Kubický povrch - Cubic surface

v matematika, a kubický povrch je povrch v trojrozměrném prostoru definovaný jednou polynomiální rovnice stupně 3. Kubické povrchy jsou základními příklady v algebraická geometrie. Teorie je zjednodušena prací v projektivní prostor spíše než afinní prostor, a tak jsou kubické povrchy obecně považovány za projektivní 3prostor ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$. Teorie se také stává jednotnější zaměřením na povrchy nad komplexní čísla spíše než reálná čísla; Všimněte si, že komplexní povrch má skutečnou dimenzi 4. Jednoduchým příkladem je Fermat kubický povrch

${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3} = 0}$

v ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$. Mnoho vlastností kubických povrchů platí obecněji pro povrchy del Pezzo.

Hladký kubický povrch (Clebschův povrch)

Racionalita kubických povrchů

Ústředním prvkem hladký kubické povrchy X přes algebraicky uzavřené pole je, že jsou všichni Racionální, jak ukazuje Alfred Clebsch v roce 1866.^[1] To znamená, že existuje individuální korespondence definovaná racionální funkce mezi projektivní rovinou ${ displaystyle mathbf {P} ^ {2}}$ minus podrozměrná podmnožina a X minus podrozměrná podmnožina. Obecněji řečeno, každý neredukovatelný kubický povrch (případně singulární) nad algebraicky uzavřeným polem je racionální, pokud to není projektivní kužel přes kubickou křivku.^[2] V tomto ohledu jsou kubické povrchy mnohem jednodušší než hladké povrchy nejméně 4 palce ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$, které nikdy nejsou racionální. v charakteristický nulový, hladký povrch stupně nejméně 4 palce ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ nejsou ani neřízený.^[3]

Clebsch silněji ukázal, že každý hladký kubický povrch v ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ přes algebraicky uzavřené pole je izomorfní s nafouknout z ${ displaystyle mathbf {P} ^ {2}}$ na 6 bodech.^[4] Výsledkem je, že každý hladký kubický povrch nad komplexními čísly je difeomorfní do připojená suma ${ displaystyle mathbf {CP} ^ {2} # 6 (- mathbf {CP} ^ {2})}$, kde znaménko mínus odkazuje na změnu orientace. Naopak vyhodit do povětří ${ displaystyle mathbf {P} ^ {2}}$ v 6 bodech je izomorfní s kubickým povrchem právě tehdy, pokud jsou body v obecné poloze, což znamená, že žádné tři body neleží na přímce a všech 6 neleží na kónický. Jako komplexní potrubí (nebo algebraická rozmanitost ), povrch závisí na uspořádání těchto 6 bodů.

27 řádků na kubickém povrchu

Většina důkazů racionality pro kubické povrchy začíná nalezením čáry na povrchu. (V kontextu projektivní geometrie čára v ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ je izomorfní s ${ displaystyle mathbf {P} ^ {1}}$.) Přesněji, Arthur Cayley a George Salmon v roce 1849 ukázal, že každý hladký kubický povrch nad algebraicky uzavřeným polem obsahuje přesně 27 řádků.^[5] Toto je charakteristický rys kubiky: hladký kvadrický povrch (stupeň 2) je pokryt souvislou rodinou čar, zatímco většina povrchů stupně alespoň 4 palce ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ neobsahují žádné řádky. Další užitečná technika pro nalezení 27 řádků zahrnuje Schubertův počet který vypočítá počet řádků pomocí teorie průniku Grassmannian řádků zapnuto ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$.

Vzhledem k tomu, že se mění koeficienty hladkého komplexního kubického povrchu, 27 čar se pohybuje nepřetržitě. Výsledkem je, že uzavřená smyčka v rodině hladkých kubických povrchů určuje a permutace z 27 řádků. The skupina permutací 27 linek vznikajících tímto způsobem se nazývá monodromy skupina rodiny kubických povrchů. Pozoruhodným objevem z 19. století bylo, že skupina monodromy není ani triviální, ani celá symetrická skupina ${ displaystyle S_ {27}}$; to je skupina objednávky 51840, herectví přechodně na množině řádků.^[4] Tato skupina byla postupně rozpoznávána (autorem) Élie Cartan (1896), Arthur Coble (1915-17) a Patrick du Val (1936)) jako Weylova skupina typu ${ displaystyle E_ {6}}$, skupina generovaná odrazy v 6rozměrném reálném vektorovém prostoru, vztahující se k Lež skupina ${ displaystyle E_ {6}}$ dimenze 78.^[4]

