Gelfandův pár - Gelfand pair

v matematika, a Gelfandův pár je pár (G, K) skládající se z a skupina G a a podskupina K. (nazývá se Eulerova podskupina z G), který splňuje určitou vlastnost na omezená reprezentace. Teorie Gelfandových párů úzce souvisí s tématem sférické funkce v klasické teorii speciální funkce a k teorii Riemannovy symetrické prostory v diferenciální geometrie. Obecně řečeno, teorie existuje k abstrahování od těchto teorií jejich obsahu, pokud jde o harmonická analýza a teorie reprezentace.

Když G je konečná skupina nejjednodušší definice je, zhruba řečeno, že (K, K)-dvojnásobek kosety v G dojíždět. Přesněji řečeno Hecke algebra, algebra funkcí na G které jsou neměnné při překladu na obou stranách K., by měl být komutativní pro konvoluce na G.

Obecně platí, že definice Gelfandova páru je zhruba stejná jako omezení H ze všech neredukovatelné zastoupení z G obsahuje triviální zastoupení z H s multiplicitou ne větší než 1. V každém případě je třeba určit třídu uvažovaných reprezentací a význam obsahuje.

Definice

V každé oblasti se třída reprezentací a definice omezení pro reprezentace mírně liší. Zde jsou uvedeny explicitní definice v několika takových případech.

Konečný skupinový případ

Když G je konečná skupina následující jsou ekvivalentní

• (G, K) je pár Gelfandů.
• Algebra z (K, K)-double invariantní funkce na G s násobením definovaným konvolucí je komutativní.
• Pro jakoukoli neredukovatelnou reprezentaci π z G, prostor π^K. z K.-neměnný vektory v π je ne-více než 1-rozměrný.
• Pro jakoukoli neredukovatelnou reprezentaci π z G, rozměr Hom_K.(π, C) je menší nebo rovno 1, kde C označuje triviální zastoupení.
• The permutační reprezentace z G na kosety z K. je bez multiplicity, to znamená, že se rozkládá na a přímý součet výrazných absolutně neredukovatelné zastoupení v charakteristický nula.
• The centralizační algebra (Schurova algebra ) permutačního vyjádření je komutativní.
• (G/N, K./N) je Gelfandův pár, kde N je normální podskupina z G obsaženo v K..

Kompaktní skupinový kufřík

Když G je kompaktní topologická skupina následující jsou ekvivalentní:

• (G, K) je pár Gelfandů.
• Algebra z (K, K)-dvojitý invariant kompaktně podporováno kontinuální opatření na G s násobením definovaným konvolucí je komutativní.
• Pro všechny kontinuální, lokálně konvexní, neredukovatelné zastoupení π z G, prostor π^K. z K.-neměnný vektory v π je ne-více než 1-rozměrný.
• Pro jakoukoli souvislou, lokálně konvexní, neredukovatelnou reprezentaci π z G rozměr Hom_K.(π,C) je menší nebo roven 1.
• Zastoupení L²(G / K) z G je multiplicita zdarma, tj. je to přímý součet zřetelných unitární neredukovatelné reprezentace.

Lež skupina s kompaktní podskupinou

Když G je Lež skupina a K. je kompaktní podskupina, následující jsou ekvivalentní:

• (G, K) je pár Gelfandů.
• Algebra z (K, K)-dvojitý invariant kompaktně podporováno kontinuální opatření na G s násobením definovaným konvolucí je komutativní.
• Algebra D (G / K)^K. z K.-invariantní diferenciální operátory na G / K. je komutativní.
• Pro všechny kontinuální, lokálně konvexní, neredukovatelné zastoupení π z G, prostor π^K. z K.-neměnný vektory v π je ne-více než 1-rozměrný.
• Pro jakoukoli souvislou, lokálně konvexní, neredukovatelnou reprezentaci π z G rozměr Hom_K.(π, C) je menší nebo roven 1.
• Zastoupení L²(G / K) z G je multiplicita zdarma, tj. je a přímý integrál výrazných unitární neredukovatelné reprezentace.

