Usměrněný 16článkový plástev - Birectified 16-cell honeycomb

Usměrněný 16článkový plástev
(Bez obrázku)
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	t2{3,3,4,3}
Coxeter-Dynkinův diagram	=
4 tváře	Opravený tesseract Rektifikovaná 24článková
Typ buňky	Krychle Cuboctahedron Čtyřstěn
Typ obličeje	{3}, {4}
Vrcholová postava	{3}×{3} duoprism
Skupina coxeterů	${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ = [3,3,4,3] ${ displaystyle { tilde {B}} _ {4}}$ = [4,3,31,1] ${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$ = [31,1,1,1]
Dvojí	?
Vlastnosti	vrchol-tranzitivní

v čtyřrozměrný Euklidovská geometrie, usměrněný 16článkový plástev (nebo runový tesseraktický plástev) je jednotné vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v euklidovském 4-prostoru.

Konstrukce symetrie

Existují 3 různé konstrukce symetrie, všechny s 3-3 duoprism vrcholové postavy. The ${ displaystyle { tilde {B}} _ {4}}$ symetrie se zdvojnásobuje ${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$ třemi možnými způsoby ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ obsahuje nejvyšší symetrii.

Afinní Skupina coxeterů	${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ [3,3,4,3]	${ displaystyle { tilde {B}} _ {4}}$ [4,3,31,1]	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$ [31,1,1,1]
Coxeterův diagram
Vrcholová postava
Vrcholová postava symetrie	[3,2,3] (objednávka 36)	[3,2] (objednávka 12)	[3] (objednávka 6)
4 tváře
Buňky

Související voštiny

[3,4,3,3], , Skupina coxeterů generuje 31 permutací jednotných mozaikování, 28 je v této rodině jedinečných a deset je sdíleno v [4,3,3,4] a [4,3,3^1,1] rodiny. Střídání (13) se opakuje i v jiných rodinách.

F4 voštiny
Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
[3,3,4,3]		×1	1, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12
[3,4,3,3]		×1	2, 4, 7, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
[(3,3)[3,3,4,3*]] =[(3,3)[31,1,1,1]] =[3,4,3,3]	= =	×4	(2), (4), (7), (13)

[4,3,3^1,1], , Skupina coxeterů generuje 31 permutací jednotných mozaikování, 23 s odlišnou symetrií a 4 s odlišnou geometrií. Existují dvě alternované formy: alternace (19) a (24) mají stejnou geometrii jako 16článkový plástev a potlačit 24článkový plástev resp.

B4 voštiny
Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
[4,3,31,1]:		×1	5, 6, 7, 8
<[4,3,31,1]>: ↔[4,3,3,4]	↔	×2	9, 10, 11, 12, 13, 14, (10), 15, 16, (13), 17, 18, 19
[3[1+,4,3,31,1]] ↔ [3[3,31,1,1]] ↔ [3,3,4,3]	↔ ↔	×3	1, 2, 3, 4
[(3,3)[1+,4,3,31,1]] ↔ [(3,3)[31,1,1,1]] ↔ [3,4,3,3]	↔ ↔	×12	20, 21, 22, 23

Existují deset jednotných voštin postavena ${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$ Skupina coxeterů, vše se opakuje v jiných rodinách rozšířenou symetrií, jak je vidět v grafu symetrie prstenů v Coxeter – Dynkinovy ​​diagramy. Desátý je konstruován jako střídání. Jako podskupiny v Coxeterova notace: [3,4,(3,3)^*] (index 24), [3,3,4,3^*] (index 6), [1⁺,4,3,3,4,1⁺] (index 4), [3^1,1,3,4,1⁺] (index 2) jsou všechny izomorfní s [3^1,1,1,1].

Deset permutací je uvedeno s nejvyšší relací rozšířené symetrie:

D4 voštiny
Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Rozšířené skupina	Voštiny
[31,1,1,1]		${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$	(žádný)
<[31,1,1,1]> ↔ [31,1,3,4]	↔	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$×2 = ${ displaystyle { tilde {B}} _ {4}}$	(žádný)
<2[1,131,1]> ↔ [4,3,3,4]	↔	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$×4 = ${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{4}}$	1, 2
[3[3,31,1,1]] ↔ [3,3,4,3]	↔	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$×6 = ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$	3, 4, 5, 6
[4[1,131,1]] ↔ [[4,3,3,4]]	↔	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$×8 = ${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{4}}$×2	7, 8, 9
[(3,3)[31,1,1,1]] ↔ [3,4,3,3]	↔	${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$×24 = ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$
[(3,3)[31,1,1,1]]+ ↔ [3+,4,3,3]	↔	½${ displaystyle { tilde {D}} _ {4}}$×24 = ½${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$	10

Viz také

Pravidelné a jednotné voštiny ve 4 mezerách:

• Tesseractic plástev
• 16článkový plástev
• 24článkový plástev
• Rektifikovaný 24článkový plástev
• Zkrácený 24článkový plástev
• Utlumit 24článkový plástev
• 5článkový plástev
• Zkrácený 5článkový plástev
• Omnitruncated 5-cell honeycomb

Poznámky

Reference

• Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• George Olshevsky, Jednotné panoploidní tetrakomby, Rukopis (2006) (Kompletní seznam 11 konvexních uniformních obkladů, 28 konvexních uniformních voštin a 143 konvexních uniformních tetrakomb)
• Klitzing, Richarde. „4D euklidovské mozaiky“. x3o3x * b3x * b3o, x3o3o * b3x4o, o3o3x4o3o - bricot - O106

Zásadní konvexní pravidelný a jednotné voštiny v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${ displaystyle { tilde {A}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ / ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ / ${ displaystyle { tilde {E}} _ {n-1}}$
E2	Jednotné obklady	{3[3]}	δ3	hδ3	qδ3	Šestihranný
E3	Jednotný konvexní plástev	{3[4]}	δ4	hδ4	qδ4
E4	Jednotný 4-plástev	{3[5]}	δ5	hδ5	qδ5	24článkový plástev
E5	Jednotný 5 voštin	{3[6]}	δ6	hδ6	qδ6
E6	Jednotný 6 voštin	{3[7]}	δ7	hδ7	qδ7	222
E7	Jednotný 7 voštin	{3[8]}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
E8	Jednotný 8 voštin	{3[9]}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
E9	Jednotný 9-plástev	{3[10]}	δ10	hδ10	qδ10
En-1	Jednotný (n-1)-plástev	{3[n]}	δn	hδn	qδn	1k2 • 2k1 • k21