Integrovaný lineární operátor - Integral linear operator

An integrální bilineární forma je bilineární funkční který patří do souvislého duálního prostoru ${ displaystyle X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y}$ , injekční tenzorový produkt lokálně konvexní topologické vektorové prostory (TVS) X a Y. An integrální lineární operátor je spojitý lineární operátor, který vzniká kanonickým způsobem z integrální bilineární formy.

Tyto mapy hrají důležitou roli v teorii jaderné prostory a jaderné mapy.

Definice - Integrální formy jako duál injektivního tenzorového produktu

Nechat X a Y být lokálně konvexní TVS, ať ${ displaystyle X otimes _ { pi} Y}$ označit projektivní tenzorový produkt, ${ displaystyle X { widehat { otimes}} _ { pi} Y}$ označit jeho dokončení, ať ${ displaystyle X otimes _ { epsilon} Y}$ označit injekční tenzorový produkt, a ${ displaystyle X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y}$ označit jeho dokončení. Předpokládejme to ${ displaystyle operatorname {In}: X otimes _ { epsilon} Y až X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y}$ označuje vložení TVS ${ displaystyle X otimes _ { epsilon} Y}$ do jeho dokončení a nechat ${ displaystyle {} ^ {t} operatorname {In}: left (X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y right) _ {b} ^ { prime} doleva ( X otimes _ { epsilon} Y right) _ {b} ^ { prime}}$ být jeho přemístit, což je vektorový izomorfismus prostoru. To identifikuje souvislý duální prostor ${ displaystyle X otimes _ { epsilon} Y}$ jako totožný s kontinuálním duálním prostorem ${ displaystyle X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y}$ .

Nechat ${ displaystyle operatorname {Id}: X otimes _ { pi} Y až X otimes _ { epsilon} Y}$ označit mapu totožnosti a ${ displaystyle {} ^ {t} operatorname {Id}: left (X otimes _ { epsilon} Y right) _ {b} ^ { prime} to left (X otimes _ { pi} Y right) _ {b} ^ { prime}}$ označit jeho přemístit, což je kontinuální injekce. Odvolej to ${ displaystyle left (X otimes _ { pi} Y right) ^ { prime}}$ je kanonicky identifikován s ${ displaystyle B (X, Y)}$ , prostor spojitých bilineárních map na ${ displaystyle X krát Y}$ . Tímto způsobem kontinuální duální prostor ${ displaystyle X otimes _ { epsilon} Y}$ lze kanonicky identifikovat jako vektorový podprostor o ${ displaystyle B (X, Y)}$ , označeno ${ displaystyle J (X, Y)}$ . Prvky ${ displaystyle J (X, Y)}$ jsou nazývány integrální (bilineární) formy na ${ displaystyle X krát Y}$ . Následující věta ospravedlňuje slovo integrální.

Teorém^[1]^[2] — Dvojí $J (X, Y)$ z ${ displaystyle X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y}$ se skládá přesně z těchto spojitých bilineárních forem $C$ na ${ displaystyle X krát Y}$ které lze znázornit ve formě mapy

{ displaystyle b v B (X, Y) mapsto v (b) = int _ {S krát T} b { velký vert} _ {S krát T} vlevo (x ^ { prime }, y ^ { prime} right) operatorname {d} mu left (x ^ { prime}, y ^ { prime} right)}

kde $S$ a $T$ jsou některé uzavřené, rovnocenné podmnožiny ${ displaystyle X _ { sigma} ^ { prime}}$ a ${ displaystyle Y _ { sigma} ^ { prime}}$ , respektive, a ${ displaystyle mu}$ je pozitivní Radonová míra na kompaktní sadě ${ displaystyle S krát T}$ s celkovou hmotností ${ displaystyle leq 1.}$ Kromě toho, pokud $A$ je rovnocenná podmnožina $J (X, Y)$ pak prvky ${ displaystyle v v A}$ lze reprezentovat pomocí ${ displaystyle S krát T}$ pevné a ${ displaystyle mu}$ protékající normou ohraničenou podmnožinou prostoru Radon měří na ${ displaystyle S krát T.}$

Integrované lineární mapy

Kontinuální lineární mapa ${ displaystyle kappa: X až Y ^ { prime}}$ je nazýván integrální pokud je jeho přidružená bilineární forma integrální bilineární forma, kde je tato forma definována ${ displaystyle (x, y) v X krát Y mapsto ( kappa x) (y)}$ .^[3] Z toho vyplývá, že integrální mapa ${ displaystyle kappa: X až Y ^ { prime}}$ má tvar:^[3]

