Skupina Tate – Shafarevich - Tate–Shafarevich group
v aritmetická geometrie, Skupina Tate – Shafarevich Ш (A/K.), představil Serge Lang a John Tate (1958 ) a Igor Šafarevič (1959 ), z abelianská odrůda A (nebo obecněji skupinové schéma ) definované přes číselné pole K. se skládá z prvků Skupina Weil – Châtelet TOALETA(A/K.) = H1(GK., A) které se stávají triviálními ve všech dokončeních K. (tj p-adická pole získáno od K., jakož i jeho skutečné a komplexní dokončení). Tedy z hlediska Galoisova kohomologie, lze zapsat jako
J. W. S. Cassels (1990, poznámka pod čarou na straně 109), komentující jeho zavedení notace Ш.
Cassels zavedl notaci Ш (A/K.), kde Ш je cyrilice písmeno "Sha ", pro Shafarevicha, nahrazující starší notaci TS.
Prvky skupiny Tate – Shafarevich
Geometricky lze netriviální prvky skupiny Tate – Shafarevich považovat za homogenní prostory A které mají K.proti-racionální body pro každého místo proti z K., ale ne K.- racionální bod. Skupina tedy měří, do jaké míry Hasseův princip nedokáže dodržet racionální rovnice s koeficienty v poli K.. Carl-Erik Lind (1940 ) uvedl příklad takového homogenního prostoru tím, že ukázal, že křivka rodu 1 X4 − 17 = 2y2 má řešení přes realitu a přes všechno p-adická pole, ale nemá žádné racionální body.Ernst S. Selmer (1951 ) dal mnohem více příkladů, jako např 3X3 + 4y3 + 5z3 = 0.
Zvláštní případ skupiny Tate – Shafarevich pro schéma konečné skupiny skládající se z bodů určitého konečného řádu n abelianské odrůdy úzce souvisí s Selmerova skupina.
Tate-Shafarevich dohad
Tate-Shafarevichova domněnka uvádí, že skupina Tate-Shafarevich je konečná. Karl Rubin (1987 ) to prokázalo u některých eliptických křivek hodnosti maximálně 1 s komplexní násobení. Victor A. Kolyvagin (1988 ) rozšířil toto na modulární eliptické křivky nad racionality analytické pozice nejvýše 1. (The věta o modularitě později ukázal, že předpoklad modularity vždy platí.)
Párování Cassels – Tate
Párování Cassels-Tate je a bilineární párování Ш (A) × Ш (A) → Q/Z, kde A je abelianská odrůda a A je jeho dvojí. Cassels (1962) představil toto pro eliptické křivky, když A lze identifikovat pomocí A a párování je alternativní forma. Jádro této formy je podskupinou dělitelných prvků, což je triviální, pokud je pravdivá domněnka Tate – Shafarevich. Tate (1963) rozšířil párování na obecné abelianské odrůdy jako variantu Tate dualita. Možnost polarizace zapnuta A dává mapu z A na A, což indukuje bilineární párování Ш (A) s hodnotami v Q/Z, ale na rozdíl od případu eliptických křivek to nemusí být střídavé nebo dokonce symetrické.
Pro eliptickou křivku Cassels ukázal, že párování se střídá, a důsledkem je, že pokud je pořadí Ш je konečný, pak je to čtverec. U obecnějších abelianských odrůd se někdy po mnoho let nesprávně věřilo, že řád Ш je čtverec, kdykoli je konečný; tato chyba vznikla v příspěvku od Swinnerton-Dyer (1967), který nesprávně citoval jeden z výsledků Tate (1963). Poonen & Stoll (1999) uvedli několik příkladů, kde je řád dvakrát čtvereční, jako je Jacobian určité křivky rodu 2 nad racionálními, jejichž skupina Tate-Shafarevich má řád 2, a Stein (2004) uvedl několik příkladů, kde síla lichého prvočísla dělícího pořadí je lichá. Pokud má abelianská odrůda hlavní polarizaci, pak forma pokračuje Ш je zkosení symetrické, což znamená, že pořadí Ш je čtverec nebo dvakrát čtverec (pokud je konečný), a pokud navíc hlavní polarizace pochází z racionálního dělitele (jako je tomu v případě eliptických křivek), pak se forma střídá a pořadí Ш je čtverec (je-li konečný).
