tau) ^ {2} { bigr)}.}$

Zaměstnáváme trigonometrické identity pro produkty sinusů a kosinů

${ displaystyle 2 sin { tfrac {1} {2}} { bigl (} sigma + i tau { bigr)} sin { tfrac {1} {2}} { bigl (} sigma -i tau { bigr)} = cos sigma - cosh tau,}$

ze kterého to vyplývá

${ displaystyle (dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} {( cosh tau - cos sigma) ^ {2}}} { bigl (} (d sigma) ^ {2} + (d tau) ^ {2} { bigr)}.}$

Proto měřítkové faktory pro σ a τ jsou stejné a dány

${ displaystyle h _ { sigma} = h _ { tau} = { frac {a} { cosh tau - cos sigma}}.}$

Mnoho výsledků nyní následuje v rychlém sledu od obecných vzorců pro ortogonální souřadnice Infinitezimální plošný prvek se tedy rovná

${ displaystyle dA = { frac {a ^ {2}} { left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {2}}} , d sigma , d tau,}$

a Laplacian darováno

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi = { frac {1} {a ^ {2}}} left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {2} left ({ frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné sigma ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné tau ^ {2}}} vpravo) .}$

Výrazy pro ${ displaystyle nabla f}$, ${ displaystyle nabla cdot mathbf {F}}$, a ${ displaystyle nabla times mathbf {F}}$ lze vyjádřit získáním dosazením faktorů měřítka do obecných vzorců nalezených v ortogonální souřadnice.

Aplikace

V řešení jsou klasické aplikace bipolárních souřadnic parciální diferenciální rovnice, např. Laplaceova rovnice nebo Helmholtzova rovnice, pro které bipolární souřadnice umožňují a oddělení proměnných. Příkladem je elektrické pole obklopující dva paralelní válcové vodiče s nerovnými průměry.

Polární plotry použijte bipolární souřadnice k popisu kreslicích cest potřebných k nakreslení cílového obrázku.

Rozšíření do 3 rozměrů

Bipolární souřadnice tvoří základ pro několik sad trojrozměrných ortogonální souřadnice.

• The bipolární válcové souřadnice jsou produkovány překladem bipolárních souřadnic podél z-os, tj. osa mimo rovinu.

• The bisférické souřadnice jsou produkovány otáčením bipolárních souřadnic kolem X-os, tj. osa spojující ohniska.

• The toroidní souřadnice jsou produkovány otáčením bipolárních souřadnic kolem y-os, tj. osa oddělující ohniska.

Reference

• "Bipolární souřadnice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Korn GA a Korn TM. (1961) Matematická příručka pro vědce a inženýry, McGraw-Hill.