Klasifikaci takových párů Gelfand viz.^[1]

Klasické příklady takových párů Gelfand jsou (G, K), kde G je reduktivní Lieova skupina a K. je maximální kompaktní podskupina.

Lokálně kompaktní topologická skupina s kompaktní podskupinou

Když G je místně kompaktní topologická skupina a K. je kompaktní podskupina, následující jsou ekvivalentní:

• (G, K) je pár Gelfandů.
• Algebra z (K, K)-dvojitý invariant kompaktně podporováno kontinuální opatření na G s násobením definovaným konvolucí je komutativní.
• Pro všechny kontinuální lokálně konvexní neredukovatelné zastoupení π z G, prostor π^K. z K.-neměnný vektory v π je ne-více než 1-rozměrný.
• Pro jakoukoli souvislou, lokálně konvexní, neredukovatelnou reprezentaci π z G, rozměr Hom_K.(π, C) je menší nebo roven 1.
• Zastoupení L²(G / K) z G je multiplicita zdarma, tj. je a přímý integrál výrazných unitární neredukovatelné reprezentace.

V tomto nastavení G má Iwasawa -Monod rozklad, jmenovitě G = K P pro některé přístupný podskupina P z G.^[2] Toto je abstraktní analog Iwasawa rozklad z napůl jednoduché Lie skupiny.

Lež skupina s uzavřenou podskupinou

Když G je Lež skupina a K. je uzavřená podskupina, dvojice (G, K) se nazývá generalizovaný Gelfandův pár, je-li jakýkoli neredukovatelný jednotkové zastoupení π z G na Hilbertův prostor rozměr Hom_K.(π, C) je menší nebo rovno 1, kde π^∞ označuje subreprezentaci hladké vektory.

Reduktivní skupina přes místní pole s uzavřenou podskupinou

Když G je reduktivní skupina přes místní pole a K. je uzavřená podskupina, v literatuře se objevují tři (možná neekvivalentní) představy o Gelfandově dvojici. Budeme jim říkat GP1, GP2 a GP3.

GP1) Za jakékoli neredukovatelné přípustné zastoupení π z G rozměr Hom_K.(π, C) je menší nebo roven 1.

GP2) Za jakékoli neredukovatelné přípustné zastoupení π z G my máme ${ displaystyle dim mathrm {Hom} _ {K} ( pi, mathbf {C}) cdot dim mathrm {Hom} _ {K} ({ tilde { pi}}, mathbf { C}) leq 1}$, kde ${ displaystyle { tilde { pi}}}$ označuje hladký dvojí.

GP3) Pro všechny neredukovatelné jednotkové zastoupení π z G na Hilbertův prostor rozměr Hom_K.(π, C) je menší nebo roven 1.

Tady, přípustné zastoupení je obvyklá představa přípustné zastoupení když je místní pole neanarchické. Když je místní pole archimedean, přípustné zastoupení místo toho znamená hladký Fréchet zastoupení mírného růstu takový, že odpovídající modul Harish-Chandra je přípustný.

Pokud je místní pole archimedean, pak GP3 je stejný jako zobecněná vlastnost Gelfand definovaná v předchozím případě.

Je zřejmé, že GP1 ⇒ GP2 ⇒ GP3.

Silné páry Gelfandů

Pár (G, K) se nazývá a silný pár Gelfandů pokud pár (G × K., ΔK.) je Gelfandův pár, kde ΔK. ≤ G × K. je úhlopříčná podskupina: {(k, k) v G × K. : k v K.}. Někdy se tato vlastnost nazývá také multiplicita jedna vlastnost.

V každém z výše uvedených případů lze přizpůsobit silným párům Gelfandů. Například pojďme G být konečnou skupinou. Pak jsou ekvivalentní následující.

• (G, K) je silná dvojice Gelfandů.
• Algebra funkcí zapnuta G neměnný s ohledem na konjugaci pomocí K. (s násobením definovaným konvolucí) je komutativní.
• Pro všechny neredukovatelné zastoupení π z G a τ z K., prostor Hom_K.(τ,π) je ne-více než 1-rozměrný.
• Pro jakoukoli neredukovatelnou reprezentaci π z G a τ z K., prostor Hom_K.(π,τ) je ne-více než 1-rozměrný.

