Cut-point - Cut-point

v topologie, a cut-point je bod a propojený prostor tak, že jeho odstranění způsobí odpojení výsledného prostoru. Pokud odstranění bodu nevede k odpojení mezer, nazývá se tento bod a bod bez řezu.
Například každý bod čáry je řezným bodem, zatímco žádný bod kruhu není řezným bodem.
Cut-points jsou užitečné k určení, zda jsou dva spojené prostory homeomorfní spočítáním počtu cut-pointů v každém prostoru. Pokud mají dvě mezery různý počet cut-pointů, nejsou homeomorfní. Klasickým příkladem je použití cut-pointů, které ukazují, že čáry a kruhy nejsou homeomorfní.
Cut-points jsou také užitečné při charakterizaci topologické kontinua, třída prostorů, které kombinují vlastnosti kompaktnost a propojenost a zahrnují mnoho známých prostor, jako je jednotkový interval, kruh a torus.
Definice
Formální definice

A cut-point a připojeno T1 topologický prostor X, je bod str v X takhle X - {str} není připojen. Bod, který není bodem řezu, se nazývá a bod bez řezu.
Neprázdný připojený topologický prostor X je a mezní bod pokud je každý bod v X bodem řezu X.
Základní příklady
- A uzavřený interval [a, b] má nekonečně mnoho hraničních hodnot. Všechny body s výjimkou jejích koncových bodů jsou body řezu a koncové body {a, b} jsou body bez řezu.
- An otevřený interval (a, b) má také nekonečně mnoho cut-pointů, jako jsou uzavřené intervaly. Vzhledem k tomu, že otevřené intervaly nemají koncové body, nemá žádné neříznuté body.
- Kruh nemá žádné řezné body a z toho vyplývá, že každý bod kruhu je bodem bez řezu.
Zápisy
- A řezání of X is a set {p, U, V} where p is a cut-point of X, U and V form a oddělení z X- {p}.
- Rovněž lze psát jako X {p} = U | V.
Věty
Cut-body a homeomorfismy
- Cut-points nemusí být nutně zachovány pod spojité funkce. Například: F: [0, 2π] → R2, dána F(X) = (cos X, hřích X). Každý bod intervalu (kromě dvou koncových bodů) je bodem řezu, ale f (x) tvoří kruh, který nemá žádné body řezu.
- Cut-body jsou zachovány pod homeomorphisms. Cut-point je tedy a topologický invariant.
Cut-point a kontinua
- Každé kontinuum (kompaktní připojení Hausdorffův prostor ) s více než jedním bodem, má alespoň dva neprerezané body. Konkrétně každá otevřená množina, která tvoří oddělení výsledného prostoru, obsahuje alespoň jeden bod bez řezu.
- Každé kontinuum s přesně dvěma neřezanými body je homeomorfní s jednotkovým intervalem.
- Pokud K je kontinuum s body a, b a K- {a, b} není spojeno, K je homeomorfní k jednotkové kružnici.
Topologické vlastnosti mezních hodnot
- Nechť X je spojený prostor a x je bod řezu v X tak, že X {x} = A | B. Pak je {x} otevřeno nebo Zavřeno. pokud je otevřeno {x}, jsou uzavřeny A a B. Pokud je {x} zavřeno, A a B jsou otevřené.
- Nechť X je mezní bod. Množina uzavřených bodů X je nekonečná.
Neredukovatelné mezní hodnoty
Definice
Mezní bod je neredukovatelné pokud žádná její řádná podmnožina není mezní bod.
Khalimského linie: Nechte být množina celých čísel a kde je základem pro topologii na . Khalimsky linka je soubor obdařen touto topologií. Je to mezní prostor. Navíc je to neredukovatelné.
Teorém
- Topologický prostor je neredukovatelný prostor cut-point právě tehdy, když X je homeomorfní s Khalimského linií.
Viz také
Bod řezu (teorie grafů)
Reference
- Hatcher, Allen, Poznámky k úvodní bodové sadě topologie, s. 20–21
- Honari, B .; Bahrampour, Y. (1999), "Mezní body" (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 127 (9): 2797–2803, doi:10.1090 / s0002-9939-99-04839-x
- Willard, Stephen (2004). Obecná topologie. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. (Původně publikováno společností Addison-Wesley Publishing Company, Inc. v roce 1970.)