Důkaz beze slov - Proof without words

Důkaz beze slov Nicomachova věta (Gulley (2010))[úplná citace nutná ]

v matematika, a důkaz beze slov je důkaz identity nebo matematického prohlášení, které lze prokázat jako samozřejmé diagramem bez doprovodného vysvětlujícího textu. Takové důkazy lze považovat za elegantnější než formální nebo matematicky přísné kvůli jejich samozřejmé povaze.[1] Když diagram ukazuje konkrétní případ obecného tvrzení, aby byl důkazem, musí být zobecnitelný.[2]

Příklady

Součet lichých čísel

Důkaz beze slov pro součet vět lichých čísel.

Prohlášení, že součet všech pozitivní lichá čísla až 2n - 1 je a perfektní čtverec - konkrétněji dokonalý čtverec n2—Může být prokázán důkazem beze slov, jak je znázorněno vpravo.[3] První čtverec je tvořen 1 blokem; 1 je první čtverec. Další pruh, vyrobený z bílých čtverců, ukazuje, jak přidáním dalších 3 bloků vznikne další čtverec: čtyři. Další pruh, vyrobený z černých čtverců, ukazuje, jak přidáním dalších 5 bloků vznikne další čtverec. Tento proces může pokračovat neomezeně dlouho.

Pythagorova věta

Důkaz beze slov pro Pythagorovu větu odvozenou z Zhoubi Suanjing.

The Pythagorova věta lze prokázat beze slov, jak je znázorněno na druhém schématu vlevo. Vztah jsou dány dvěma různými metodami určování plochy velkého čtverce

mezi stranami. Tento důkaz je jemnější než výše uvedený, ale přesto jej lze považovat za důkaz beze slov.[4]

Jensenova nerovnost

Grafický důkaz Jensenovy nerovnosti.

Jensenova nerovnost lze také prokázat graficky, jak je znázorněno na třetím diagramu. Přerušovaná křivka podél X osa je hypotetické rozdělení X, zatímco přerušovaná křivka podél Y osa je odpovídající distribuce Y hodnoty. Všimněte si, že konvexní mapování Y(X) stále více "roztahuje" distribuci pro zvyšující se hodnoty X.[5]

Používání

Vizuální důkaz De Bruijnova věta že krabici 6 × 6 × 6 nelze plně naplnit 1 × 2 × 4 kvádry: každý kvádr zabírá přesně 4 bílé a 4 černé kostky, ale existuje více bílých než černých kostek

Matematický časopis a College Mathematics Journal spusťte běžnou funkci nazvanou „Důkaz beze slov“, která, jak název napovídá, obsahuje důkazy beze slov.[3] Umění řešení problémů a USAMTS webové stránky běží Java applety ilustrující důkazy beze slov.[6][7]

Viz také

Poznámky

  1. ^ Dunham 1994, str. 120
  2. ^ Weisstein, Eric W. „Důkaz beze slov“. MathWorld. Citováno 2008-6-20
  3. ^ A b Dunham 1994, str. 121
  4. ^ Nelsen 1997, str. 3
  5. ^ "Jensenova nerovnost", Bulletin of the American Mathematical SocietyAmerická matematická společnost, 43 (8), s. 527, 1937, doi:10.1090 / S0002-9904-1937-06588-8
  6. ^ Galerie důkazů, Umění řešení problémů, vyvoláno 2015-05-28
  7. ^ Galerie důkazů, USA Hledání matematických talentů, vyvoláno 2015-05-28

Reference