Osgoodova křivka - Osgood curve

Nesmí být zaměňována s Ramberg – Osgoodova křivka vztahující se s napětím v materiálové vědě
Fraktální konstrukce Osgoodovy křivky rekurzivním odstraněním klínů z trojúhelníků. Jak se klíny zužují, zlomek odstraněné oblasti exponenciálně klesá, takže plocha zbývající v konečné křivce je nenulová.

v matematika, an Osgoodova křivka se neprotíná křivka (buď a Jordanova křivka nebo a Jordan arc ) pozitivní plocha.[1] Více formálně se jedná o křivky v Euklidovské letadlo s pozitivním dvojrozměrem Lebesgueovo opatření.

Dějiny

První příklady Osgoodových křivek našel William Fogg Osgood  (1903 ) a Henri Lebesgue  (1903 ). Oba příklady mají kladnou plochu v částech křivky, ale nulovou plochu v jiných částech; tato chyba byla opravena Knopp (1917), Který našel křivku, která má pozitivní oblast v každém sousedství každého z jejích bodů, na základě dřívější konstrukce Wacław Sierpiński. Příklad Knoppu má další výhodu v tom, že jeho oblast lze ovládat jako jakýkoli požadovaný zlomek její oblasti konvexní obal.[2]

Fraktální konstrukce

Ačkoli většina křivky vyplňující prostor nejsou Osgoodovy křivky (mají kladnou plochu, ale často obsahují nekonečně mnoho křižovatek, ale nejsou jordánské), je možné upravit rekurzivní konstrukci křivek vyplňujících prostor nebo jiných fraktální křivky pro získání Osgoodovy křivky.[3] Například Knoppova konstrukce zahrnuje rekurzivní rozdělení trojúhelníků na páry menších trojúhelníků, které se setkávají ve společném vrcholu, odstraněním trojúhelníkových klínů. Když odstraněné klíny na každé úrovni této konstrukce pokrývají stejný zlomek plochy jejich trojúhelníků, výsledkem je a Cesàro fraktál tak jako Sněhová vločka Koch, ale odstranění klínů, jejichž oblasti se zmenšují rychleji, vytváří Osgoodovu křivku.[2]

Konstrukce Denjoy – Riesz

Dalším způsobem, jak zkonstruovat Osgoodovu křivku, je vytvoření dvourozměrné verze Sada Smith – Volterra – Cantor, a úplně odpojen bod nastavený s nenulovou oblastí a poté použít Věta Denjoy – Riesz podle kterého každý ohraničený a zcela odpojená podmnožina roviny je podmnožinou Jordanovy křivky.[4]

Poznámky

  1. ^ Radó (1948).
  2. ^ A b Knopp (1917); Sagan (1994), Oddíl 8.3, Osgoodovy křivky Sierpínského a Knoppa, 136–140.
  3. ^ Knopp (1917); Lance & Thomas (1991); Sagan (1993) ).
  4. ^ Balcerzak & Kharazishvili (1999).

Reference

  • Balcerzak, M .; Kharazishvili, A. (1999), "O nespočetných uniích a křižovatkách měřitelných množin", Georgian Mathematical Journal, 6 (3): 201–212, doi:10.1023 / A: 1022102312024, PAN  1679442.
  • Knopp, K. (1917), „Einheitliche Erzeugung und Darstellung der Kurven von Peano, Osgood und von Koch“, Archiv der Mathematik und Physik, 26: 103–115.
  • Lance, Timothy; Thomas, Edward (1991), „Arcs with positive measure and a space-filling curve“, Americký matematický měsíčník, 98 (2): 124–127, doi:10.2307/2323941, JSTOR  2323941, PAN  1089456.
  • Lebesgue, H. (1903), „Sur le problème des aires“, Bulletin de la Société Mathématique de France (francouzsky), 31: 197–203, doi:10,24033 / bsmf.694
  • Osgood, William F. (1903), „Jordánská křivka pozitivní oblasti“, Transakce Americké matematické společnosti, 4 (1): 107–112, doi:10.1090 / S0002-9947-1903-1500628-5, ISSN  0002-9947, JFM  34.0533.02, JSTOR  1986455, PAN  1500628.
  • Radó, Tibor (1948), Délka a plocha, American Mathematical Society Colloquium Publications, sv. 30, American Mathematical Society, New York, str. 157, ISBN  9780821846216, PAN  0024511.
  • Sagan, Hans (1993), „Geometrizace Lebesgueovy křivky vyplňování prostoru“, Matematický zpravodaj, 15 (4): 37–43, doi:10.1007 / BF03024322, PAN  1240667, Zbl  0795.54022.
  • Sagan, Hans (1994), Křivky vyplňující prostor Universitext, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN  0-387-94265-3, PAN  1299533.

externí odkazy