Bottova věta o periodicitě - Bott periodicity theorem

v matematika, Bottova věta o periodicitě popisuje periodicitu v homotopické skupiny z klasické skupiny, objeveno uživatelem Raoul Bott (1957, 1959 ), který se ukázal být základním významem pro mnohem další výzkum, zejména v K-teorie stabilního komplexu vektorové svazky, stejně jako stabilní homotopické skupiny koulí. Bottovu periodicitu lze formulovat mnoha způsoby, přičemž se příslušná periodicita pro teorii spojenou s dimenzí vždy jeví jako fenomén období 2, s ohledem na dimenzi. jednotná skupina. Viz například topologická K-teorie.

Pro odpovídající teorie existuje odpovídající fenomén období 8, (nemovitý ) Teorie KO a (kvartérní ) Teorie KSp, spojené se skutečným ortogonální skupina a kvartérní symplektická skupina, resp. The J-homomorfismus je homomorfismus z homotopy skupin ortogonálních skupin do stabilní homotopické skupiny koulí, což způsobí, že periodicita 8 Bottova období bude viditelná ve stabilních homotopických skupinách koulí.

Prohlášení o výsledku

Bott ukázal, že pokud ${ displaystyle O ( infty)}$ je definován jako indukční limit z ortogonální skupiny, pak jeho homotopické skupiny jsou periodické:^[1]

{ displaystyle pi _ {n} (O ( infty)) simeq pi _ {n + 8} (O ( infty))}

a prvních 8 homotopy skupin jsou následující:

{ displaystyle { begin {aligned} pi _ {0} (O ( infty)) & simeq mathbb {Z} _ {2} pi _ {1} (O ( infty)) & simeq mathbb {Z} _ {2} pi _ {2} (O ( infty)) & simeq 0 pi _ {3} (O ( infty)) & simeq mathbb {Z} pi _ {4} (O ( infty)) & simeq 0 pi _ {5} (O ( infty)) & simeq 0 pi _ {6} ( O ( infty)) & simeq 0 pi _ {7} (O ( infty)) & simeq mathbb {Z} end {zarovnáno}}}

Kontext a význam

Kontext Bottovy periodicity je ten, že homotopické skupiny z koule, u kterého se očekává základní role v algebraická topologie analogicky s teorie homologie, se ukázaly jako nepolapitelné (a teorie je komplikovaná). Předmět stabilní homotopická teorie byl koncipován jako zjednodušení zavedením suspenze (rozbít produkt s kruh ) operace a vidět, co (zhruba řečeno) zbylo z teorie homotopy, jakmile bylo jednomu dovoleno pozastavit obě strany rovnice, kolikrát si to přál. Stabilní teorie byla v praxi stále obtížně vypočítatelná.

Bottova periodicita nabídla nahlédnutí do některých vysoce netriviálních prostorů s centrálním statusem v topologii kvůli propojení jejich kohomologie s charakteristické třídy, pro které všechny (nestabilní) lze vypočítat homotopické skupiny. Tyto prostory jsou (nekonečné nebo stabilní) unitární, ortogonální a symplektické skupiny U, Ó a Sp. V tomto kontextu, stabilní odkazuje na převzetí unie U (také známý jako přímý limit ) posloupnosti inkluzí

{ Displaystyle U (1) podmnožina U (2) podmnožina cdots podmnožina U = bigcup _ {k = 1} ^ { infty} U (k)}

a podobně pro Ó a Sp. Všimněte si, že Bottovo použití slova stabilní v názvu své seminární práce odkazuje na tyto stáje klasické skupiny a ne stabilní homotopie skupiny.

Důležité spojení Bottovy periodicity s stabilní homotopické skupiny koulí ${ displaystyle pi _ {n} ^ {S}}$ přichází prostřednictvím tzv. stabilní J-homomorfismus z (nestabilních) homotopických skupin (stabilních) klasických skupin do těchto stabilních homotopických skupin ${ displaystyle pi _ {n} ^ {S}}$ . Původně popsal George W. Whitehead, to se stalo předmětem slavného Adamsova domněnka (1963), který nakonec vyřešil kladně Daniel Quillen (1971).

