Konstrukce ADHM - ADHM construction

v matematická fyzika a teorie měřidel, Konstrukce ADHM nebo monad konstrukce je konstrukce všeho okamžiky pomocí metod lineární algebry od Michael Atiyah, Vladimír Drinfeld, Nigel Hitchin, Yuri I. Manin ve svém příspěvku „Konstrukce instantonů“.

Data ADHM

Konstrukce ADHM používá následující data:

komplex vektorové prostory PROTI a Ž dimenze k a N,
k × k složité matice B₁, B₂, a k × N komplexní matice Já a a N × k komplexní maticeJ,
A nemovitý momentová mapa ${displaystyle mu _ {r} = [B_ {1}, B_ {1} ^ {dagger}] + [B_ {2}, B_ {2} ^ {dagger}] + II ^ {dagger} -J ^ {dýka } J,}$
A komplex momentová mapa ${displaystyle displaystyle mu _ {c} = [B_ {1}, B_ {2}] + IJ.}$

Poté konstrukce ADHM tvrdí, že za určitých podmínek pravidelnosti

Dáno B₁, B₂, Já, J takhle ${displaystyle mu _ {r} = mu _ {c} = 0}$ , anti-self-dual instanton v SU (N) teorie měřidel s číslem instanton k lze postavit,
Vše anti-self-dual okamžiky lze získat tímto způsobem a jsou v individuální korespondenci s řešeními až do U (k) rotace, která na každého působí B v adjunkční reprezentace a dál Já a J přes základní a antifundamentalní reprezentace
The metrický na moduli prostor instancí je to zděděné z ploché metriky B, Já a J.

Zobecnění

Nekomutativní okamžiky

V nekomutativní teorie měřidel je konstrukce ADHM identická, ale momentová mapa ${displaystyle {vec {mu}}}$ je nastavena na stejnou hodnotu jako dvojitá projekce nekomutativní matice časoprostoru krát matice identity. V tomto případě existují okamžiky, i když je skupina měřidel U (1). Nekomutativní okamžiky objevil Nikita Nekrasov a Albert Schwarz v roce 1998.

Víry

Nastavení B₂ a J na nulu, získá se klasický prostor modulů neaabelianských vírů v a supersymetrický teorie měřidel se stejným počtem barev a chutí, jak bylo prokázáno v Víry, okamžiky a otruby. Zevšeobecnění na větší počet příchutí se objevilo v Solitony ve Higgsově fázi: Přístup Moduliho matice. V obou případech Fayet-Iliopoulosův termín, která určuje a písknout kondenzát, hraje roli parametru nekomutativity v mapě reálného okamžiku.

Konstrukční vzorec

Nechat X být 4-dimenzionální Euklidovský vesmírný čas souřadnice zapsané v kvartérní notace ${displaystyle x_ {ij} = {egin {pmatrix} z_ {2} & z_ {1} - {ar {z_ {1}}} a {ar {z_ {2}}} konec {pmatrix}}.}$

Zvažte 2k × (N + 2k) matice

{displaystyle Delta = {egin {pmatrix} I & B_ {2} + z_ {2} & B_ {1} + z_ {1} J ^ {dagger} & - B_ {1} ^ {dagger} - {ar {z_ {1 }}} & B_ {2} ^ {dagger} + {ar {z_ {2}}} konec {pmatrix}}.}

Pak podmínky ${displaystyle displaystyle mu _ {r} = mu _ {c} = 0}$ jsou ekvivalentní podmínce faktorizace

{displaystyle Delta Delta ^ {dagger} = {egin {pmatrix} f ^ {- 1} & 0 0 & f ^ {- 1} end {pmatrix}}}

kde F(X) je k × k Hermitova matice.

Pak poustevník projekce operátor P lze zkonstruovat jako

{displaystyle P = Delta ^ {dagger} {egin {pmatrix} f & 0 0 & fend {pmatrix}} Delta.}

The prázdný prostor Δ (X) má rozměr N pro obecné X. Základní vektory pro tento prázdný prostor lze sestavit do (N + 2k) × N matice U(X) s podmínkou orthonormalizace U^†U = 1.

Podmínka pravidelnosti na hodnosti Δ zaručuje podmínku úplnosti

{displaystyle P + UU ^ {dagger} = 1.,}

Anti-selfdual spojení je pak konstruován z U podle vzorce

{displaystyle A_ {m} = U ^ {dagger} částečné _ {m} U.}

Viz také

Reference

Atiyah, Michael Francis (1979), Geometrie polí Yang-Mills, Scuola Normale Superiore Pisa, Pisa, PAN 0554924
Atiyah, Michael Francis; Drinfeld, V. G.; Hitchin, N. J.; Manin, Jurij Ivanovič (1978), „Konstrukce instantonů“, Fyzikální písmena A, 65 (3): 185–187, Bibcode:1978PhLA ... 65..185A, doi:10.1016 / 0375-9601 (78) 90141-X, ISSN 0375-9601, PAN 0598562
Hitchin, N. (1983), „O stavbě monopolů“, Commun. Matematika. Phys. 89, 145–190.