Operátor konečné pozice - Finite-rank operator

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Operátor konečné pozice“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosinec 2006) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v funkční analýza, obor matematiky, a operátor konečné pozice je ohraničený lineární operátor mezi Banachovy prostory jehož rozsah je konečně-dimenzionální.

Operátoři konečné hodnosti na Hilbertově prostoru

Kanonická forma

Operátory konečné pozice jsou matice (konečné velikosti) transplantované do nekonečného dimenzionálního nastavení. Tyto operátory lze popsat pomocí technik lineární algebry.

Z lineární algebry víme, že obdélníková matice se složitými záznamy M ∈ C^{n × m} má hodnost 1 právě tehdy M je ve formě

${displaystyle M = alpha cdot uv ^ {*}, quad {mbox {where}} quad | u | = | v | = 1quad {mbox {and}} quad alpha geq 0.}$

Přesně stejný argument ukazuje, že operátor T v Hilbertově prostoru H je hodnosti 1 právě tehdy

${displaystyle Th = alpha langle h, vangle uquad {mbox {for all}} quad hin H,}$

kde jsou podmínky na α, u, a proti jsou stejné jako v případě konečných rozměrů.

Proto indukcí operátor T konečné pozice n má formu

${displaystyle Th = suma _ {i = 1} ^ {n} alfa _ {i} jazyk h, v_ {i} úhel u_ {i} quad {mbox {pro všechny}} quad hin H,}$

kde {u_i} a {proti_i} jsou ortonormální báze. Všimněte si, že toto je v podstatě přepracování rozklad singulární hodnoty. Dá se říci, že kanonická forma konečných operátorů.

Mírně zobecnění, pokud n je nyní spočetně nekonečný a posloupnost kladných čísel {α_i} akumulovat pouze na 0, T je pak a kompaktní operátor a jeden má kanonickou formu pro kompaktní operátory.

Pokud série ∑_i α_i je konvergentní, T je stopová třída operátor.

Algebraická vlastnost

Rodina konečných operátorů F(H) na Hilbertově prostoru H tvoří oboustranný * ideál L(H), algebra omezených operátorů na H. Ve skutečnosti je to minimální prvek mezi takovými ideály, tj. Jakýkoli oboustranný * ideál Já v L(H) musí obsahovat operátory konečné pozice. To není těžké dokázat. Vezměte nenulový operátor T ∈ Já, pak Tf = G pro některé f, g ≠ 0. Postačuje mít to pro všechny h, k ∈ H, operátor hodnosti 1 S_{h, k} že mapy h na k leží v Já. Definovat S_{h, f} být operátorem hodnosti 1, který mapuje h na F, a S_{g, k} analogicky. Pak

${displaystyle S_ {h, k} = S_ {g, k} TS_ {h, f} ,,}$

což znamená S_{h, k} je v Já a tím se ověří nárok.

Některé příklady oboustranných * ideálů L(H) jsou stopová třída, Operátoři Hilbert – Schmidt, a kompaktní operátory. F(H) je hustý ve všech třech těchto ideálech, v jejich příslušných normách.

Protože jakýkoli oboustranný ideál v L(H) musí obsahovat F(H), algebra L(H) je jednoduchý právě tehdy, pokud je konečný rozměr.

Operátoři konečné pozice na Banachově prostoru

Operátor konečné pozice ${displaystyle T: U o V}$ mezi Banachovy prostory je ohraničený operátor takový, že jeho rozsah je konečný rozměr. Stejně jako v případě Hilbertova prostoru může být zapsán ve formě

${displaystyle Th = suma _ {i = 1} ^ {n} alfa _ {i} jazyk h, v_ {i} úhel u_ {i} quad {mbox {pro všechny}} quad hin U,}$

kam teď ${displaystyle u_ {i} ve V}$, a ${displaystyle v_ {i} v U '}$ jsou ohraničené lineární funkcionály v prostoru ${displaystyle U}$.

Omezená lineární funkce je konkrétní případ operátoru konečné řady, jmenovitě prvního stupně.