Hermitovský symetrický prostor - Hermitian symmetric space

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lieovy skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

v matematika, a Hermitovský symetrický prostor je Hermitian potrubí který má v každém bodě inverzní symetrii zachovávající hermitovskou strukturu. Nejprve studoval Élie Cartan, tvoří přirozené zobecnění pojmu Riemannovský symetrický prostor z skutečné potrubí na složité potrubí.

Každý hermitovský symetrický prostor je pro svou izometrickou skupinu homogenním prostorem a má jedinečný rozklad jako produkt neredukovatelných prostorů a euklidovského prostoru. Neredukovatelné prostory vznikají ve dvojicích jako nekompaktní prostor, který jako Borel ukázáno, může být vložen jako otevřený podprostor svého kompaktního duálního prostoru. Harish Chandra ukázal, že každý nekompaktní prostor lze realizovat jako ohraničená symetrická doména ve složitém vektorovém prostoru. Nejjednodušší případ zahrnuje skupiny SU (2), SU (1,1) a jejich společnou komplexizaci SL (2,C). V tomto případě je nekompaktní prostor jednotka disku, homogenní prostor pro SU (1,1). Je to ohraničená doména v komplexní rovině C. Jednobodové zhutnění C, Riemannova koule, je duální prostor, homogenní prostor pro SU (2) a SL (2,C).

Neredukovatelné kompaktní hermitovské symetrické prostory jsou přesně homogenní prostory jednoduchých kompaktních Lieových skupin podle maximálních uzavřených spojených podskupin, které obsahují maximální torus a mají střed isomorfní ke kruhové skupině. Existuje úplná klasifikace neredukovatelných prostorů se čtyřmi klasickými řadami, které studoval Cartan, a dvěma výjimečnými případy; klasifikaci lze odvodit z Borel – de Siebenthalova teorie, který klasifikuje uzavřené spojené podskupiny obsahující maximální torus. Hermitovské symetrické prostory se objevují v teorii Trojité systémy Jordan, několik složitých proměnných, složitá geometrie, automorfní formy a skupinové reprezentace, zejména povolení stavby holomorfní diskrétní reprezentace řady polojednodušých Lieových skupin.^[1]

Hermitovské symetrické prostory kompaktního typu

Definice

Nechat H být spojenou kompaktní polojednodušou Lieovou skupinou, σ automorfismem H řádu 2 a H^σ podskupina pevného bodu σ. Nechat K. být uzavřenou podskupinou H ležící mezi H^σ a jeho složka identity. Kompaktní homogenní prostor H / K. se nazývá a symetrický prostor kompaktního typu. Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ připouští rozklad

${displaystyle displaystyle {{mathfrak {h}} = {mathfrak {k}} oplus {mathfrak {m}},}}$

kde ${displaystyle {mathfrak {k}}}$, Lieova algebra K., je +1 vlastní prostor σ a ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ vlastní prostor –1. Li ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ neobsahuje žádný jednoduchý součet ${displaystyle {mathfrak {h}}}$, dvojice (${displaystyle {mathfrak {h}}}$, σ) se nazývá an ortogonální symetrická Lieova algebra z kompaktní typ.^[2]

Jakýkoli vnitřní produkt zapnutý ${displaystyle {mathfrak {h}}}$, neměnný pod adjunkční reprezentace a σ, indukuje Riemannovu strukturu H / K., s H působením izometrií. Kanonický příklad uvádí mínus Formulář zabíjení. Pod takovým vnitřním produktem ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ a ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ jsou kolmé. H / K. je pak Riemannovský symetrický prostor kompaktního typu.^[3]

Symetrický prostor H / K. se nazývá a Hermitovský symetrický prostor pokud má téměř složitá struktura zachování Riemannovy metriky. To odpovídá existenci lineární mapy J s J² = −Já na ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ který zachovává vnitřní produkt a dojíždí s působením K..

Symetrie a střed podskupiny izotropie

Pokud (${displaystyle {mathfrak {h}}}$, σ) je Hermitian, K. má netriviální střed a symetrie σ je vnitřní, implementovaná prvkem středu K..

Ve skutečnosti J leží v ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ a exp tJ tvoří skupinu s jedním parametrem uprostřed K.. To následuje, protože pokud A, B, C, D ležet v ${displaystyle {mathfrak {m}}}$, pak invariantností vnitřního produktu k ${displaystyle {mathfrak {h}}}$^[4]

${displaystyle displaystyle {([[A, B], C], D) = ([A, B], [C, D]) = ([[C, D], B], A).}}$

Výměna A a B podle JA a JB, z toho vyplývá, že

${displaystyle displaystyle {[JA, JB] = [A, B].}}$

Definujte lineární mapu δ na ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ prodloužením J být 0 zapnuto ${displaystyle {mathfrak {k}}}$. Poslední relace ukazuje, že δ je derivace ${displaystyle {mathfrak {h}}}$. Od té doby ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ je poloviční, δ musí být vnitřní derivace, takže

${displaystyle displaystyle {delta (X) = [T + A, X],}}$

s T v ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ a A v ${displaystyle {mathfrak {m}}}$. Brát X v ${displaystyle {mathfrak {k}}}$, z toho vyplývá, že A = 0 a T leží uprostřed ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ a proto to K. je non-semiimple. Symetrii σ implementuje z = exp πT a téměř složitá struktura exp π / 2 T.^[5]

To naznačuje i intensita σ K. obsahuje maximální torus H, takže má maximální hodnost. Na druhou stranu centralizátor podskupiny generovaný torusem S prvků exp tT je připojen, protože pokud X je libovolný prvek v K. obsahuje maximální torus X a S, který leží v centralizátoru. Na druhou stranu to obsahuje K. od té doby S je v centru K. a je obsažen v K. od té doby z leží v S. Tak K. je centralizátor S a tudíž spojené. Zejména K. obsahuje střed H.^[2]

Neredukovatelný rozklad

Symetrický prostor nebo dvojice (${displaystyle {mathfrak {h}}}$, σ) se říká, že je neredukovatelné pokud je adjunkční akce ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ (nebo ekvivalentně složka identity H^σ nebo K.) je neredukovatelný ${displaystyle {mathfrak {m}}}$. To je ekvivalentní s maximalitou ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ jako subalgebra.^[6]

Ve skutečnosti existuje vzájemná korespondence mezi mezilehlými subalgebrami ${displaystyle {mathfrak {l}}}$ a K.-invariantní podprostory ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {1}}$ z ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ dána

