Isodynamický bod - Isodynamic point

Izodynamické body

{displaystyle S}

a

{displaystyle S '}

jako společné průsečíky kruhy Apollónia. Modré a červené čáry jsou vnitřní a vnější úhelníky, které se používají ke konstrukci kruhů.

v Euklidovská geometrie, isodynamické body trojúhelníku jsou body spojené s trojúhelníkem s vlastnostmi, které inverze na střed jednoho z těchto bodů transformuje daný trojúhelník na rovnostranný trojúhelník, a že vzdálenosti od izodynamického bodu k vrcholům trojúhelníku jsou nepřímo úměrné délkám protilehlých stran trojúhelníku. Trojúhelníky, které jsou podobný navzájem mají izodynamické body na odpovídajících místech v rovině, takže izodynamické body jsou středy trojúhelníků, a na rozdíl od jiných středů trojúhelníků jsou izodynamické body také neměnné pod Möbiovy transformace. Trojúhelník, který je sám rovnostranný, má jedinečný izodynamický bod těžiště; každý nerovný trojúhelník má dva izodynamické body. Isodynamické body byly nejprve studovány a pojmenovány Joseph Neuberg (1885 ).^[1]

Poměry vzdálenosti

Izodynamické body byly původně definovány z určitých rovností poměrů (nebo ekvivalentně součinů) vzdáleností mezi dvojicemi bodů. Li ${displaystyle S}$ a ${displaystyle S '}$ jsou izodynamické body trojúhelníku ${displaystyle ABC}$ , pak tři produkty vzdáleností ${displaystyle AScdot BC = BScdot AC = CScdot AB}$ jsou rovny. Obdobné rovnosti platí také pro ${displaystyle S '}$ .^[2] Ekvivalentně k vzorci produktu, vzdálenosti ${displaystyle AS}$ , ${displaystyle BS}$ , a ${displaystyle CS}$ jsou nepřímo úměrné odpovídajícím délkám stran trojúhelníku ${displaystyle BC}$ , ${displaystyle AC}$ , a ${displaystyle AB}$ .

${displaystyle S}$ a ${displaystyle S '}$ jsou společné průsečíky těchto tří kruhy Apollónia spojené s trojúhelníkem trojúhelníku ${displaystyle ABC}$ , tři kruhy, které každý prochází jedním vrcholem trojúhelníku a udržují konstantní poměr vzdáleností k dalším dvěma vrcholům.^[3] Proto linka ${displaystyle SS '}$ je běžné radikální osa pro každý ze tří párů kruhů Apollónia. Kolmá přímka úsečky ${displaystyle SS '}$ je Lemoine linka, který obsahuje tři středy kruhů Apollónia.^[4]

Transformace

Izodynamické body ${displaystyle S}$ a ${displaystyle S '}$ trojúhelníku ${displaystyle ABC}$ mohou být také definovány jejich vlastnostmi s ohledem na transformace roviny, zejména s ohledem na inverze a Möbiovy transformace (produkty vícenásobných inverzí). Inverze trojúhelníku ${displaystyle ABC}$ vzhledem k isodynamickému bodu transformuje původní trojúhelník na rovnostranný trojúhelník.^[5]Inverze s ohledem na obvod trojúhelníku ${displaystyle ABC}$ ponechá trojúhelník neměnný, ale transformuje jeden izodynamický bod na druhý.^[3]Obecněji jsou to izodynamické body ekvivariant pod Möbiovy transformace: neuspořádaný pár izodynamických bodů transformace ${displaystyle ABC}$ se rovná stejné transformaci aplikované na pár ${displaystyle {S, S '}}$ . Jednotlivé izodynamické body jsou fixovány Möbiovými transformacemi, které mapují vnitřek kružnice ${displaystyle ABC}$ do vnitřku kružnice transformovaného trojúhelníku a vyměněna transformacemi, které si vyměňují vnitřek a zevnějšek kružnice.^[6]

Úhly

Tři kruhy, z nichž každá svírá s kruhovým kruhem a navzájem úhly π / 3, se setkávají v prvním izodynamickém bodě.