Stejná skupina řádu 51840 může být popsána kombinatoricky, jako automorfická skupina z graf z 27 linek, s vrcholem pro každou linii a hranou, kdykoli se dvě linie setkají.^[6] Tento graf byl analyzován v 19. století pomocí podgrafů, jako je Schläfli dvojitá šestka konfigurace. Doplňkový graf (s okrajem vždy, když jsou dvě čáry nesouvislé) je znám jako Schläfliho graf.

Schläfliho graf

Mnoho problémů týkajících se kubických povrchů lze vyřešit pomocí kombinatoriky ${ displaystyle E_ {6}}$ kořenový systém. Například 27 řádků lze identifikovat pomocí závaží základního zastoupení Lieovy skupiny ${ displaystyle E_ {6}}$. Možné sady singularit, které se mohou vyskytnout na kubickém povrchu, lze popsat pomocí subsystémů systému ${ displaystyle E_ {6}}$ kořenový systém.^[7] Jedním z vysvětlení tohoto spojení je, že ${ displaystyle E_ {6}}$ mřížka vzniká jako ortogonální doplněk k antikanonický třída ${ displaystyle -K_ {X}}$ v Picardova skupina ${ displaystyle operatorname {Pic} (X) cong mathbf {Z} ^ {7}}$s průsečíkovou formou (vycházející z teorie průniku křivek na povrchu). Pro hladký složitý kubický povrch lze Picardovu mříž také identifikovat pomocí kohomologie skupina ${ displaystyle H ^ {2} (X, mathbf {Z})}$.

An Eckardtův bod je bod, kde se setkávají 3 z 27 linií. Většina kubických povrchů nemá Eckardtův bod, ale takové body se vyskytují na a kodimenzionální -1 podmnožina rodiny všech hladkých kubických povrchů.^[8]

Byla dána identifikace mezi kubickým povrchem X a vyhodit do povětří ${ displaystyle mathbf {P} ^ {2}}$ na 6 bodech v obecné poloze, na 27 řádcích X lze zobrazit jako: 6 výjimečných křivek vytvořených vyfukováním do vzduchu, birakční transformace 15 čar skrz páry 6 bodů v ${ displaystyle mathbf {P} ^ {2}}$, a birational transformace 6 kuželoseček obsahující všechny kromě jednoho ze 6 bodů.^[9] Na danou kubickou plochu lze pohlížet jako na výbuch ${ displaystyle mathbf {P} ^ {2}}$ více než jedním způsobem (ve skutečnosti 72 různými způsoby), a tak popis jako zvětšení neodhalí symetrii mezi všemi 27 řádky.

Vztah mezi kubickými povrchy a ${ displaystyle E_ {6}}$ kořenový systém se zobecňuje na vztah mezi všemi povrchy del Pezzo a kořenovými systémy. To je jeden z mnoha Klasifikace ADE v matematice. Při sledování těchto analogií Věra Serganová a Alexej Skorobogatov dal přímý geometrický vztah mezi kubickými povrchy a Lieovou skupinou ${ displaystyle E_ {6}}$.^[10]

Ve fyzice lze 27 řádků identifikovat s 27 možnými náboji M-teorie na šest-dimenzionální torus (6 momentů; 15 membrány; 6 pět jeřábů ) a skupina E₆ pak přirozeně působí jako U-dualita skupina. Tato mapa mezi povrchy del Pezzo a M-teorie na tori je známá jako tajemná dualita.

Speciální kubické povrchy

Hladký komplexní kubický povrch v ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ s největší skupinou automorphism je Fermat kubický povrch, definovaný

${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3} = 0.}$

Jeho skupina automorfismu je rozšířením ${ displaystyle 3 ^ {3}: S_ {4}}$, objednávky 648.^[11]

Dalším nejvíce symetrickým hladkým kubickým povrchem je Clebschův povrch, které lze definovat v ${ displaystyle mathbf {P} ^ {4}}$ dvěma rovnicemi

${ displaystyle x_ {0} + x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + x_ {4} = x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {3} ^ {3} + x_ {4} ^ {3} = 0.}$

Jeho automorfická skupina je symetrická skupina ${ displaystyle S_ {5}}$, řádu 120. Po složité lineární změně souřadnic lze rovnici definovat také Clebschův povrch

${ displaystyle x ^ {2} y + y ^ {2} z + z ^ {2} w + w ^ {2} x = 0}$

v ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$.