${displaystyle displaystyle {{mathfrak {l}} = {mathfrak {k}} oplus {mathfrak {m}} _ {1} ,,,, {mathfrak {m}} _ {1} = {mathfrak {l}} čepice {mathfrak {m}}.}}$

Libovolná ortogonální symetrická algebra (${displaystyle {mathfrak {g}}}$, σ) hermitovského typu lze rozložit jako (ortogonální) přímý součet neredukovatelných ortogonálních symetrických algeber hermitovského typu.^[7]

Ve skutečnosti ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ lze psát jako přímý součet jednoduchých algeber

${displaystyle displaystyle {{mathfrak {h}} = oplus _ {i = 1} ^ {N} {mathfrak {h}} _ {i},}}$

každý z nich je ponechán invariantní pomocí automorfismu σ a komplexní struktury J, protože jsou oba vnitřní. Rozklad vlastního prostoru ${displaystyle {mathfrak {h}} _ {1}}$ se shoduje s jeho průsečíky s ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ a ${displaystyle {mathfrak {m}}}$. Takže omezení σ na ${displaystyle {mathfrak {h}} _ {1}}$ je neredukovatelný.

Tento rozklad ortogonální symetrické Lieovy algebry poskytuje přímý produktový rozklad odpovídajícího kompaktního symetrického prostoru H / K. když H je jednoduše připojen. V tomto případě podskupina s pevným bodem H^σ je automaticky připojen. Pro jednoduché připojení H, symetrický prostor H / K. je přímým produktem H_i / K._i s H_i jednoduše připojeno a jednoduché. V neredukovatelném případě K. je maximální propojená podskupina H. Od té doby K. jedná neredukovatelně ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ (považováno za komplexní prostor pro složitou strukturu definovanou J), střed K. je jednorozměrný torus T, daný provozovatelem exp tT. Protože každý H je jednoduše připojen a K. připojený kvocient H/K. je jednoduše připojen.^[8]

Složitá struktura

-li H / K. je neredukovatelný s K. non-semi-jednoduchý, kompaktní skupina H musí být jednoduché a K. maximální hodnosti. Z Teorie Borel-de Siebenthal, involuce σ je vnitřní a K. je centralizátor jeho středu, který je izomorfní s T. Zejména K. je připojen. Z toho vyplývá, že H / K. je jednoduše připojen a existuje parabolická podskupina P v komplexifikace G z H takhle H / K. = G / P. Zejména je zde složitá struktura H / K. a akce H je holomorfní. Jelikož jakýkoli hermitovský symetrický prostor je produktem neredukovatelných prostorů, totéž platí obecně.

Na Lež algebra úrovni, dochází k symetrickému rozkladu

${displaystyle {mathfrak {h}} = {mathfrak {k}} oplus {mathfrak {m}},}$

kde ${displaystyle ({mathfrak {m}}, J)}$ je skutečný vektorový prostor se složitou strukturou J, jehož komplexní rozměr je uveden v tabulce. Odpovídajícím způsobem existuje klasifikovaná Lieova algebra rozklad

${displaystyle {mathfrak {g}} = {mathfrak {m}} _ {+} oplus {mathfrak {l}} oplus {mathfrak {m}} _ {-}}$

kde ${displaystyle {mathfrak {m}} otimes mathbb {C} = {mathfrak {m}} _ {-} oplus {mathfrak {m}} _ {+}}$ je rozklad na +i a -i vlastní prostory J a ${displaystyle {mathfrak {l}} = {mathfrak {k}} často mathbb {C}}$. Lieova algebra P je polopřímý produkt ${displaystyle {mathfrak {m}} ^ {+} oplus {mathfrak {l}}}$. Komplexní algebry Lie ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {pm}}$ jsou Abelian. Opravdu, pokud U a PROTI ležet v ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {pm}}$, [U,PROTI] = J[U,PROTI] = [JU,JV] = [±iU,±iV] = –[U,PROTI], takže Lieův držák musí zmizet.

Složité podprostory ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {pm}}$ z ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {mathbb {C}}}$ jsou neredukovatelné pro působení K., od té doby J dojíždí s K. takže každý je izomorfní ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ se složitou strukturou ±J. Ekvivalentně střed T z K. jedná ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$ reprezentací identity a dále ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {-}}$ jeho konjugátem.^[9]

Realizace H/K. jako zobecněná odrůda vlajky G/P je získán tím, že G jako v tabulce ( komplexifikace z H) a P být parabolická podskupina se rovná polopřímému produktu z L, komplexizace K., se složitou abelianskou podskupinou exp ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$. (V jazyce algebraické skupiny, L je Levi faktor z P.)

Klasifikace

Libovolný hermitovský symetrický prostor kompaktního typu je jednoduše spojen a lze jej zapsat jako přímý produkt neredukovatelných hermitovských symetrických prostorů H_i / K._i s H_i jednoduchý, K._i spojeno s maximální hodností se středem T. Neredukovatelné jsou tedy přesně ty nesemiimální případy klasifikované podle Borel – de Siebenthalova teorie.^[2]

V souladu s tím jsou neredukovatelné kompaktní hermitovské symetrické prostory H/K. jsou klasifikovány následovně.

G	H	K.	komplexní dimenze	hodnost	geometrická interpretace
${displaystyle mathrm {SL} (p + q, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SU} (p + q),}$	${displaystyle mathrm {S} (mathrm {U} (p) imes mathrm {U} (q))}$	pq	min (p,q)	Grassmannian komplexu p-dimenzionální podprostory ${displaystyle mathbb {C} ^ {p + q}}$
${displaystyle mathrm {SO} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SO} (2n),}$	${displaystyle mathrm {U} (n),}$	${displaystyle {frac {1} {2}} n (n-1)}$	${displaystyle [{frac {1} {2}} n]}$	Prostor ortogonálních komplexních struktur na ${displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$
${displaystyle mathrm {Sp} (2n, mathbb {C}),}$	${displaystyle mathrm {Sp} (n),}$	${displaystyle mathrm {U} (n),}$	${displaystyle {frac {1} {2}} n (n + 1)}$	n	Prostor složitých struktur na ${displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ kompatibilní s vnitřním produktem
${displaystyle mathrm {SO} (n + 2, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SO} (n + 2),}$	${displaystyle mathrm {SO} (n) imes mathrm {SO} (2)}$	n	2	Grassmannian orientovaného reálného 2-dimenzionální podprostory ${displaystyle mathbb {R} ^ {n + 2}}$
${displaystyle E_ {6} ^ {mathbb {C}},}$	${displaystyle E_ {6},}$	${displaystyle mathrm {SO} (10) imes mathrm {SO} (2)}$	16	2	Složitění ${displaystyle (mathbb {C} další mathbb {O}) P ^ {2}}$ z Cayley projektivní letadlo ${displaystyle mathbb {O} P ^ {2}}$
${displaystyle E_ {7} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle E_ {7},}$	${displaystyle E_ {6} imes mathrm {SO} (2)}$	27	3	Prostor symetrických submanifoldů Rosenfeldova projektivní rovina ${displaystyle (mathbb {H} další mathbb {O}) P ^ {2}}$ které jsou izomorfní ${displaystyle (mathbb {C} další mathbb {O}) P ^ {2}}$