Kromě průsečíků kružnic Apollónia je každý izodynamický bod průsečíkem další trojice kružnic. První isodynamický bod je průsečík tří kruhů dvojicemi bodů ${displaystyle AB}$ , ${displaystyle AC}$ , a ${displaystyle BC}$ , kde každý z těchto kruhů protíná obvod trojúhelníku ${displaystyle ABC}$ vytvořit a objektiv s vrcholovým úhlem 2π / 3. Podobně je druhým isodynamickým bodem průsečík tří kruhů, které protínají kruhový kruh a vytvářejí čočky s vrcholovým úhlem π / 3.^[6]

Úhly tvořené prvním isodynamickým bodem s vrcholy trojúhelníků splňují rovnice ${displaystyle ASB = ACB + pi / 3}$ , ${displaystyle ASC = ABC + pi / 3}$ , a ${displaystyle BSC = BAC + pi / 3}$ . Analogicky úhly tvořené druhým izodynamickým bodem splňují rovnice ${displaystyle AS'B = ACB-pi / 3}$ , ${displaystyle AS'C = ABC-pi / 3}$ , a ${displaystyle BS'C = BAC-pi / 3}$ .^[6]

The pedálový trojúhelník izodynamického bodu, trojúhelník vytvořený svržením kolmic z ${displaystyle S}$ na každou ze tří stran trojúhelníku ${displaystyle ABC}$ , je rovnostranný,^[5] stejně jako trojúhelník vytvořený odrazem ${displaystyle S}$ přes každou stranu trojúhelníku.^[7] Mezi všemi rovnostrannými trojúhelníky zapsanými do trojúhelníku ${displaystyle ABC}$ , trojúhelník pedálu prvního isodynamického bodu je ten s minimální plochou.^[8]

Další vlastnosti

Isodynamické body jsou izogonální konjugáty ze dvou Fermatovy body trojúhelníku ${displaystyle ABC}$ a naopak.^[9]

The Neuberg kubický obsahuje oba izodynamické body.^[4]

Pokud je kružnice rozdělena na tři oblouky, je prvním isodynamickým bodem koncových bodů oblouku jedinečný bod uvnitř kružnice s vlastností, že každý ze tří oblouků je stejně pravděpodobný jako první oblouk dosažený Brownův pohyb počínaje tímto bodem. To znamená, že isodynamický bod je bod, pro který harmonické opatření ze tří oblouků se rovná.^[10]

Konstrukce

Konstrukce izodynamického bodu z odražených kopií daného trojúhelníku a dovnitř směřujících rovnostranných trojúhelníků.

Kruh Apollónia vrcholem ${displaystyle A}$ trojúhelníku ${displaystyle ABC}$ může být postaven nalezením dvou (vnitřní a vnější) úhlové přímky dvou úhlů tvořených přímkami ${displaystyle AB}$ a ${displaystyle AC}$ na vrcholu ${displaystyle A}$ a protínající tyto přímky s přímkou ${displaystyle BC}$ . Úsečka mezi těmito dvěma průsečíky je průměrem Apollónova kruhu. Izodynamické body lze najít vytvořením dvou z těchto kruhů a nalezením jejich dvou průsečíků.^[3]

Další kompas a přímá konstrukce zahrnuje nalezení odrazu ${displaystyle A '}$ vrcholu ${displaystyle A}$ přes čáru ${displaystyle BC}$ (průsečík kruhů se středem na ${displaystyle B}$ a ${displaystyle C}$ přes ${displaystyle A}$ ) a sestrojení rovnostranného trojúhelníku dovnitř na straně ${displaystyle BC}$ trojúhelníku (vrchol ${displaystyle A '}}$ tohoto trojúhelníku je průnik dvou kruhů majících ${displaystyle BC}$ jako jejich poloměr). Linie ${displaystyle A'A '}}$ protíná podobně postavené čáry ${displaystyle B'B ''}$ a ${displaystyle C'C '}}$ v prvním isodynamickém bodě. Druhý isodynamický bod může být konstruován podobně, ale s rovnostrannými trojúhelníky vztyčenými spíše než dovnitř.^[11]

Alternativně lze polohu prvního isodynamického bodu vypočítat z jeho trilineární souřadnice, což jsou^[12]

{displaystyle sin (A + pi / 3): sin (B + pi / 3): sin (C + pi / 3).}

Druhý isodynamický bod používá trilineární souřadnice s podobným vzorcem zahrnujícím ${displaystyle -pi / 3}$ namísto ${displaystyle pi / 3}$ .