Bottovy původní výsledky lze stručně shrnout do:

Důsledek: (Nestabilní) homotopické skupiny (nekonečného) klasické skupiny jsou periodické:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} pi _ {k} (U) & = pi _ {k + 2} (U) pi _ {k} (O) & = pi _ {k + 4} ( operatorname {Sp}) pi _ {k} ( operatorname {Sp}) & = pi _ {k + 4} (O) && k = 0,1, ldots end {zarovnáno} }}

Poznámka: Druhý a třetí z těchto izomorfismů se prolínají, aby poskytly 8násobné výsledky periodicity:

{ displaystyle { begin {seřazeno} pi _ {k} (O) & = pi _ {k + 8} (O) pi _ {k} ( operatorname {Sp}) & = pi _ {k + 8} ( operatorname {Sp}), && k = 0,1, ldots end {zarovnáno}}}

Smyčkové prostory a klasifikační prostory

Pro teorii spojenou s nekonečnem jednotná skupina, U, prostor BU je třídicí prostor pro stabilní komplex vektorové svazky (A Grassmannian v nekonečných rozměrech). Jedna formulace Bottovy periodicity popisuje prostor dvojí smyčky, Ω²BU z BU. Zde je Ω prostor smyčky funktor, pravý adjoint na suspenze a vlevo adjoint do třídicí prostor konstrukce. Bottova periodicita uvádí, že tento prostor s dvojitou smyčkou je v podstatě BU znovu; přesněji,

{ displaystyle Omega ^ {2} BU simeq mathbb {Z} krát BU}

je v podstatě (tj. ekvivalent homotopy to) spojení spočetného počtu kopií BU. Ekvivalentní formulace je

{ displaystyle Omega ^ {2} U simeq U.}

Kterýkoli z nich má bezprostřední účinek ukázat, proč (složité) topologické K.-teorie je 2-násobná periodická teorie.

V odpovídající teorii pro nekonečno ortogonální skupina, Ó, prostor BO je třídicí prostor pro stabilní reálné vektorové svazky. V tomto případě Bottova periodicita uvádí, že pro 8násobný prostor smyčky

{ displaystyle Omega ^ {8} BO simeq mathbb {Z} krát BO;}

nebo ekvivalentně

{ displaystyle Omega ^ {8} O simeq O,}

což má za následek, že KO-theory je 8krát periodická teorie. Také pro nekonečné symplektická skupina, Sp, prostor BSp je třídicí prostor pro stabilní kvartérní vektorové svazky a Bottova periodicita to uvádí

{ displaystyle Omega ^ {8} operatorname {BSp} simeq mathbb {Z} times operatorname {BSp};}

nebo ekvivalentně

{ displaystyle Omega ^ {8} operatorname {Sp} simeq operatorname {Sp}.}

Tedy obě topologické skutečné K.-teorie (také známá jako KO-theory) a topologické kvartérní K.-teorie (také známá jako KSp-theory) jsou 8násobné periodické teorie.

Geometrický model smyčkových prostorů

Jedna elegantní formulace Bottovy periodicity využívá pozorování, že mezi klasickými skupinami existují přirozená vložení (jako uzavřené podskupiny). Mezery smyčky v Bottově periodicitě jsou poté homotopy ekvivalentní s symetrické prostory po sobě jdoucích kvocientů s dalšími diskrétními faktory Z.

Přes komplexní čísla:

{ displaystyle U krát U podmnožina U podmnožina U krát U.}

Přes reálná čísla a čtveřice:

{ displaystyle O times O podmnožina O podmnožina U podmnožina operatorname {Sp} podmnožina operatorname {Sp} krát operatorname {Sp} podmnožina operatorname {Sp} podmnožina U podmnožina O podmnožina O krát O.}

Tyto sekvence odpovídají sekvencím v Cliffordské algebry - viz klasifikace Cliffordových algeber; přes komplexní čísla:

{ displaystyle mathbb {C} oplus mathbb {C} podmnožina mathbb {C} podmnožina mathbb {C} oplus mathbb {C}.}

Přes reálná čísla a čtveřice:

{ displaystyle mathbb {R} oplus mathbb {R} podmnožina mathbb {R} podmnožina mathbb {C} podmnožina mathbb {H} podmnožina mathbb {H} oplus mathbb {H} subset mathbb {H} subset mathbb {C} subset mathbb {R} subset mathbb {R} oplus mathbb {R},}

kde algebry dělení označují „matice nad touto algebrou“.

Jelikož jsou 2-periodické / 8-periodické, mohou být uspořádány do kruhu, kde se jim říká Bottovy hodiny periodicity a Cliffordské algebrické hodiny.

