Kummersova věta - Kummers theorem - Wikipedia

v matematika, Kummerova věta je vzorec pro exponent nejvyšší síly a prvočíslo p který rozděluje daný binomický koeficient. Jinými slovy, dává p-adické ocenění a binomický koeficient. Věta je pojmenována po Ernst Kummer, který to dokázal v následujícím příspěvku: (Kummer 1852 ).

Prohlášení

Kummerova věta říká, že pro dané celá čísla n ≥ m ≥ 0 a prvočíslo p, p-adické ocenění ${ displaystyle nu _ {p} left ({ tbinom {n} {m}} right)}$ se rovná počtu nese když m je přidán do n − m v základna  p.

To lze prokázat písemně ${ displaystyle { tbinom {n} {m}}}$ tak jako ${ displaystyle { tfrac {n!} {m! (n-m)!}}}$ a pomocí Legendrův vzorec.^[1]

Příklady

Pro výpočet největšího výkonu 2 dělení binomického koeficientu ${ displaystyle { binom {10} {3}}}$ psát si m = 3 a n − m = 7 v základně p = 2 tak jako 3 = 11₂ a 7 = 111₂. Provádění sčítání 11₂ + 111₂ = 1010₂ v základně 2 vyžaduje tři nesení. A největší síla 2, která rozděluje ${ displaystyle { binom {10} {3}} = 120 = 2 ^ {3} cdot 15}$ je 2³.

Zobecnění multinomiálních koeficientů

Kummerovu větu lze zobecnit na multinomiální koeficienty ${ displaystyle { tbinom {n} {m_ {1}, ldots, m_ {k}}} = { tfrac {n!} {m_ {1}! cdots m_ {k}!}}}$ jak následuje:

Napište základnu-${ displaystyle p}$ rozšíření celého čísla ${ displaystyle n}$ tak jako ${ displaystyle n = n_ {0} + n_ {1} p + n_ {2} p ^ {2} + cdots + n_ {r} p ^ {r}}$a definovat ${ displaystyle S_ {p} (n): = n_ {0} + n_ {1} + cdots + n_ {r}}$ být součtem základny-${ displaystyle p}$ číslice. Pak

${ displaystyle nu _ {p} left ({ binom {n} {m_ {1}, ldots, m_ {k}}} right) = { dfrac {1} {p-1}} left ( sum _ {i = 1} ^ {k} S_ {p} (m_ {i}) - S_ {p} (n) right).}$

Viz také

• Lucasova věta

Reference

• Kummer, Ernst (1852). „Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen“. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1852 (44): 93–146. doi:10,1515 / crll.1852,44,93.
• Kummerova věta na PlanetMath.