Golod – Šafarevičova věta - Golod–Shafarevich theorem

v matematika, Golod – Šafarevičova věta byla v roce 1964 prokázána Evgeny Golod a Igor Šafarevič. Výsledek je nekomutativní homologická algebra který řeší problém polní věže třídy, tím, že ukážete, že polní věže třídy mohou být nekonečné.

Nerovnost

Nechat A = K.⟨X₁, ..., X_n⟩ být bezplatná algebra přes pole K. v n = d + 1 nepojíždějící proměnné X_i.

Nechat J být oboustranný ideál A generované homogenními prvky F_j z A stupně d_j s

2 ≤ d₁ ≤ d₂ ≤ ...

kde d_j inklinuje k nekonečnu. Nechat r_i být počet d_j rovná i.

Nechat B=A/J, a odstupňovaná algebra. Nechat b_j = dim B_j.

The základní nerovnost Golod a Shafarevich to uvádí

{displaystyle b_ {j} geq nb_ {j-1} -sum _ {i = 2} ^ {j} b_ {j-i} r_ {i}.}

Jako následek:

B je nekonečně dimenzionální, pokud r_i ≤ d²/ 4 pro všechny i

Aplikace

Tento výsledek má důležité aplikace v teorie kombinatorických grup:

Li G je netriviální konečná p-skupina, pak r > d²/ 4 kde d = dimH¹(G,Z/pZ) a r = dimH²(G,Z/pZ) (mod p kohomologické skupiny z G). Zejména pokud G je konečný p-skupina s minimálním počtem generátorů d a má r relators v dané prezentaci, pak r > d²/4.
Pro každý prime p, existuje nekonečná skupina G generované třemi prvky, ve kterých má každý prvek sílu p. Skupina G poskytuje protiklad k zobecněná Burnsideova domněnka: je to definitivně generováno nekonečný torzní skupina, i když na pořadí jejích prvků neexistuje jednotná vazba.

v teorie pole, polní věž třídy a pole s číslem K. je vytvořen iterací Hilbertovo pole třídy konstrukce. Problém třídy polní věže se ptá, zda je tato věž vždy konečná; Hasse (1926) připsal tuto otázku Furtwanglerovi, ačkoli Furtwangler řekl, že to slyšel od Schreiera. Dalším důsledkem věty Golod – Shafarevich je, že takový věže možná nekonečný (jinými slovy, ne vždy končí v poli rovném jeho Hilbert pole třídy). Konkrétně

Nechat K. být imaginární kvadratické pole, jehož diskriminující má alespoň 6 hlavních faktorů. Pak maximální neuzamčené 2-rozšíření K. má nekonečný stupeň.

Obecněji řečeno, početní pole s dostatečně velkým počtem hlavních faktorů v diskriminaci má nekonečnou polní věž třídy.

Reference

Golod, E. S.; Shafarevich, I.R. (1964), „Na polní věži třídy“, Izv. Akad. Nauk SSSSR, 28: 261–272 (v ruština ) PAN0161852
Golod, E. S. (1964), „O nil-algebrách a konečně přibližných p-skupinách.“, Izv. Akad. Nauk SSSSR, 28: 273–276 (v ruština ) PAN0161878
Herstein, I.N. (1968). Nezávazné prsteny. Matematické monografie Carus. MAA. ISBN 0-88385-039-7. Viz kapitola 8.
Johnson, D.L. (1980). „Témata v teorii skupinových prezentací“ (1. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-23108-6. Viz kapitola VI.
Koch, Helmut (1997). Algebraická teorie čísel. Encycl. Matematika. Sci. 62 (2. tisk 1. vydání). Springer-Verlag. p. 180. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044.
Narkiewicz, Władysław (2004). Základní a analytická teorie algebraických čísel. Springer Monografie z matematiky (3. vyd.). Berlín: Springer-Verlag. p. 194. ISBN 3-540-21902-1. Zbl 1159.11039.
Roquette, Peter (1986) [1967]. "Na polních věžích třídy". v Cassels, J. W. S.; Fröhlich, A. (eds.). Algebraická teorie čísel, Sborník z instruktážní konference konané na University of Sussex, Brighton, 1. – 17. Září 1965 (Dotisk původního vydání z roku 1967). Londýn: Akademický tisk. 231–249. ISBN 0-12-163251-2.
Serre, J.-P. (2002), „Galois Cohomology,“ Springer-Verlag. ISBN 3-540-42192-0. Viz dodatek 2. (Překlad Cohomologie Galoisienne, Přednášky z matematiky 5, 1973.)