Poznámky

^ Kredit společnosti Neuberg viz např. Casey (1893) a Eves (1995).
^ Neuberg (1885) uvádí, že tato vlastnost je důvodem pro volání těchto bodů „isodynamic“.
^ ^A ^b ^C Bottema (2008); Johnson (1917).
^ ^A ^b Wildberger (2008).
^ ^A ^b Casey (1893); Johnson (1917).
^ ^A ^b ^C Rigby (1988).
^ Carver (1956).
^ Měsíc (2010).
^ Eves (1995); Wildberger (2008).
^ Iannaccone a Walden (2003).
^ Evans (2002).
^ Kimberling (1993).

Reference

Bottema, Oene (2008), Témata v elementární geometrii (2. vyd.), Springer, str. 108, ISBN 9780387781303.
Carver, Walter B. (1956), „Nějaká geometrie trojúhelníku“, Americký matematický měsíčník, 63 (9): 32–50, doi:10.2307/2309843, JSTOR 2309843.
Casey, John (1893), Pojednání o analytické geometrii bodů, úseček, kružnic a kuželoseček: obsahující popis jeho nejnovějších rozšíření s mnoha příklady, Řada Dublin University Press, Hodges, Figgis, & Co., s. 303.
Evans, Lawrence S. (2002), „Rychlá výstavba některých center trojúhelníků“ (PDF), Fórum Geometricorum, 2: 67–70, PAN 1907780.
Eves, Howard Whitley (1995), Vysokoškolská geometrie, Jones & Bartlett Learning, str. 69–70, ISBN 9780867204759.
Iannaccone, Andrew; Walden, Byron (2003), Konformní střed trojúhelníku nebo čtyřúhelníku, Harvey Mudd College Katedra matematiky.
Johnson, Roger A. (1917), „Směrované úhly a inverze, s důkazem Schouteovy věty“, Americký matematický měsíčník, 24 (7): 313–317, doi:10.2307/2973552, JSTOR 2973552.
Kimberling, Clark (1993), "Funkční rovnice spojené s geometrií trojúhelníku" (PDF), Aequationes Mathematicae, 45 (2–3): 127–152, doi:10.1007 / BF01855873, PAN 1212380.
Moon, Tarik Adnan (2010), „Apollonské kruhy a izodynamické body“ (PDF), Matematické úvahy (6), archivovány od originál (PDF) dne 2013-04-20, vyvoláno 2012-03-22.
Neuberg, J. (1885), „Sur le quadrilatère harmonique“, Matematika (francouzsky), 5: 202–204, 217–221, 265–269. Definice izodynamických bodů je uvedena v poznámce pod čarou na straně 204.
Rigby, J. F. (1988), „Napoleon se vrátil“, Journal of Geometry, 33 (1–2): 129–146, doi:10.1007 / BF01230612, PAN 0963992. Diskuse o izodynamických bodech je na str. 138–139. Rigby jim říká „Napoleonovy body ", ale toto jméno běžněji odkazuje na jiný střed trojúhelníku, bod shody mezi čarami spojujícími vrcholy Napoleonův rovnostranný trojúhelník s protilehlými vrcholy daného trojúhelníku.
Wildberger, N. J. (2008), „Neubergova kubika nad konečnými poli“, Algebraická geometrie a její aplikace, Ser. Aplikace teorie čísel, 5, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, str. 488–504, arXiv:0806.2495, doi:10.1142/9789812793430_0027, PAN 2484072. Viz zejména str. 498.

externí odkazy

Isodynamické body X (15) a X (16) v Encyclopedia of Triangle Centers tím, že Clark Kimberling

Weisstein, Eric W. "Isodynamické body". MathWorld.

[1] Kredit společnosti Neuberg viz např. Casey (1893) a Eves (1995).

[2] Neuberg (1885) uvádí, že tato vlastnost je důvodem pro volání těchto bodů „isodynamic“.

[botjo-3] A ^b ^C Bottema (2008); Johnson (1917).

[wildberger-4] A ^b Wildberger (2008).

[casjo-5] A ^b Casey (1893); Johnson (1917).

[rigby-6] A ^b ^C Rigby (1988).

[7] Carver (1956).

[8] Měsíc (2010).

[9] Eves (1995); Wildberger (2008).

[10] Iannaccone a Walden (2003).

[11] Evans (2002).

[12] Kimberling (1993).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]