Kritéria pro majetek Gelfand

Lokálně kompaktní topologická skupina s kompaktní podskupinou

V tomto případě existuje klasické kritérium kvůli Gelfand pro pár (G, K) být Gelfand: Předpokládejme, že existuje involutivní anti-automorfismus σ z G Svatý. žádný (K, K) double coset je σ neměnný. Pak dvojice (G, K) je pár Gelfandů.

Toto kritérium je ekvivalentní tomuto kritériu: Předpokládejme, že existuje involutivní anti-automorfismus σ z G taková, že jakákoli funkce G což je neměnné vzhledem k pravému i levému překladu K. je σ neměnný. Pak dvojice (G, K) je pár Gelfandů.

Reduktivní skupina přes místní pole s uzavřenou podskupinou

V tomto případě existuje kritérium kvůli Gelfand a Kazhdan pro pár (G, K) uspokojit GP2. Předpokládejme, že existuje involutivní proti -automorfismus σ z G takový, že jakýkoli (K, K)-dvojitý invariant rozdělení na G je σ-invariantní. Pak dvojice (G, K) vyhovuje GP2. Vidět.^[3][4][5]

Pokud výše uvedené tvrzení platí pouze pro pozitivní určitý distribuce pak dvojice vyhovuje GP3 (viz další případ).

Vlastnost GP1 často vyplývá z GP2. Například to platí, pokud existuje involutivní proti -automorfismus z G který zachovává K. a zachovává každou uzavřenou třídu konjugace. Pro G = GL (n) provedení může sloužit jako taková involuce.

Lež skupina s uzavřenou podskupinou

V tomto případě existuje pro dvojici následující kritérium (G, K) zobecnit Gelfandův pár. Předpokládejme, že existuje involutivní proti -automorfismus σ z G Svatý. žádný K. × K. invariantní pozitivní určitý rozdělení na G je σ-invariantní. Pak dvojice (G, K) je zobecněný Gelfandův pár. Vidět.^[6]

Kritéria pro silný majetek Gelfand

Všechna výše uvedená kritéria lze změnit na kritéria pro silné páry Gelfandů nahrazením oboustranné akce K. × K. konjugační akcí K..

Kroucené páry Gelfandů

Zobecněním pojmu Gelfandův pár je pojem zkrouceného Gelfandova páru. Jmenovitě pár (G, K) se nazývá zkroucený Gelfandův pár s ohledem na znak χ skupiny K., pokud vlastnost Gelfand platí, když je triviální reprezentace nahrazena znakem χ. Například v případě, kdy K. je kompaktní znamená to, že dimenze Hom_K.(π, χ)) je menší nebo roven 1. Kritérium pro Gelfandovy páry lze přizpůsobit případu zkroucených Gelfandových párů.

Symetrické páry

Vlastnost Gelfand je často uspokojena symetrické páry.

Pár (G, K) se nazývá a symetrický pár pokud existuje involutivní automorfismus θ z G takhle K. je spojení propojených komponent skupiny θ-invariantní prvky: G^θ.

Li G je připojeno reduktivní skupina přes R a K = G^θ je kompaktní podskupina pak (G, K) je pár Gelfandů. Příklad: G = GL (n,R) a K. = O (n,R), podskupina ortogonálních matic.

Obecně je zajímavá otázka, když symetrický pár redukční skupiny nad a místní pole má majetek Gelfand. U symetrických párů první pozice byla tato otázka zkoumána^[7] a^[8]

Příkladem vysoce postaveného Gelfandova symetrického páru je (GL (n + k), GL (n) × GL (k)). To bylo prokázáno v^[9] přes non-archimedean místní pole a později v^[10] pro všechna místní pole charakteristický nula.

Další podrobnosti o této otázce pro vysoce postavené symetrické páry viz.^[11]

Sférické páry

V souvislosti s algebraickými skupinami se nazývají analogy Gelfandových párů sférický pár. Jmenovitě pár (G, K) algebraických skupin se nazývá sférický pár, pokud platí jedna z následujících ekvivalentních podmínek.

