Cut-point - Cut-point

„Krk“ této osmičkové postavy je špičkou.

v topologie, a cut-point je bod a propojený prostor tak, že jeho odstranění způsobí odpojení výsledného prostoru. Pokud odstranění bodu nevede k odpojení mezer, nazývá se tento bod a bod bez řezu.

Například každý bod čáry je řezným bodem, zatímco žádný bod kruhu není řezným bodem.

Cut-points jsou užitečné k určení, zda jsou dva spojené prostory homeomorfní spočítáním počtu cut-pointů v každém prostoru. Pokud mají dvě mezery různý počet cut-pointů, nejsou homeomorfní. Klasickým příkladem je použití cut-pointů, které ukazují, že čáry a kruhy nejsou homeomorfní.

Cut-points jsou také užitečné při charakterizaci topologické kontinua, třída prostorů, které kombinují vlastnosti kompaktnost a propojenost a zahrnují mnoho známých prostor, jako je jednotkový interval, kruh a torus.

Definice

Formální definice

Linka (uzavřený interval) má nekonečně mnoho cut-pointů mezi dvěma koncovými body. Kruh nemá žádný řezný bod. Protože mají různé počty bodů výřezu, čáry nejsou homeomorfní vůči kruhům

A cut-point a připojeno T₁ topologický prostor X, je bod str v X takhle X - {str} není připojen. Bod, který není bodem řezu, se nazývá a bod bez řezu.

Neprázdný připojený topologický prostor X je a mezní bod pokud je každý bod v X bodem řezu X.

Základní příklady

A uzavřený interval [a, b] má nekonečně mnoho hraničních hodnot. Všechny body s výjimkou jejích koncových bodů jsou body řezu a koncové body {a, b} jsou body bez řezu.
An otevřený interval (a, b) má také nekonečně mnoho cut-pointů, jako jsou uzavřené intervaly. Vzhledem k tomu, že otevřené intervaly nemají koncové body, nemá žádné neříznuté body.
Kruh nemá žádné řezné body a z toho vyplývá, že každý bod kruhu je bodem bez řezu.

Zápisy

A řezání of X is a set {p, U, V} where p is a cut-point of X, U and V form a oddělení z X- {p}.
Rovněž lze psát jako X {p} = U | V.

Věty

Cut-body a homeomorfismy

Cut-points nemusí být nutně zachovány pod spojité funkce. Například: F: [0, 2 $π$ ] → R², dána F(X) = (cos X, hřích X). Každý bod intervalu (kromě dvou koncových bodů) je bodem řezu, ale f (x) tvoří kruh, který nemá žádné body řezu.
Cut-body jsou zachovány pod homeomorphisms. Cut-point je tedy a topologický invariant.

Cut-point a kontinua

Každé kontinuum (kompaktní připojení Hausdorffův prostor ) s více než jedním bodem, má alespoň dva neprerezané body. Konkrétně každá otevřená množina, která tvoří oddělení výsledného prostoru, obsahuje alespoň jeden bod bez řezu.
Každé kontinuum s přesně dvěma neřezanými body je homeomorfní s jednotkovým intervalem.
Pokud K je kontinuum s body a, b a K- {a, b} není spojeno, K je homeomorfní k jednotkové kružnici.

Topologické vlastnosti mezních hodnot

Nechť X je spojený prostor a x je bod řezu v X tak, že X {x} = A | B. Pak je {x} otevřeno nebo Zavřeno. pokud je otevřeno {x}, jsou uzavřeny A a B. Pokud je {x} zavřeno, A a B jsou otevřené.
Nechť X je mezní bod. Množina uzavřených bodů X je nekonečná.

Neredukovatelné mezní hodnoty

Definice

Mezní bod je neredukovatelné pokud žádná její řádná podmnožina není mezní bod.

Khalimského linie: Nechte ${ displaystyle mathbb {Z}}$ být množina celých čísel a ${ displaystyle B = { {2i-1,2i, 2i + 1 }: i in mathbb {Z} } pohár { {2i + 1 }: i in mathbb {Z } }}$ kde ${ displaystyle B}$ je základem pro topologii na ${ displaystyle mathbb {Z}}$ . Khalimsky linka je soubor ${ displaystyle mathbb {Z}}$ obdařen touto topologií. Je to mezní prostor. Navíc je to neredukovatelné.

Teorém

Topologický prostor ${ displaystyle X}$ je neredukovatelný prostor cut-point právě tehdy, když X je homeomorfní s Khalimského linií.

Viz také

Bod řezu (teorie grafů)

Reference

Hatcher, Allen, Poznámky k úvodní bodové sadě topologie, s. 20–21
Honari, B .; Bahrampour, Y. (1999), "Mezní body" (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 127 (9): 2797–2803, doi:10.1090 / s0002-9939-99-04839-x
Willard, Stephen (2004). Obecná topologie. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. (Původně publikováno společností Addison-Wesley Publishing Company, Inc. v roce 1970.)