Frattinisův argument - Frattinis argument - Wikipedia

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Srpna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Frattiniho argument“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie skupin, pobočka matematika, Frattiniho argument je důležité lemma v teorii struktury konečné skupiny. Je pojmenován po Giovanni Frattini, který jej použil v článku z roku 1885 při definování Frattini podskupina skupiny. Argument převzal Frattini, jak sám připouští, z papíru Alfredo Capelli datováno 1884.^[1]

Frattiniho argument

Prohlášení

Li ${ displaystyle G}$ je konečná skupina s normální podskupinou ${ displaystyle H}$, a pokud ${ displaystyle P}$ je Sylow p- podskupina z ${ displaystyle H}$, pak

${ displaystyle G = N_ {G} (P) H}$

kde ${ displaystyle N_ {G} (P)}$ označuje normalizátor z ${ displaystyle P}$ v ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle N_ {G} (P) H}$ znamená produkt skupinových podmnožin.

Důkaz

Skupina ${ displaystyle P}$ je Sylow ${ displaystyle p}$- podskupina ${ displaystyle H}$, takže každý Sylow ${ displaystyle p}$- podskupina ${ displaystyle H}$ je ${ displaystyle H}$- konjugát ${ displaystyle P}$, to znamená, že má formu ${ displaystyle h ^ {- 1} Ph}$, pro některé ${ displaystyle h v H}$ (vidět Sylowovy věty ). Nechat ${ displaystyle g}$ být jakýmkoli prvkem ${ displaystyle G}$. Od té doby ${ displaystyle H}$ je normální v ${ displaystyle G}$, podskupina ${ displaystyle g ^ {- 1} str}$ je obsažen v ${ displaystyle H}$. Tohle znamená tamto ${ displaystyle g ^ {- 1} str}$ je Sylow ${ displaystyle p}$- podskupina ${ displaystyle H}$. Pak podle výše uvedeného musí být ${ displaystyle H}$-konjugovat do ${ displaystyle P}$: tedy pro některé ${ displaystyle h v H}$

${ displaystyle g ^ {- 1} Pg = h ^ {- 1} Ph}$,

a tak

${ displaystyle hg ^ {- 1} Pgh ^ {- 1} = P}$.

Tím pádem,

${ displaystyle gh ^ {- 1} v N_ {G} (P)}$,

a proto ${ displaystyle g v N_ {G} (P) H}$. Ale ${ displaystyle g v G}$ bylo svévolné, a tak ${ displaystyle G = HN_ {G} (P) = N_ {G} (P) H. , , čtverec}$

Aplikace

• Frattiniho argument může být použit jako součást důkazu, že jakýkoli konečný nilpotentní skupina je přímý produkt jejích podskupin Sylow.
• Použitím Frattiniho argumentu na ${ displaystyle N_ {G} (N_ {G} (P))}$, lze ukázat, že ${ displaystyle N_ {G} (N_ {G} (P)) = N_ {G} (P)}$ kdykoli ${ displaystyle G}$ je konečná skupina a ${ displaystyle P}$ je Sylow ${ displaystyle p}$- podskupina ${ displaystyle G}$.
• Obecněji, pokud je to podskupina ${ displaystyle M leq G}$ obsahuje ${ displaystyle N_ {G} (P)}$ pro některé Sylow ${ displaystyle p}$- podskupina ${ displaystyle P}$ z ${ displaystyle G}$, pak ${ displaystyle M}$ je samo-normalizační, tj. ${ displaystyle M = N_ {G} (M)}$.

externí odkazy

• Frattiniho argument na ProofWiki

Reference

• Hall, Marshalle (1959). Teorie grup. New York, NY: Macmillan. (Viz kapitola 10, zejména oddíl 10.4.)