{ displaystyle x v X mapsto kappa (x) = int _ {S krát T} levý langle x ^ { prime}, x pravý rangle y ^ { prime} operatorname {d } mu left (x ^ { prime}, y ^ { prime} right)}

pro vhodné slabě uzavřené a rovnocenné podmnožiny S a T z ${ displaystyle X ^ { prime}}$ a ${ displaystyle Y ^ { prime}}$ a některé pozitivní radonové míry ${ displaystyle mu}$ celkové hmotnosti ≤ 1. Výše uvedený integrál je slabý integrál, takže rovnost platí právě tehdy, když pro každého ${ displaystyle y v Y}$ , ${ displaystyle left langle kappa (x), y right rangle = int _ {S times T} left langle x ^ { prime}, x right rangle left langle y ^ { prime}, y right rangle operatorname {d} mu left (x ^ { prime}, y ^ { prime} right)}$ .

Vzhledem k lineární mapě ${ displaystyle Lambda: X až Y}$ lze definovat kanonickou bilineární formu ${ displaystyle B _ { Lambda} v Bi vlevo (X, Y ^ { prime} vpravo)}$ , nazvaný přidružená bilineární forma na ${ displaystyle X krát Y ^ { prime}}$ tím, že ${ displaystyle B _ { Lambda} vlevo (x, y ^ { prime} vpravo): = vlevo (y ^ { prime} circ Lambda vpravo) vlevo (x vpravo)}$ . Souvislá mapa ${ displaystyle Lambda: X až Y}$ je nazýván integrální pokud je jeho přidružená bilineární forma integrální bilineární formou.^[4] Integrální mapa ${ displaystyle Lambda: X až Y}$ má formu pro každého ${ displaystyle x v X}$ a ${ displaystyle y ^ { prime} v Y ^ { prime}}$ :

{ displaystyle left langle y ^ { prime}, Lambda (x) right rangle = int _ {A ^ { prime} krát B ^ { prime prime}} left langle x ^ { prime}, x right rangle left langle y ^ { prime prime}, y ^ { prime} right rangle operatorname {d} mu left (x ^ { prime} , y ^ { prime prime} right)}

pro vhodné slabě uzavřené a rovnocenné podmnožiny ${ displaystyle A ^ { prime}}$ a ${ displaystyle B ^ { prime prime}}$ z ${ displaystyle X ^ { prime}}$ a ${ displaystyle Y ^ { prime prime}}$ a některé pozitivní radonové míry ${ displaystyle mu}$ celkové hmotnosti ${ displaystyle leq 1}$ .

Vztah k Hilbertovým prostorům

Následující výsledek ukazuje, že integrální mapy „procházejí“ Hilbertovými prostory.

Tvrzení:^[5] Předpokládejme to ${ displaystyle u: X až Y}$ je integrální mapa mezi lokálně konvexními TVS s Y Hausdorff a dokončit. Existuje Hilbertův prostor H a dvě spojitá lineární zobrazení ${ displaystyle alpha: X až H}$ a ${ displaystyle beta: H na Y}$ takhle ${ displaystyle u = beta circ alpha}$ .

Kromě toho každý integrální operátor mezi dvěma Hilbertovy prostory je jaderný.^[5] Takže spojitý lineární operátor mezi dvěma Hilbertovy prostory je jaderný právě když je integrální.

Dostatečné podmínky

Každý jaderná mapa je integrální.^[4] Důležitou částečnou konverzací je, že každý integrální operátor mezi dvěma Hilbertovy prostory je jaderný.^[5]

Předpokládejme to A, B, C, a D jsou Hausdorff místně konvexní TVS a to ${ displaystyle alpha: A až B}$ , ${ displaystyle beta: B až C}$ , a ${ displaystyle gamma: C až D}$ jsou spojité lineární operátory. Li ${ displaystyle beta: B až C}$ je integrální operátor, pak také složení ${ displaystyle gama cirkus beta cirkus alfa: od A do D}$ .^[5]

Li ${ displaystyle u: X až Y}$ je spojitý lineární operátor mezi dvěma normovanými prostory ${ displaystyle u: X až Y}$ je integrální právě tehdy ${ displaystyle {} ^ {t} u: Y ^ { prime} až X ^ { prime}}$ je integrální.^[6]