Viz také
Reference
- Cassels, John William Scott (1962), „Aritmetika na křivkách rodu 1. III. Skupiny Tate – Šafarevič a Selmer“, Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 12: 259–296, doi:10.1112 / plms / s3-12.1.259, ISSN 0024-6115, PAN 0163913
- Cassels, John William Scott (1962b), „Aritmetika na křivkách rodu 1. IV. Důkaz Hauptvermutung“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 211 (211): 95–112, doi:10,1515 / crll.1962.211.95, ISSN 0075-4102, PAN 0163915
- Cassels, John William Scott (1991), Přednášky o eliptických křivkách, London Mathematical Society Student Texts, 24, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, PAN 1144763
- Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: úvod, Postgraduální texty z matematiky, 201, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5
- Greenberg, Ralph (1994), „Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives“, in Serre, Jean-Pierre; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L. (eds.), Motivy„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-1637-0
- Kolyvagin, V. A. (1988), „Konečnost E (Q) a SH (E, Q) pro podtřídu Weilových křivek“, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, 52 (3): 522–540, 670–671, ISSN 0373-2436, 954295
- Lang, Serge; Tate, Johne (1958), "Hlavní homogenní prostory nad abelianskými odrůdami", American Journal of Mathematics, 80 (3): 659–684, doi:10.2307/2372778, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372778, PAN 0106226
- Lind, Carl-Erik (1940). Untersuchungen über die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins (Teze). 1940. Univerzita v Uppsale. 97 stran PAN 0022563.
- Poonen, Bjorn; Stoll, Michael (1999), „Párování Cassels-Tate na polarizovaných abelianských odrůdách“, Annals of Mathematics, Druhá série, 150 (3): 1109–1149, arXiv:matematika / 9911267, doi:10.2307/121064, ISSN 0003-486X, JSTOR 121064, PAN 1740984
- Rubin, Karl (1987), „Tate-Shafarevichovy skupiny a L-funkce eliptických křivek s komplexním násobením“, Inventiones Mathematicae, 89 (3): 527–559, Bibcode:1987InMat..89..527R, doi:10.1007 / BF01388984, ISSN 0020-9910, PAN 0903383
- Selmer, Ernst S. (1951), „Diophantinova rovnice ax³ + by³ + cz³ = 0“, Acta Mathematica, 85: 203–362, doi:10.1007 / BF02395746, ISSN 0001-5962, PAN 0041871
- Shafarevich, I. R. (1959), "Skupina hlavních homogenních algebraických variet", Doklady Akademii Nauk SSSR (v Rusku), 124: 42–43, ISSN 0002-3264, PAN 0106227 Anglický překlad v jeho shromážděných matematických dokumentech
- Stein, William A. (2004), „Shafarevich – Tate skupiny nonsquare řádu“ (PDF), Modulární křivky a abelianské odrůdy, Progr. Matematika., 224, Basilej, Boston, Berlín: Birkhäuser, s. 277–289, PAN 2058655
- Swinnerton-Dyer, P. (1967), „Dohady Birch a Swinnerton-Dyer a Tate“, ve Springer, Tonny A. (ed.), Sborník konference o místních polích (Driebergen, 1966), Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 132–157, PAN 0230727
- Tate, Johne (1958), WC skupiny přes p-adická pole, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, 13, Paříž: Secrétariat Mathématique, PAN 0105420
- Tate, Johne (1963), „Věty o dualitě v Galoisově kohomologii nad číselnými poli“, Sborník příspěvků z mezinárodního kongresu matematiků (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, str. 288–295, PAN 0175892, archivovány z originál dne 17.07.2011
- Weil, André (1955), „O algebraických skupinách a homogenních prostorech“, American Journal of Mathematics, 77 (3): 493–512, doi:10.2307/2372637, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372637, PAN 0074084