Z hlediska klasifikace kompaktních Riemannovských symetrických prostorů jsou hermitovské symetrické prostory čtyři nekonečné řady AIII, DIII, CI a BDI s p = 2 nebo q = 2 a dva výjimečné prostory, jmenovitě EIII a EVII.

Klasické příklady

Neredukovatelné hermitovské symetrické prostory kompaktního typu jsou jednoduše spojeny. Odpovídající symetrie σ jednoduše spojené jednoduché kompaktní Lieovy skupiny je vnitřní, daná konjugací jedinečným prvkem S v Z(K.) / Z(H) období 2. U klasických skupin, jak je uvedeno v tabulce výše, jsou tyto symetrie následující:^[10]

• AIII: ${displaystyle S = {egin {pmatrix} -alpha I_ {p} & 0 0 & alpha I_ {q} end {pmatrix}}}$ v S (U (p) × U (q)), kde α^p+q=(−1)^p.
• DIII: S = II v U (n) ⊂ SO (2n); tato volba je ekvivalentní s ${displaystyle J_ {n} = {egin {pmatrix} 0 & I_ {n} - I_ {n} & 0end {pmatrix}}}$.
• CI: S=II v U (n) ⊂ Sp (n) = Sp (n,C) ∩ U (2n); tato volba je ekvivalentní s J_n.
• BDI: ${displaystyle S = {egin {pmatrix} I_ {p} & 0 0 & -I_ {2} end {pmatrix}}}$ v SO (p) × SO (2).

Maximální parabolická podskupina P lze v těchto klasických případech výslovně popsat. Pro AIII

${displaystyle displaystyle {P (p, q) = {egin {pmatrix} A_ {pp} & B_ {pq} 0 & D_ {qq} konec {pmatrix}}}}$

v SL (p+q,C). P(p,q) je stabilizátor podprostoru dimenze p v C^p+q.

Ostatní skupiny vznikají jako pevné evoluční body. Nechat J být n × n matice s 1 na antidiagonální a 0 jinde a nastavená

${displaystyle displaystyle {A = {egin {pmatrix} 0 & J -J & 0end {pmatrix}}.}}$

Pak Sp (n,C) je podskupina pevného bodu involuce θ (G) = A (G^t)⁻¹ A⁻¹ SL (2n,C). TAK(n,C) lze realizovat jako pevné body ψ (G) = B (G^t)⁻¹ B⁻¹ v SL (n,C) kde B = J. Tyto involuce zůstávají neměnné P(n,n) v případech DIII a CI a P(p, 2) v případě BDI. Odpovídající parabolické podskupiny P jsou získány odečtením pevných bodů. Kompaktní skupina H působí přechodně na G / P, aby G / P = H / K..

Hermitovské symetrické prostory nekompaktního typu

Definice

Stejně jako u symetrických prostorů obecně platí, že každý kompaktní hermitovský symetrický prostor H/K. má nekompaktní duální H^*/K. získáno nahrazením H s uzavřenou skutečnou podskupinou Lie H^* komplexní skupiny Lie G s Lieovou algebrou

${displaystyle {mathfrak {h}} ^ {*} = {mathfrak {k}} oplus i {mathfrak {m}} podmnožina {mathfrak {g}}.}$

Vložení Borela

Zatímco přirozená mapa z H/K. na G/P je izomorfismus, přirozená mapa z H^*/K. na G/P je pouze zahrnutí do otevřené podmnožiny. Toto začlenění se nazývá Vložení Borela po Armand Borel. Ve skutečnosti P ∩ H = K. = P ∩ H*. Obrázky uživatele H a H* mají stejnou dimenzi, takže jsou otevřené. Vzhledem k obrazu H je kompaktní, tak uzavřený, z toho vyplývá H/K. = G/P.^[11]

Rozklad kartanu

Polární rozklad ve složité lineární skupině G implikuje Cartanův rozklad H* = K. ⋅ exp ${displaystyle i {mathfrak {m}}}$ v H*.^[12]

Navíc vzhledem k maximální abelianské subalgebře ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ vt A = exp ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ je torální podskupina taková, že σ (A) = A⁻¹ na A; a jakékoli dva takové ${displaystyle {mathfrak {a}}}$jsou konjugovány s prvkem K.. Podobné prohlášení platí pro ${displaystyle {mathfrak {a}} ^ {*} = i {mathfrak {a}}}$. Morevoer pokud A* = exp ${displaystyle {mathfrak {a}} ^ {*}}$, pak

${displaystyle displaystyle {H ^ {*} = KA ^ {*} K.}}$

Jedná se o speciální případy rozkladu Cartanu v jakémkoli Riemannově symetrickém prostoru a jeho duálním. Geodetiku vycházející z počátku v homogenních prostorech lze identifikovat pomocí jedné skupiny parametrů s generátory v ${displaystyle i {mathfrak {m}}}$ nebo ${displaystyle {mathfrak {m}}}$. Podobné výsledky platí pro kompaktní pouzdro: H= K. ⋅ exp ${displaystyle i {mathfrak {m}}}$ a H = KAK.^[8]