Předpokládejme to ${ displaystyle u: X až Y}$ je spojitá lineární mapa mezi lokálně konvexními TVS. Li ${ displaystyle u: X až Y}$ je integrální, pak také přemístit ${ displaystyle {} ^ {t} u: Y_ {b} ^ { prime} až X_ {b} ^ { prime}}$ .^[4] Nyní předpokládejme, že transponovat ${ displaystyle {} ^ {t} u: Y_ {b} ^ { prime} až X_ {b} ^ { prime}}$ spojité lineární mapy ${ displaystyle u: X až Y}$ je integrální. Pak ${ displaystyle u: X až Y}$ je nedílnou součástí kanonických injekcí ${ displaystyle operatorname {In} _ {X}: X až X ^ { prime prime}}$ (definován ${ displaystyle x mapsto}$ hodnota na $X$ ) a ${ displaystyle operatorname {In} _ {Y}: Y až Y ^ { prime prime}}$ jsou Vkládání TVS (což se stane, když například ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y_ {b} ^ { prime}}$ jsou sudové nebo měřitelné).^[4]

Vlastnosti

Předpokládejme to A, B, C, a D jsou Hausdorff lokálně konvexní TVS s B a D kompletní. Li ${ displaystyle alpha: A až B}$ , ${ displaystyle beta: B až C}$ , a ${ displaystyle gamma: C až D}$ jsou integrální lineární mapy, pak jejich složení ${ displaystyle gamma cirkus beta cirkus alfa: od A do D}$ je jaderný.^[5] Tedy zejména pokud $X$ je nekonečně dimenzionální Fréchetový prostor pak spojitý lineární surjection ${ displaystyle u: X až X}$ nemůže být integrálním operátorem.

Viz také

Reference

^ Schaefer & Wolff 1999, str. 168.
^ Trèves 2006, str. 500-502.
^ ^A ^b Schaefer & Wolff 1999, str. 169.
^ ^A ^b ^C ^d Trèves 2006, str. 502-505.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Trèves 2006, str. 506-508.
^ Trèves 2006, str. 505.

Bibliografie

Diestel, Joe (2008). The Metric Theory of Tensor Products: Grothendieck's Résumé Revisited. 16. Providence, R.I .: Americká matematická společnost. ISBN 9781470424831. OCLC 185095773.
Dubinský, vyd (1979). Struktura jaderných prostor Fréchet. Přednášky z matematiky. 720. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09504-0. OCLC 5126156.
Grothendieck, Alexander (1955). „Produkuje Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires“ [Topologické tenzorové produkty a jaderné prostory]. Monografie série americké matematické společnosti (francouzsky). Providence: Americká matematická společnost. 16. ISBN 978-0-8218-1216-7. PAN 0075539. OCLC 1315788.
Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Barel v topologických a uspořádaných vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 692. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
Khaleelulla, S. M. (1982). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Protipříklady v topologických vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 936. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologie a funkční analýza: Úvodní kurz o teorii topologie duality - bornologie a její využití ve funkční analýze. Matematická studia v Severním Holandsku. 26. Amsterdam New York New York: Severní Holandsko. ISBN 978-0-08-087137-0. OCLC 316549583.
Hogbe-Nlend, Henri; Moscatelli, V. B. (1981). Jaderné a jaderné prostory: Úvodní kurz o jaderných a jaderných prostorech ve světle duality „topologie-bornologie“. Matematická studia v Severním Holandsku. 52. Amsterdam New York New York: Severní Holandsko. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC 316564345.
Pietsch, Albrecht (1979). Jaderné lokálně konvexní prostory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66 (Druhé vydání.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC 539541.
Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Topologické vektorové prostory. Cambridge Tracts v matematice. 53. Cambridge Anglie: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Ryan, Raymond A. (2002). Úvod do tenzorových produktů Banach Spaces. Springer Monografie z matematiky. Londýn New York: Springer. ISBN 978-1-85233-437-6. OCLC 48092184.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Wong, Yau-Chuen (1979). Schwartzovy prostory, jaderné prostory a tenzorové produkty. Přednášky z matematiky. 726. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158.

externí odkazy

Jaderný prostor v ncatlab

[FOOTNOTESchaeferWolff1999168-1] Schaefer & Wolff 1999, str. 168.

[FOOTNOTETrèves2006500-502-2] Trèves 2006, str. 500-502.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999169-3] A ^b Schaefer & Wolff 1999, str. 169.

[FOOTNOTETrèves2006502-505-4] A ^b ^C ^d Trèves 2006, str. 502-505.

[FOOTNOTETrèves2006506-508-5] A ^b ^C ^d ^E Trèves 2006, str. 506-508.

[FOOTNOTETrèves2006505-6] Trèves 2006, str. 505.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Topologické tenzorové produkty a jaderné prostory
Základní pojmy	Pomocné normované prostory Jaderný prostor Tenzorový produkt (Hilbertových prostorů )
Topologie	Indukční tenzorový produkt Injekční tenzorový produkt Projektivní tenzorový produkt
Provozovatelé / mapy	Hypokontinuita Integrální Jaderná (mezi Banachovými prostory ) Sledovací třída