• Existuje otevřený (B, K)- dvojitá postel G, kde B je Podskupina Borel z G.
• Existuje konečný počet (B, K)- dvojitá postel G
• Pro jakoukoli algebraickou reprezentaci π z G, máme matný π ^ K ≤ 1.

V tomto případě prostor G / H je nazýván sférický prostor.

Předpokládá se, že jakýkoli sférický pár (G, K) nad místním polem splňuje následující slabou verzi vlastnosti Gelfand: Pro jakékoli přípustné vyjádření π z G, prostor Hom_K.(π,C) je konečný rozměr. Kromě toho hranice pro tuto dimenzi nezávisí π. Tato domněnka je prokázána pro velkou třídu sférických párů, včetně všech symetrické páry.^[12]

Aplikace

Klasifikace

Gelfandové páry se často používají pro klasifikaci neredukovatelných reprezentací následujícím způsobem: Let (G, K) být dvojicí Gelfandů. Volala neredukovatelná reprezentace G K.-liby, pokud Hom_K.(π,C) je jednorozměrný. Zastoupení Ind^G
_K.(C) je vzorem pro všechny K.-rozlišující reprezentace, tj. jakékoli K.-výrazná reprezentace se tam objeví s multiplicitou přesně 1. Podobná představa existuje pro zkroucené Gelfandovy páry.

Příklad: Li G je reduktivní skupina přes místní pole a K je tedy její maximální kompaktní podskupina K. rozlišující reprezentace se nazývají sférický, taková reprezentace mohou být klasifikována prostřednictvím Satake korespondence. Pojem sférické zastoupení je v základu pojmu Modul Harish-Chandra.

Příklad: Li G je rozdělená redukční skupina přes místní pole a K. je jeho maximální unipotentní podskupina pak dvojice (G, K) je zkroucený Gelfandův pár w.r.t. žádný nedegenerovaný charakter see (viz,^[3][13]). V tomto případě K.-rozlišující reprezentace se nazývají obecný (nebo nedegenerované) a lze je snadno klasifikovat. Téměř jakékoli neredukovatelné zastoupení je obecné. Jedinečné (až skalární) vložení generické reprezentace do Ind^G
_K.(ψ) se nazývá a Whittakerův model.

V případě G= GL (n) výše je k dispozici jemnější verze výsledku, konkrétně existuje konečná posloupnost podskupin K._i a postavy ${ displaystyle psi _ {i}}$ Svatý. (G,K._i) je zkroucený Gelfandův pár w.r.t. ${ displaystyle psi _ {i}}$ a jakékoli neredukovatelné jednotné vyjádření je K._i přesně pro jednoho i (vidět,^[14][15])

Konstrukce Gelfand – Zeitlin

Lze také použít Gelfandovy páry pro konstrukci základů pro neredukovatelné reprezentace: Předpokládejme, že máme posloupnost {1} ⊂ G₁ ⊂ ... ⊂ G_n Svatý. (G_i,G_i-1) je silná dvojice Gelfandů. Pro jednoduchost to předpokládejme G_n je kompaktní. Pak to dává kanonický rozklad jakékoli neredukovatelné reprezentace G_n k jednorozměrným subreprezentacím. Když G_n = U (n) (unitární skupina) se tato konstrukce nazývá Gelfand Zeitlin základ. Protože reprezentace U (n) jsou stejná jako algebraická reprezentace GL (n), takže také získáme základ jakékoli algebraické neredukovatelné reprezentace GL (n). Měli byste si však být vědomi toho, že vytvořený základ není kanonický, protože závisí na výběru vložení U (i) ⊂ U (i + 1).

Rozdělení období automorfních forem

Novější použití párů Gelfand je pro rozdělení období automorfních forem.

Nechat G být redukční skupina definovaná nad a globální pole F a nechte K. být algebraickou podskupinou G. Předpokládejme, že pro všechny místo ${ displaystyle nu}$ z F dvojice (G, K.) je pár Gelfandů nad dokončení ${ displaystyle F _ { nu}}$. Nechat m být automorfní forma přes G, pak jeho H- období se rozdělí jako produkt místních faktorů (tj. faktorů, které závisí pouze na chování m na každém místě ${ displaystyle nu}$).