Vlastnosti zcela geodetické podprostor A lze zobrazit přímo. A je uzavřen, protože uzavření A je podskupina toral splňující σ (A) = A⁻¹, takže leží jeho algebra lži ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ a tedy rovná se ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ podle maximality. A lze generovat topologicky jedním prvkem exp X, tak ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ je centralizátor X v ${displaystyle {mathfrak {m}}}$. V K.-orbit libovolného prvku ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ existuje prvek Y takové, že (X, Ad k Y) je minimalizován na k = 1. Nastavení k = exp tT s T v ${displaystyle {mathfrak {k}}}$, z toho vyplývá, že (X,[T,Y]) = 0 a tedy [X,Y] = 0, takže Y musí ležet ${displaystyle {mathfrak {a}}}$. Tím pádem ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ je spojení konjugátů ${displaystyle {mathfrak {a}}}$. Zejména nějaký konjugát X spočívá v jakékoli jiné volbě ${displaystyle {mathfrak {a}}}$, který centralizuje tento konjugát; tak podle maximality jsou jedinými možnostmi konjugáty ${displaystyle {mathfrak {a}}}$.^[13]

Rozklady

${displaystyle displaystyle {H = KAK ,,,, H = Kcdot exp {mathfrak {m}}}}$

lze prokázat přímo použitím věta o řezu pro kompaktní transformační skupiny k akci K. na H / K..^[14] Ve skutečnosti prostor H / K. lze identifikovat pomocí

${displaystyle displaystyle {M = {sigma (g) g ^ {- 1}: gin H},}}$

uzavřený podrozměr Ha následuje Cartanův rozklad, který to ukazuje M je unie kAk⁻¹ pro k v K.. Protože toto spojení je kontinuálním obrazem K. × A, je kompaktní a propojený. Stačí tedy ukázat, že je unie otevřená M a k tomu stačí ukázat každý A v A má v této unii otevřené sousedství. Nyní výpočtem derivací na 0 sjednocení obsahuje otevřené sousedství 1. If A je centrální unie je invariantní při násobení A, takže obsahuje otevřené sousedství A. Li A není ústřední, napište A = b² s b v A. Pak τ = Ad b - Ad b⁻¹ je zkosený-adjointový operátor na ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ anticommuting s σ, které lze považovat za a Z₂-gradující operátor σ zapnutý ${displaystyle {mathfrak {h}}}$. Podle Euler – Poincaréova charakteristika z toho vyplývá, že superdimension of ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ se shoduje se superdimenzionou jádra τ. Jinými slovy,

${displaystyle displaystyle {mathrm {dim}, {mathfrak {k}} - mathrm {dim}, {mathfrak {k}} _ {a} = mathrm {dim}, {mathfrak {m}} - mathrm {dim}, { mathfrak {m}} _ {a},}}$

kde ${displaystyle {mathfrak {k}} _ {a}}$ a ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {a}}$ jsou podprostory opravené Ad A. Nechť ortogonální doplněk ${displaystyle {mathfrak {k}} _ {a}}$ v ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ být ${displaystyle {mathfrak {k}} _ {a} ^ {perp}}$. Z výpočtu derivátů vyplývá, že Ad E^X (A E^Y), kde X leží v ${displaystyle {mathfrak {k}} _ {a} ^ {perp}}$ a Y v ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {a}}$, je otevřené sousedství města A v unii. Zde podmínky A E^Y lež v unii argumentem pro centrální A: Vskutku A je ve středu složky identity centralizátoru A který je neměnný pod σ a obsahuje A.

Rozměr ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ se nazývá hodnost hermitovského symetrického prostoru.

Silně kolmé kořeny

V případě hermitovských symetrických prostorů dala Harish-Chandra kanonickou volbu ${displaystyle {mathfrak {a}}}$. Tato volba ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ je stanovena pomocí maximálního torusu T z H v K. s Lieovou algebrou ${displaystyle {mathfrak {t}}}$. Protože symetrie σ je implementována prvkem T ležící uprostřed H, kořenové prostory ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alpha}}$ v ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ jsou ponechány invariantní pomocí σ. Působí jako identita těch, které jsou obsaženy v ${displaystyle {mathfrak {k}} _ {mathbb {C}}}$ a mínus identita u těch v ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {mathbb {C}}}$.

Kořeny s kořenovými mezerami ${displaystyle {mathfrak {k}} _ {mathbb {C}}}$ se nazývají kompaktní kořeny a ti s kořenovými mezerami v ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {mathbb {C}}}$ se nazývají nekompaktní kořeny. (Tato terminologie pochází ze symetrického prostoru nekompaktního typu.) Pokud H je jednoduchý, generátor Z středu města K. lze použít k definování množiny kladných kořenů podle znaménka α (Z). S touto volbou kořenů ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$ a ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {-}}$ jsou přímým součtem kořenových prostorů ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alpha}}$ přes pozitivní a negativní nekompaktní kořeny α. Kořenové vektory E_α lze zvolit tak, aby

${displaystyle displaystyle {X_ {alpha} = E_ {alpha} + E _ {- alpha} ,,,, Y_ {alpha} = i (E_ {alpha} -E _ {- alfa})}}$

ležet v ${displaystyle {mathfrak {h}}}$. Jednoduché kořeny α₁, ...., α_n jsou nerozložitelné pozitivní kořeny. Mohou být očíslovány tak, aby α_i zmizí ve středu ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ pro i, zatímco α₁ ne. Tedy α₁ je jedinečný nekompaktní jednoduchý kořen a ostatní jednoduché kořeny jsou kompaktní. Jakýkoli pozitivní nekompaktní kořen má potom tvar β = α₁ + C₂ α₂ + ⋅⋅⋅ + C_n α_n s nezápornými koeficienty C_i. Tyto koeficienty vedou k a lexikografický řád na pozitivních kořenech. Koeficient α₁ je vždy jedno, protože ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {-}}$ je ireducibilní pro K. tak je překlenuto vektory získanými postupným používáním spouštěcích operátorů E_–Α pro jednoduché kompaktní kořeny α.

