Quaternion-Kählerův symetrický prostor - Quaternion-Kähler symmetric space

v diferenciální geometrie, a quaternion-Kählerův symetrický prostor nebo Vlčí prostor je kvaternion-Kähler potrubí který jako Riemannovo potrubí je a Riemannovský symetrický prostor. Libovolný symetrický prostor quaternion-Kähler s pozitivním Ricciho zakřivením je kompaktní a jednoduše připojeno, a je Riemannovým produktem kvaternion-Kählerových symetrických prostorů spojených s kompaktem jednoduché Lieovy skupiny.

Pro jakoukoli kompaktní jednoduchou Lieovu skupinu Gexistuje jedinečný G/H získáno jako podíl z G podskupinou

${displaystyle H = Kcdot mathrm {Sp} (1).,}$

Zde je Sp (1) kompaktní forma trojice SL (2) spojená s nejvyšším kořenem G, a K. své centralizátor v G. Ty jsou klasifikovány následovně.

G	H	kvaternionová dimenze	geometrická interpretace
${displaystyle mathrm {SU} (p + 2),}$	${displaystyle mathrm {S} (mathrm {U} (p) imes mathrm {U} (2))}$	str	Grassmannian komplexu 2-dimenzionální podprostory ${displaystyle mathbb {C} ^ {p + 2}}$
${displaystyle mathrm {SO} (p + 4),}$	${displaystyle mathrm {SO} (p) cdot mathrm {SO} (4)}$	str	Grassmannian orientovaného reálného 4-dimenzionální podprostory ${displaystyle mathbb {R} ^ {p + 4}}$
${displaystyle mathrm {Sp} (p + 1),}$	${displaystyle mathrm {Sp} (p) cdot mathrm {Sp} (1)}$	str	Grassmannian kvartérní 1-dimenzionální podprostory ${displaystyle mathbb {H} ^ {p + 1}}$
${displaystyle E_ {6},}$	${displaystyle mathrm {SU} (6) cdot mathrm {SU} (2)}$	10	Prostor symetrických podprostorů ${displaystyle (mathbb {C} další mathbb {O}) P ^ {2}}$ izometrický k ${displaystyle (mathbb {C} další mathbb {H}) P ^ {2}}$
${displaystyle E_ {7},}$	${displaystyle mathrm {Spin} (12) cdot mathrm {Sp} (1)}$	16	Rosenfeldova projektivní rovina ${displaystyle (mathbb {H} další mathbb {O}) P ^ {2}}$ přes ${displaystyle mathbb {H} často mathbb {O}}$
${displaystyle E_ {8},}$	${displaystyle E_ {7} cdot mathrm {Sp} (1)}$	28	Prostor symetrických podprostorů ${displaystyle (mathbb {O} další mathbb {O}) P ^ {2}}$ izomorfní s ${displaystyle (mathbb {H} další mathbb {O}) P ^ {2}}$
${displaystyle F_ {4},}$	${displaystyle mathrm {Sp} (3) cdot mathrm {Sp} (1)}$	7	Prostor symetrických podprostorů ${displaystyle mathbb {OP} ^ {2}}$ které jsou izomorfní ${displaystyle mathbb {HP} ^ {2}}$
${displaystyle G_ {2},}$	${displaystyle mathrm {SO} (4),}$	2	Prostor subalgeber mozku octonion algebra ${displaystyle mathbb {O}}$ které jsou izomorfní s čtveřice algebra ${displaystyle mathbb {H}}$

The twistorové prostory kvaternion-Kählerových symetrických prostorů jsou homogenní holomorfní kontaktní potrubí, klasifikovaný Boothbym: jsou to adjungované odrůdy komplexu napůl jednoduché Lie skupiny.

Tyto prostory lze získat pomocí a projektivizace minimálně nilpotentní oběžná dráha příslušné složité Lieovy skupiny. Holomorfní kontaktní struktura je patrná, protože nilpotentní oběžné dráhy polojednodušých Lieových skupin jsou vybaveny Kirillov-Kostant holomorfní symplektická forma. Tento argument také vysvětluje, jak lze přiřadit jedinečný vlčí prostor ke každé z jednoduchých komplexních Lieových skupin.

Viz také

• Kvartérní reprezentace diskrétních řad

Reference

• Besse, Arthur L. (2008), Rozdělovače Einstein, Classics in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-74120-6, PAN  2371700. Dotisk vydání z roku 1987.
• Salamon, Simon (1982), "kvartérní Kählerova potrubí", Inventiones Mathematicae, 67 (1): 143–171, doi:10.1007 / BF01393378, PAN  0664330.