Apolloniův bod - Apollonius point

v trojúhelník geometrie, Apolloniův bod je speciální bod spojený s a letadlo trojúhelník. Jde o a střed trojúhelníku a je označen jako X (181) v Clark Kimberling je Encyclopedia of Triangle Centers (ETC). Centrum Apollonius souvisí také s Apolloniův problém.

V literatuře je termín „Apollonius body"byl také použit k označení isodynamické body trojúhelníku.^[1] Toto použití by mohlo být také odůvodněno tím, že isodynamické body souvisejí se třemi Apollonian kruhy spojené s trojúhelníkem.

Řešení problému Apollonius je známé po staletí. Ale bod Apollonius byl poprvé zaznamenán v roce 1987.^[2][3]

Definice

Apollóniový bod trojúhelníku je definován následovně.

Nechat ABC být libovolný daný trojúhelník. Nech excircles trojúhelníku ABC naproti vrcholům A, B, C být E_A, E_B, E_C resp. Nechat E být kruh, který se dotýká tří kruhů E_A, E_B, E_C tak, že jsou tři excirci uvnitř E. Nechat A' , B ' , C' být styčnými body kruhu E se třemi exkruhy. Čáry AA ' , BB ' , CC ' jsou souběžně. Bodem souběhu je Apolloniův bod trojúhelníku ABC.

Problém Apollonius je problém konstrukce kružnice tečné ke třem daným kružnicím v rovině. Obecně se osm kruhů dotýká tří daných kruhů. Kruh E uvedený ve výše uvedené definici je jedním z těchto osmi kruhů, které se dotýkají tří kruhů trojúhelníku ABC. v Encyclopedia of Triangle Centers Kruh E se nazývá Apollonius kruh trojúhelníku ABC.

Trilineární souřadnice

Trilineární souřadnice bodu Apollonius jsou^[2]

${ displaystyle { frac {a (b + c) ^ {2}} {b + ca}}: { frac {b (c + a) ^ {2}} {c + ab}}: { frac {c (a + b) ^ {2}} {a + bc}}}$

${ displaystyle = sin ^ {2} A cos ^ {2} ({ frac {B} {2}} - { frac {C} {2}}): sin ^ {2} B cos ^ {2} ({ frac {C} {2}} - { frac {A} {2}}): sin ^ {2} C cos ^ {2} ({ frac {A} {2 }} - { frac {B} {2}}).}$

Reference

Viz také

• Apollóniova věta
• Apollonius z Pergy (262–190 př. N. L.), Geometr a astronom
• Apolloniův problém
• Apollonian kruhy
• Isodynamický bod trojúhelníku