Říká se, že jsou dva kořeny α a β silně ortogonální pokud ± α ± β nejsou kořeny nebo nula, zapíše se α ≐ β. Nejvyšší kladný kořen ψ₁ je nekompaktní. Vezměte ψ₂ být nejvyšší nekompaktní pozitivní kořen silně kolmý na ψ₁ (pro lexikografický řád). Pak pokračujte tímto způsobem s ψ_{i + 1} být nejvyšší nekompaktní pozitivní kořen silně kolmý na ψ₁, ..., ψ_i dokud proces neskončí. Odpovídající vektory

${displaystyle displaystyle {X_ {i} = E_ {psi _ {i}} + E _ {- psi _ {i}}}}$

ležet v ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ a dojíždět silnou ortogonálností. Jejich rozpětí ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ je kanonická maximální abelianská subalgebra Harish-Chandry.^[15] (Jak později ukázal Sugiura, když to napravil T, sada silně ortogonálních kořenů je jednoznačně určena až po aplikaci prvku ve Weylově skupině K..^[16])

Maximalitu lze zkontrolovat ukázáním, že pokud

${displaystyle displaystyle {[sum c_ {alpha} E_ {alpha} + {overline {c_ {alpha}}} E _ {- alpha}, E_ {psi _ {i}} + E _ {- psi _ {i}}] = 0}}$

pro všechny i, pak C_α = 0 pro všechny pozitivní nekompaktní kořeny α odlišné od ψ_jje Z toho vyplývá, že indukčně ukazuje, že pokud C_α ≠ 0, pak α je silně kolmé na to₁, ψ₂, ... rozpor. Výše uvedený vztah skutečně ukazuje ψ_i + α nemůže být kořen; a to pokud ψ_i - α je kořen, pak by nutně měl formu β - ψ_i. Pokud ψ_i - α byly záporné, pak α by byl vyšší kladný kořen než ψ_i, silně kolmé na ψ_j s j < i, což není možné; podobně pokud β - ψ_i byli pozitivní.

Polysférická a polydisková věta

Kanonická volba Harish-Chandry ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ vede k polydiskové a polysférické větě H*/K. a H/K.. Tento výsledek redukuje geometrii na produkty prototypového příkladu zahrnujícího SL (2,C), SU (1,1) a SU (2), a to jednotkový disk uvnitř Riemannovy koule.

V případě H = SU (2) symetrie σ je dána konjugací diagonální matice se vstupy ±i aby

${displaystyle displaystyle {sigma {egin {pmatrix} alpha & eta - {overline {eta}} & {overline {alpha}} end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} alpha & - eta {overline {eta}} & {overline {alpha}} end {pmatrix}}}}$

Podskupina s pevným bodem je maximální torus T, diagonální matice s položkami E ^±to. SU (2) působí na Riemannovu sféru ${displaystyle mathbf {CP} ^ {1}}$ tranzitivně Möbiovy transformacemi a T je stabilizátor 0. SL (2,C), komplexizace SU (2), působí také Möbiovy transformace a stabilizátor 0 je podskupina B spodních trojúhelníkových matic. Nekompaktní podskupina SU (1,1) pracuje s přesně třemi oběžnými drahami: disk otevřené jednotky |z| <1; kruh jednotky z = 1; a jeho exteriérz| > 1. Tedy

${displaystyle displaystyle {mathrm {SU} (1,1) / mathbf {T} = {z: | z | <1} ,,, podmnožina ,,, B _ {+} / mathbf {T} _ {mathbb {C} } = mathbb {C} ,,, podmnožina ,,, mathrm {SL} (2, mathbb {C}) / B = mathbb {C} pohár {infty},}}$

kde B₊ a T_C označíme podskupiny horních trojúhelníkových a diagonálních matic v SL (2,C). Střední člen je oběžná dráha 0 pod horní jednotkou trojúhelníkových matic

${displaystyle displaystyle {{egin {pmatrix} 1 & z 0 & 1end {pmatrix}} = exp {egin {pmatrix} 0 & z 0 & 0end {pmatrix}}.}}$

Nyní pro každý kořen ψ_i existuje homomorfismus π_i SU (2) do H který je kompatibilní se symetrií. Jedinečně se rozšiřuje na homomorfismus SL (2,C) do G. Obrazy Lieových algeber pro různé ψ_iDojíždějí, protože jsou silně kolmé. Existuje tedy homomorfismus π přímého součinu SU (2)^r do H kompatibilní se symetrií. Rozšiřuje se na homomorfismus SL (2,C)^r do G. Jádro π je obsaženo ve středu (± 1)^r SU (2)^r který je bodově fixován symetrií. Obraz středu pod π tedy leží v K.. Existuje tedy vložení polysféry (SU (2) / T)^r do H / K. = G / P a polysféra obsahuje polydisk (SU (1,1) / T)^r. Polysféra a polydisk jsou přímým produktem r kopie Riemannovy koule a disku jednotky. Podle Cartanových rozkladů v SU (2) a SU (1,1) je polysféra oběžnou dráhou T_rA v H / K. a polydisk je oběžná dráha T_rA*, kde T_r = π (T^r) ⊆ K.. Na druhou stranu, H = KAK a H* = K. A* K..

Proto každý prvek v kompaktním hermitovském symetrickém prostoru H / K. je v K.-orbit bodu v polysféře; a každý prvek na obrázku pod Borelem zapuštěný do nekompaktního hermitovského symetrického prostoru H* / K. je v K.-orbit bodu na polydisku.^[17]

Vkládání Harish-Chandra

H* / K., hermitovský symetrický prostor nekompaktního typu, leží na obrázku ${displaystyle exp {mathfrak {m}} _ {+}}$, hustá otevřená podmnožina H / K. biholomorfní až ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$. Odpovídající doména v ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$ je omezený. To je Vkládání Harish-Chandra pojmenoval podle Harish-Chandra.

Harish-Chandra ve skutečnosti ukázala následující vlastnosti prostoru ${displaystyle mathbf {X} = exp ({mathfrak {m}} _ {+}) cdot K_ {mathbb {C}} cdot exp ({mathfrak {m}} _ {-}) = exp ({mathfrak {m} } _ {+}) cdot P}$:

1. Jako prostor, X je přímým produktem tří faktorů.
2. X je otevřen v G.
3. X je hustá v G.
4. X obsahuje H*.
5. Uzavření H* / K. v X / P = ${displaystyle exp {mathfrak {m}} _ {+}}$ je kompaktní.

Ve skutečnosti ${displaystyle M_ {pm} = exp {mathfrak {m}} _ {pm}}$ jsou komplexní abelianské skupiny normalizované K._C. Navíc, ${displaystyle [{mathfrak {m}} _ {+}, {mathfrak {m}} _ {-}] podmnožina {mathfrak {k}} _ {mathfrak {C}}}$ od té doby ${displaystyle [{mathfrak {m}}, {mathfrak {m}}] podmnožina {mathfrak {k}}}$.