Nyní předpokládejme, že jsme dostali rodinu automorfních forem se složitým parametrems. Potom je obdobím těchto forem analytická funkce, která se rozděluje na součin místních faktorů. Často to znamená, že tato funkce je jistá Funkce L. a to dává analytické pokračování a funkční rovnice pro tuto funkci L.

Poznámka: tato období se obvykle nesbližují a je třeba je usměrňovat.

Zobecnění teorie reprezentace

Možným přístupem k teorii reprezentace je zvážit teorii reprezentace skupiny G jako harmonická analýza ve skupině G w.r.t. oboustranná akce G × G. Opravdu znát všechny neredukovatelné reprezentace G je ekvivalentní znát rozklad prostoru funkcí na G jako G × G zastoupení. V tomto přístupu lze teorii reprezentace zobecnit nahrazením páru (G × G, G) jakýmkoli sférickým párem (G, K). Poté se dostaneme k otázce harmonické analýzy prostoru G / K. w.r.t. akce G.

Nyní Gelfand vlastnost pro pár (G, K) je obdobou Schurovo lemma.

Pomocí tohoto přístupu lze převzít jakékoli pojmy teorie reprezentace a zobecnit je na případ sférických párů. Například relativní stopový vzorec se získává z stopový vzorec tímto postupem.

Příklady

Konečné skupiny

Několik běžných příkladů párů Gelfand je:

• (Sym (n+1), Sym (n)), symetrická skupina jednající na n+1 body a stabilizátor bodu, který je přirozeně izomorfní n bodů.
• (AGL (n, q), GL (n, q)), afinní (obecná lineární) skupina a bodový stabilizátor, který je přirozeně izomorfní s obecná lineární skupina.

Li (G, K) je pár Gelfand, pak (G/N,K./N) je Gelfandův pár pro každého G-normální podskupina N z K.. Z mnoha důvodů to stačí vzít v úvahu K. bez takových normálních podskupin bez identity. Akce G na kosety z K. je tedy věrný, takže se člověk dívá na permutační skupiny G s bodovými stabilizátory K.. Být párem Gelfand je ekvivalentní ${ displaystyle [1_ {K}, chi downarrow _ {K} ^ {G}] leq 1}$ pro každého χ v Irr (G). Od té doby ${ displaystyle [1_ {K}, chi downarrow _ {K} ^ {G}] = [1 uparrow _ {K} ^ {G}, chi]}$ podle Frobeniova vzájemnost a ${ displaystyle 1 uparrow _ {K} ^ {G}}$ je charakter permutační akce, skupina permutací definuje Gelfandův pár právě tehdy, když je permutační znak tzv. bez multiplicity permutační znak. Takové permutační znaky bez multiplicity byly určeny pro sporadické skupiny v (Breuer & Lux 1996 ).

Tak vznikne třída příkladů konečných skupin s Gelfandovými páry: 2-tranzitivní skupiny. A permutační skupina G je 2-tranzitivní pokud stabilizátor K. bodu působí přechodně na zbývajících bodech. Zejména, G the symetrická skupina na n+1 body a K. symetrická skupina zapnuta n body tvoří pár Gelfandů pro každého n≥1. To následuje, protože charakter 2-tranzitivní permutační akce má formu 1+χ pro nějakou neredukovatelnou postavu χ a triviální charakter  1, (Isaacs 1994, str. 69).

Opravdu, pokud G je přechodná permutační skupina, jejíž bodový stabilizátor K. má nejvýše čtyři oběžné dráhy (včetně triviální oběžné dráhy obsahující pouze stabilizovaný bod), pak je její Schurův kruh komutativní a (G, K) je pár Gelfand, (Wielandt 1964, str. 86). Li G je primitivní skupina stupně dvakrát prime s bodovým stabilizátorem K., pak znovu (G, K) je pár Gelfand, (Wielandt 1964, str. 97).