Výsledky Bottovy periodicity se pak zpřesňují na posloupnost homotopické ekvivalence:

Pro složité K.-teorie:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} Omega U & simeq mathbb {Z} krát BU = mathbb {Z} krát U / (U krát U) Omega (Z krát BU) & simeq U = (U krát U) / U end {zarovnáno}}}

Skutečné a kvartérní KO- a teorie KSp:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} Omega ( mathbb {Z} krát BO) & simeq O = (O krát O) / O & Omega ( mathbb {Z} krát operatorname {BSp}) & simeq operatorname {Sp} = ( operatorname {Sp} times operatorname {Sp}) / operatorname {Sp} Omega O & simeq O / U & Omega operatorname {Sp} & simeq operatorname {Sp} / U Omega (O / U) & simeq U / operatorname {Sp} & Omega ( operatorname {Sp} / U) & simeq U / O Omega (U / operatorname {Sp}) & simeq mathbb {Z} times operatorname {BSp} = mathbb {Z} times operatorname {Sp} / ( operatorname {Sp} times operatorname {Sp}) & Omega (U / O) & simeq mathbb {Z} krát BO = mathbb {Z} krát O / (O krát O) konec {zarovnáno}}}

Výsledné prostory jsou homotopy ekvivalentní klasické redukci symetrické prostory, a jsou po sobě jdoucími kvocienty podmínek Bottových hodin periodicity. Tyto ekvivalence okamžitě poskytnou Bottovy věty o periodicitě.

Specifické prostory jsou,^{[poznámka 1]} (pro skupiny, hlavní homogenní prostor je také uveden):

Loop prostor	Kvocient	Cartanův štítek	Popis
${ displaystyle Omega ^ {0}}$	${ displaystyle mathbb {Z} krát O / (O krát O)}$	BDI	Nemovitý Grassmannian
${ displaystyle Omega ^ {1}}$	${ displaystyle O = (O krát O) / O}$		Ortogonální skupina (nemovitý Stiefel potrubí )
${ displaystyle Omega ^ {2}}$	${ displaystyle O / U}$	DIII	prostor složitých struktur kompatibilních s danou ortogonální strukturou
${ displaystyle Omega ^ {3}}$	${ displaystyle U / mathrm {Sp}}$	AII	prostor kvaternionových struktur kompatibilních s danou složitou strukturou
${ displaystyle Omega ^ {4}}$	${ displaystyle mathbb {Z} times mathrm {Sp} / ( mathrm {Sp} times mathrm {Sp})}$	CII	Kvartérní Grassmannian
${ displaystyle Omega ^ {5}}$	${ displaystyle mathrm {Sp} = ( mathrm {Sp} times mathrm {Sp}) / mathrm {Sp}}$		Symplektická skupina (kvartérní Stiefel potrubí )
${ displaystyle Omega ^ {6}}$	${ displaystyle mathrm {Sp} / U}$	CI	komplex Lagrangian Grassmannian
${ displaystyle Omega ^ {7}}$	${ displaystyle U / O}$	AI	Lagrangian Grassmannian

Důkazy

Bottův původní důkaz (Bott 1959 ) použitý Morseova teorie, který Bott (1956) dříve používal ke studiu homologie Lieových skupin. Bylo poskytnuto mnoho různých důkazů.

Poznámky

^ Interpretace a označení jsou mírně nesprávné a odkazuje na neredukovatelné symetrické prostory, zatímco ty jsou obecnější redukční mezery. Například, SU/ Sp je neredukovatelný U/ Sp je redukční. Jak tyto ukazují, rozdíl lze interpretovat jako to, zda jeden zahrnuje orientace.

Reference

^ http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node1.html

Bott, Raoul (1956), „Aplikace Morseovy teorie na topologii Lieových skupin“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 84: 251–281, doi:10,24033 / bsmf.1472, ISSN 0037-9484, PAN 0087035
Bott, Raoul (1957), „Stabilní homotopie klasických skupin“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 43 (10): 933–5, doi:10.1073 / pnas.43.10.933, JSTOR 89403, PAN 0102802, PMC 528555, PMID 16590113
Bott, Raoul (1959), „Stabilní homotopie klasických skupin“, Annals of Mathematics, Druhá série, 70 (2): 313–337, doi:10.2307/1970106, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970106, PAN 0110104, PMC 528555
Bott, R. (1970), "Věta o periodicitě pro klasické skupiny a některé její aplikace", Pokroky v matematice, 4 (3): 353–411, doi:10.1016/0001-8708(70)90030-7. Vysvětlující popis věty a matematiky, která ji obklopuje.
Giffen, C.H. (1996), "Bottova periodicita a konstrukce Q", v Banaszaku, Grzegorz; Gajda, Wojciech; Krasoń, Piotr (eds.), Algebraická K-teorie, Současná matematika, 199, American Mathematical Society, str. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4, PAN 1409620
Milnor, J. (1969). Morseova teorie. Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9.
Baez, John (21. června 1997). „Týden 105“. Nálezy z tohoto týdne v matematické fyzice.

[2] Interpretace a označení jsou mírně nesprávné a odkazuje na neredukovatelné symetrické prostory, zatímco ty jsou obecnější redukční mezery. Například, SU/ Sp je neredukovatelný U/ Sp je redukční. Jak tyto ukazují, rozdíl lze interpretovat jako to, zda jeden zahrnuje orientace.

[1] ttp://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node1.html

[1]

[poznámka 1]