Z toho vyplývá P ∩ M₊ = {1}. Pro kdyby X = E^X s X v ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$ leží v P, musí se normalizovat M₋ a tudíž ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {-}}$. Ale pokud Y leží v ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {-}}$, pak

${displaystyle displaystyle {Y = mathrm {Ad} (X) cdot Y = Y + [X, Y] + {1 přes 2} [X, [X, Y]] v {mathfrak {m}} _ {+} oplus { mathfrak {k}} _ {mathbb {C}} oplus {mathfrak {m}} _ {-},}}$

aby X dojíždí s ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {-}}$. Ale pokud X dojíždí s každým nekompaktní kořenovým prostorem, musí to být 0, takže X = 1. Z toho vyplývá, že multiplikační mapa μ on M₊ × P je injekční, takže (1) následuje. Podobně derivace μ at (X,p) je

${displaystyle displaystyle {mu ^ {prime} (X, Y) = mathrm {Ad} (p ^ {- 1}) X + Y = mathrm {Ad} (p ^ {- 1}) (Xoplus mathrm {Ad} ( p) Y),}}$

který je injektivní, takže následuje (2). Pro zvláštní případ H = SU (2), H* = SU (1,1) a G = SL (2,C) zbývající tvrzení jsou důsledky identifikace s Riemannovou sférou, C a jednotkový disk. Mohou být použity pro skupiny definované pro každý kořen ψ_i. Podle polysféry a polydiskové věty H*/K., X/P a H/K. jsou svazkem K.-překlady polydisku, C^r a polysféra. Tak H* leží v Xuzavření H*/K. je kompaktní X/P, který je zase hustý v H/K..

Všimněte si, že (2) a (3) jsou také důsledky skutečnosti, že obraz X v G/P je to velká buňka B₊B v Gaussův rozklad z G.^[18]

Použití výsledků na omezený kořenový systém symetrických prostorů H/K. a H*/K., Hermann ukázal, že obraz H*/K. v ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$ je zobecněný disk jednotky. Ve skutečnosti to je konvexní sada z X pro které norma operátora reklamy Im X je menší než jedna.^[19]

Ohraničené symetrické domény

Ohraničená doména Ω ve složitém vektorovém prostoru se říká, že a ohraničená symetrická doména pokud pro každého X v Ω, existuje involutivní biholomorfismus σ_X z Ω pro který X je izolovaný pevný bod. Vložení Harish-Chandra vykazuje každý hermitovský symetrický prostor nekompaktního typu H* / K. jako ohraničená symetrická doména. Skupina biholomorfismu z H^* / K. se rovná jeho izometrické skupině H^*.

Naopak každá ohraničená symetrická doména vzniká tímto způsobem. Ve skutečnosti, vzhledem k ohraničené symetrické doméně Ω, Bergmanovo jádro definuje a metrický na Ω, Bergmanova metrika, pro které je každý biholomorfismus izometrií. Toto si uvědomuje Ω jako hermitovský symetrický prostor nekompaktního typu.^[20]

Klasifikace

Nerudovatelné ohraničené symetrické domény se nazývají Cartanové domény a jsou klasifikovány následovně.

Typ	komplexní dimenze	geometrická interpretace
Jápq	pq	Komplex p × q matice s normou operátora menší než 1
IIn (n > 4)	n(n − 1)/2	Komplexní antisymetrický n × n matice s normou operátora menší než 1
IIIn (n > 1)	n(n + 1)/2	Složité symetrické n × n matice s normou operátora menší než 1
IVn	n	Ložní koule:${displaystyle | z | ^ {2} <{1 nad 2} (1+ (zcdot z) ^ {2}) <1}$
PROTI	16	2 × 2 matice nad Cayleyova algebra s normou operátora menší než 1
VI	27	3 × 3 hermitovské matice nad Cayleyova algebra s normou operátora menší než 1

Klasické domény

V klasických případech (I – IV) lze nekompaktní skupinu realizovat pomocí blokových matic 2 × 2^[21]

${displaystyle displaystyle {g = {egin {pmatrix} A&B C & Dend {pmatrix}}}}$

jednající generalizovaným Möbiovy transformace

${displaystyle displaystyle {g (Z) = (AZ + B) (CZ + D) ^ {- 1}.}}$

Polydisková věta má v klasických případech následující konkrétní formu:^[22]

• Typ I._pq (p ≤ q): pro každého p × q matice M existují jednotné matice takové, že UMV je úhlopříčka. Ve skutečnosti to vyplývá z polární rozklad pro p × p matice.
• Typ III_n: pro každý komplex symetrický n × n matice M existuje jednotná matice U takhle UMU^t je úhlopříčka. To dokazuje klasický argument Siegel. Vzít PROTI unitární, takže PROTI*M*MV je úhlopříčka. Pak PROTI^tMV je symetrický a jeho skutečná a imaginární část dojíždí. Jelikož se jedná o skutečné symetrické matice, lze je současně diagonalizovat skutečnou ortogonální maticí Ž. Tak UMU^t je úhlopříčka, pokud U = WV^t.
• Typ II_n: pro každý složitý zkosení symetrický n × n matice M existuje jednotná matice taková UMU^t je tvořen diagonálními bloky ${displaystyle {egin {pmatrix} 0 & a -a & 0end {pmatrix}}}$ a jedna nula, pokud n je zvláštní. Stejně jako v Siegelově argumentu lze toto snížit na případ, kdy jde o skutečnou a imaginární část M dojíždět. Jakákoli skutečná symetrická matice zkosení může být redukována na danou hodnotu kanonická forma ortogonální maticí a to lze provést současně pro dojíždění matic.
• Typ IV_n: transformací v SO (n) × SO (2) libovolný vektor lze transformovat tak, že všechny kromě prvních dvou souřadnic jsou nenulové.