Páry Gelfandů (Sym (n),K.) byly zařazeny do (Saxl 1981 ). Zhruba řečeno, K. musí být obsažen jako podskupina malých index v jedné z následujících skupin, pokud n je menší než 18: Sym (n - k) × Sym (k), Sym (n/ 2) wr Sym (2), Sym (2) wr Sym (n/ 2) pro n sudý, Sym (n - 5) × AGL (1,5), Sym (n - 6) × PGL (2,5) nebo Sym (n - 9) × PΓL (2,8). Byly zkoumány také páry Gelfandů pro klasické skupiny.

Symetrické páry s kompaktním K.

• (GL (n,R), O (n,R))
• (GL (n,C), U (n))
• (Ó(n + k,R), O (n,R) × O (k,R))
• (U (n + k), U (n) × U (k))
• (G, K) kde G je reduktivní Lieova skupina a K. je maximální kompaktní podskupina.

Symetrické páry Gelfandů první pozice

Nechat F být místní pole z charakteristický nula.

• (SL (n + 1, F.), GL (n, F)) pro n > 5.
• (Sp (2n + 2, F.), Sp (2n, F)) × Sp (2,F)) pro n > 4.
• (TAK(PROTI ⊕ F), TAK(PROTI)) kde PROTI je vektorový prostor F s ne-degenerovat kvadratická forma.

Symetrické páry vysoké hodnosti

Nechat F být místní pole z charakteristický nula. Nechat G být reduktivní skupina přes F. Následuje příklad symetrických dvojic Gelfandů vysoké hodnosti:

• (G × G, ΔG): Vyplývá z Schurovo lemma.
• (GL (n + k, F), GL (n, F) × GL (k, F)).^[9][10]
• (GL (2n,F), Sp (2n,F)).^[16][17]
• (Ó(n + k,C), O (n,C) × O (k,C)).^[18]
• (GL (n,C), O (n,C)).^[18]
• (GL (n, E.), GL (n, F)), kde E je kvadratické rozšíření F.^[11][19]

Silné páry Gelfandů

Následující páry jsou silné páry Gelfand:

• (Sym (n+1), Sym (n)), je to prokázáno pomocí involutivní proti -automorfismus g ↦ g⁻¹.
• (GL (n + 1, F.), GL (n, F)) kde F je místní pole z charakteristický nula.^[20][21][22]
• (Ó(PROTI ⊕ F), O (PROTI)) kde PROTI je vektorový prostor F s ne-degenerovat kvadratická forma.^[20][22]
• U (PROTI ⊕ E), U (PROTI)) kde E je kvadratické rozšíření F a PROTI je vektorový prostor E s ne-degenerovat poustevnická forma.^[20][22]

Tyto čtyři příklady lze přeformulovat jako tvrzení, že následující jsou Gelfandovy páry:

• (Sym (n+1) × Sym (n), Δ Sym (n)).
• (GL (n + 1, F.) × GL (n, F), Δ GL (n, F))
• (Ó(PROTI ⊕ F) × O (PROTI), Δ O (PROTI))
• (U (PROTI ⊕ E) × U (PROTI), Δ U (PROTI))

Viz také

• sférická funkce
• Symetrický pár
• Sférický pár

Poznámky

Reference

• Breuer, T .; Lux, K. (1996), „Proměnné znaky sporadických jednoduchých skupin a jejich automorfických skupin bez multiplicity“, Komunikace v algebře, 24 (7): 2293–2316, doi:10.1080/00927879608825701, PAN  1390375
• Isaacs, I. Martin (1994), Teorie znaků konečných skupin, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-68014-9, PAN  0460423
• Saxl, Jan (1981), „O reprezentacích permutací bez multiplicity“, Konečné geometrie a vzory (Proc. Conf., Chelwood Gate, 1980), London Math. Soc. Přednáška Ser., 49, Cambridge University Press, str. 337–353, PAN  0627512
• van Dijk, Gerrit (2009), Úvod do harmonické analýzy a generalizovaných párů GelfandDe Gruyter studuje matematiku, 36, Walter de Gruyter, ISBN  978-3-11-022019-3
• Wielandt, Helmut (1964), Skupiny konečné permutace, Boston, MA: Akademický tisk, PAN  0183775