Hraniční komponenty

Nekompaktní skupina H* působí na komplexní hermitovský symetrický prostor H/K. = G/P jen s konečně mnoha oběžnými dráhami. Struktura oběžné dráhy je podrobně popsána v Vlk (1972). Zejména uzavření ohraničené domény H*/K. má jedinečnou uzavřenou oběžnou dráhu, kterou je Hranice Shilova domény. Oběžné dráhy jsou obecně svazky hermitovských symetrických prostorů nižší dimenze. Teorie složitých funkcí domén, zejména analogie Cauchyovy integrální vzorce, jsou popsány pro domény Cartan v Hua (1979). Uzavření ohraničené domény je Baily – Borelův zhutnění z H*/K..^[23]

Hraniční strukturu lze popsat pomocí Cayley se transformuje. Pro každou kopii SU (2) definovanou jedním z nekompaktních kořenů ψ_iexistuje Cayleyova transformace C_i který jako Möbiova transformace mapuje disk jednotky na horní polovinu roviny. Vzhledem k podmnožině Já indexů silně ortogonální rodiny ψ₁, ..., ψ_r, částečná Cayleyova transformace C_Já je definován jako produkt C_ije s i v Já v součinu skupin π_i. Nechat G(Já) být centralizátorem tohoto produktu v G a H*(Já) = H* ∩ G(Já). Protože σ odchází H*(Já) invariant, existuje odpovídající hermitovský symetrický prostor M_Já H*(Já)/H*(Já)∩K. ⊂ H*/K. = M . Hraniční komponenta pro podmnožinu Já je unie K.-přeloží C_Já M_Já. Když Já je množina všech indexů, M_Já je jediný bod a hraniční složkou je Shilova hranice. Navíc, M_Já je v závěru M_J kdyby a jen kdyby Já ⊇ J.^[24]

Geometrické vlastnosti

Každý hermitovský symetrický prostor je a Kähler potrubí. Mohou být definovány ekvivalentně jako Riemannovy symetrické prostory s paralelní komplexní strukturou, vzhledem k níž je Riemannova metrika Hermitian. Složitá struktura je automaticky zachována izometrickou skupinou H metrického, a tedy jakéhokoli hermitovského symetrického prostoru M je homogenní komplexní potrubí. Některé příklady jsou složité vektorové prostory a složité projektivní prostory, s jejich obvyklými hermitovskými metrikami a Fubini - studijní metriky a komplex jednotkové koule s vhodnými metrikami, aby se staly kompletní a Riemannovu symetrii. The kompaktní Hermitovské symetrické prostory jsou projektivní odrůdy, a připustit přísně větší Lež skupina G z biholomorfózy ve vztahu k nimž jsou homogenní: ve skutečnosti jsou generalizované rozdělovače příznaků, tj., G je polojednoduchý a stabilizátor bodu je a parabolická podskupina P z G. Mezi (složitými) zobecněnými rozdělovači příznaků G/P, jsou charakterizovány jako ty, pro které nilradikální lži algebry P je abelian. Jsou tedy obsaženy v rodině symetrických R-prostorů, které naopak obsahují hermitovské symetrické prostory a jejich skutečné formy. Nekompaktní hermitovské symetrické prostory lze realizovat jako ohraničené domény ve složitých vektorových prostorech.

Jordan algebry

Ačkoli klasické hermitovské symetrické prostory lze konstruovat metodami ad hoc, Trojité systémy Jordan, nebo ekvivalentně Jordanské páry, poskytují jednotný algebraický prostředek k popisu všech základních vlastností spojených s hermitovským symetrickým prostorem kompaktního typu a jeho nekompaktním duálním. Tato teorie je podrobně popsána v Koecher (1969) a Loos (1977) a shrnuto v Satake (1981). Vývoj je v obráceném pořadí od vývoje pomocí teorie struktury kompaktních Lieových skupin. Výchozím bodem je hermitovský symetrický prostor nekompaktního typu realizovaný jako ohraničená symetrická doména. Lze to popsat v pojmech a Jordan pár nebo poustevník Trojitý systém Jordan. Tuto strukturu Jordanovy algebry lze použít k rekonstrukci duálního hermitovského symetrického prostoru kompaktního typu, zahrnujícího zejména všechny přidružené Lieovy algebry a Lieovy skupiny.

Teorii lze nejsnadněji popsat, když je neredukovatelný kompaktní hermitovský symetrický prostor trubkového typu. V takovém případě je prostor určen jednoduchou skutečnou Lieovou algebrou ${displaystyle {mathfrak {g}}}$s negativní definitivní formou zabíjení. Musí připustit akci SU (2), která působí pouze prostřednictvím triviálního a adjunktního vyjádření, oba typy se vyskytují. Od té doby ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ je jednoduchá, tato akce je vnitřní, takže je implementována začleněním Lieovy algebry SU (2) do ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Složitost ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ rozkládá se jako přímý součet tří vlastních prostorů pro diagonální matice v SU (2). Jedná se o třístupňový komplex Lieovy algebry, přičemž involuci zajišťuje prvek Weylovy skupiny SU (2). Každý z ± 1 vlastních prostorů má strukturu unitálního komplexu Jordanovy algebry, která výslovně vzniká jako komplexizace euklidovské Jordanské algebry. Lze jej identifikovat s prostorem multiplicity adjungované reprezentace SU (2) v ${displaystyle {mathfrak {g}}}$.

Popis neredukovatelných hermitovských symetrických prostorů typu trubice vychází z jednoduché euklidovské algebry Jordan E. To připouští Jordan rámy, tj. sady ortogonálních minimálních idempotentů E₁, ..., E_m. Jakékoli dva jsou spojeny automorfismem E, takže celé číslo m je invariant nazývaný hodnost z E. Navíc pokud A je komplexizace E, má unitární strukturní skupina. Je to podskupina GL (A) zachování přírodního komplexu vnitřního produktu na A. Libovolný prvek A v A has a polar decomposition A = u ∑ α_i A_i s α_i ≥ 0. The spectral norm is defined by ||a|| = sup α_i. Přidružené bounded symmetric domain is just the open unit ball D v A. There is a biholomorphism between D and the tube domain T = E + iC kde C is the open self-dual convex cone of elements in E formuláře A = u ∑ α_i A_i s u an automorphism of E a α_i > 0. This gives two descriptions of the Hermitian symmetric space of noncompact type. There is a natural way of using mutace of the Jordan algebra A to compactify the space A. The compactification X is a complex manifold and the finite-dimensional Lie algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ of holomorphic vector fields on X can be determined explicitly. One parameter groups of biholomorphisms can be defined such that the corresponding holomorphic vector fields span ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. This includes the group of all complex Möbius transformations corresponding to matrices in SL(2,C). The subgroup SU(1,1) leaves invariant the unit ball and its closure. The subgroup SL(2,R) leaves invariant the tube domain and its closure. The usual Cayley transform and its inverse, mapping the unit disk in C to the upper half plane, establishes analogous maps between D a T. The polydisk corresponds to the real and complex Jordan subalgebras generated by a fixed Jordan frame. It admits a transitive action of SU(2)^m and this action extends to X. Skupina G generated by the one-parameter groups of biholomorphisms acts faithfully on ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. The subgroup generated by the identity component K. of the unitary structure group and the operators in SU(2)^m. It defines a compact Lie group H which acts transitively on X. Tím pádem H / K. is the corresponding Hermitian symmetric space of compact type. Skupina G lze identifikovat pomocí complexification z H. Podskupina H* leaving D invariant is a noncompact real form of G. It acts transitively on D aby H* / K. is the dual Hermitian symmetric space of noncompact type. The inclusions D ⊂ A ⊂ X reproduce the Borel and Harish-Chandra embeddings. The classification of Hermitian symmetric spaces of tube type reduces to that of simple Euclidean Jordan algebras. These were classified by Jordan, von Neumann & Wigner (1934) ve smyslu Euclidean Hurwitz algebras, a special type of složení algebra.

In general a Hermitian symmetric space gives rise to a 3-graded Lie algebra with a period 2 conjugate linear automorphism switching the parts of degree ±1 and preserving the degree 0 part. This gives rise to the structure of a Jordan pár or hermitian Jordan triple system, ke kterému Loos (1977) extended the theory of Jordan algebras. All irreducible Hermitian symmetric spaces can be constructed uniformly within this framework. Koecher (1969) constructed the irreducible Hermitian symmetric space of non-tube type from a simple Euclidean Jordan algebra together with a period 2 automorphism. The −1 eigenspace of the automorphism has the structure of a Jordan pair, which can be deduced from that of the larger Jordan algebra. In the non-tube type case corresponding to a Siegel domain of type II, there is no distinguished subgroup of real or complex Möbius transformations. For irreducible Hermitian symmetric spaces, tube type is characterized by the real dimension of the Shilov boundary S being equal to the complex dimension of D.

Viz také

• Invariant convex cone

Poznámky

Reference

• Agaoka, Yoshio; Kaneda, Eiji (2002), "Strongly orthogonal subsets in root systems", Hokkaido Math. J., 31: 107–136, doi:10.14492/hokmj/1350911773
• Arazy, Jonathan (1995), "A survey of invariant Hilbert spaces of analytic functions on bounded symmetric domains", Multivariable operator theory (Seattle, WA, 1993), Současná matematika, 185, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 7–65, doi:10.1090/conm/185/02147, ISBN  9780821802984, PAN  1332053
• Borel, Armand (1952), Les espaces hermitiens symétriques, Exposé No. 62, Séminaire Bourbaki, 2, archivovány z originál dne 04.03.2016
• Borel, Armand; Ji, Lizhen (2006), Compactifications of Symmetric and Locally Symmetric SpacesSpringer, ISBN  978-0817632472
• Bourbaki, N. (1981), Groupes et Algèbres de Lie (Chapitres 7-8), Éléments de Mathématique, Masson, ISBN  978-3540339397
• Bourbaki, N. (1982), Groupes et Algèbres de Lie (Chapitre 9), Éléments de Mathématique, Masson, ISBN  978-3540343929
• Cartan, Élie (1935), "Sur les domaines bornés homogènes de l'espace des variables complexes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 11: 116–162, doi:10.1007/bf02940719
• Dieudonné, J. (1977), Compact Lie groups and semisimple Lie groups, Chapter XXI, Treatise on analysis, 5Akademický tisk, ISBN  978-0122155055
• Duistermaat, J.J.; Kolk, A. (2000), Lež skupiny, Universitext, Springer, ISBN  978-3540152934
• Gilmore, Robert (1994), Lie groups, Lie algebras, and some of their applications, Krieger, ISBN  978-0-89464-759-8
• Helgason, Sigurdur (1978), Diferenciální geometrie, Lieovy skupiny a symetrické prostoryAkademický tisk, ISBN  978-0-8218-2848-9 The standard book on Riemannian symmetric spaces.
• Helgason, Sigurdur (1994), Geometric Analysis on Symmetric SpacesAmerická matematická společnost, ISBN  978-0-8218-1538-0
• Hua, L. K. (1979), Harmonická analýza funkcí několika komplexních proměnných v klasických doménáchPřeklady matematických monografií, 6, American Mathematical Society, Providence, ISBN  978-0-8218-1556-4
• Jordan, P .; von Neumann, J.; Wigner, E. (1934), "On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism", Ann. matematiky., 35 (1): 29–64, doi:10.2307/1968117, JSTOR  1968117
• Knapp, Anthony W. (1972), "Bounded symmetric domains and holomorphic discrete series", in Boothby, William; Weiss, Guido (eds.), Symmetric spaces (Short Courses, Washington University)Čistá a aplikovaná matematika, 8, Dekker, pp. 211–246
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of differential geometry, 2, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-15732-8
• Koecher, Max (1969), Elementární přístup k ohraničeným symetrickým doménám, Lecture notes in mathematics, Rice University
• Loos, Ottmar (1977), Ohraničené symetrické domény a Jordanské páry (PDF)„Matematické přednášky, University of California, Irvine, archivovány od originál (PDF) dne 03.03.2016, vyvoláno 2013-03-18
• Mok, Ngaiming (1989), Metric Rigidity Theorems on Hermitian Locally Symmetric Manifolds, Světově vědecký, ISBN  978-9971-5-0802-9
• Satake, Ichiro (1981), Algebraic Structures of Symmetric Domains, Princeton University Press, ISBN  9780691082714
• Siegel, Carl Ludwig (1943), "Symplectic Geometry", American Journal of Mathematics, 65 (1): 1–86, doi:10.2307/2371774, JSTOR  2371774
• Wolf, Joseph A. (1964), "On the Classification of Hermitian Symmetric Spaces", Indiana Univ. Matematika. J., 13 (3): 489–495, doi:10.1512/iumj.1964.13.13028
• Wolf, Joseph A. (2010), Spaces of constant curvature, AMS Chelsea Publishing (6th ed.), American Mathematical Society, ISBN  978-0821852828. Chapter 8 contains a self-contained account of Hermitian symmetric spaces of compact type.
• Wolf, Joseph A. (1972), "Fine structure of Hermitian symmetric spaces", in Boothby, William; Weiss, Guido (eds.), Symmetric spaces (Short Courses, Washington University)Čistá a aplikovaná matematika, 8, Dekker, pp. 271–357. This contains a detailed account of Hermitian symmetric spaces of noncompact type.