Cayleyův uzlový kubický povrch

Mezi singulárními komplexními kubickými povrchy Cayleyův uzlový kubický povrch je jedinečný povrch s maximálním počtem uzly, 4:

${ displaystyle wxy + xyz + yzw + zwx = 0.}$

Jeho skupina pro automorfismus je ${ displaystyle S_ {4}}$, objednávky 24.

Skutečné kubické povrchy

Na rozdíl od komplexního případu není prostor hladkých kubických ploch nad reálnými čísly připojeno v klasice topologie (na základě topologie R). Jeho připojené komponenty (jinými slovy klasifikace hladkých skutečných kubických povrchů až izotopy) byly určeny Ludwig Schläfli (1863), Felix Klein (1865) a H. G. Zeuthen (1875).^[12] Jmenovitě existuje 5 izotopových tříd hladkých skutečných kubických povrchů X v ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$, který se vyznačuje topologií prostoru skutečné body ${ displaystyle X ( mathbf {R})}$. Prostor skutečných bodů je rozdílný ${ displaystyle W_ {7}, W_ {5}, W_ {3}, W_ {1}}$, nebo disjunktní unie ${ displaystyle W_ {1}}$ a 2-koule, kde ${ displaystyle W_ {r}}$ označuje spojený součet r kopie skutečná projektivní rovina ${ displaystyle mathbf {RP} ^ {2}}$. Odpovídajícím způsobem počet skutečných řádků obsažených v X je 27, 15, 7, 3 nebo 3.

Hladký skutečný kubický povrch je racionální R právě tehdy, je-li spojen jeho prostor reálných bodů, tedy v prvních čtyřech z předchozích pěti případů.^[13]

Modul prostor kubických ploch

Dva hladké kubické povrchy jsou izomorfní jako algebraické odrůdy právě tehdy, pokud jsou ekvivalentní nějakým lineárním automorfismem ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$. Geometrická invariantní teorie dává moduli prostor kubických povrchů, s jedním bodem pro každou třídu izomorfismu hladkých kubických povrchů. Tento moduli prostor má rozměr 4. Přesněji řečeno, je to otevřená podmnožina vážený projektivní prostor P (12345), Salmon and Clebsch (1860). Je to zejména racionální čtyřnásobek.^[14]

Kužel křivek

Čáry na kubickém povrchu X přes algebraicky uzavřené pole lze popsat vnitřně, bez odkazu na vložení X v ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$: jsou přesně to (-1) křivky na X, což znamená, že křivky jsou izomorfní ${ displaystyle mathbf {P} ^ {1}}$ které mají vlastní průnik -1. Také třídy čar v Picardově mřížce X (nebo ekvivalentně skupina dělitele dělitele ) jsou přesně prvky u z Pic (X) takové, že ${ displaystyle u ^ {2} = - 1}$ a ${ displaystyle -K_ {X} cdot u = 1}$. (Tím se využívá omezení svazek nadroviny O (1) zapnuto ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ na X je svazek protikusových linií ${ displaystyle -K_ {X}}$tím, že adjunkční vzorec.)

Pro jakoukoli projektivní odrůdu X, kužel křivek znamená konvexní kužel překlenuta všemi křivkami v X (ve skutečném vektorovém prostoru ${ displaystyle N_ {1} (X)}$ 1-cyklů modulo numerické ekvivalence, nebo v homologická skupina ${ displaystyle H_ {2} (X, mathbf {R})}$ pokud je základním polem komplexní čísla). U kubické plochy je kužel křivek překlenut 27 čarami.^[15] Zejména se jedná o racionální mnohostěnný kužel v ${ displaystyle N_ {1} (X) cong mathbf {R} ^ {7}}$ s velkou skupinou symetrie, Weylova skupina z ${ displaystyle E_ {6}}$. Existuje podobný popis kuželu křivek pro jakýkoli povrch del Pezzo.

Kubické povrchy nad polem

Hladký kubický povrch X přes pole k který není algebraicky uzavřený, nemusí být racionální k. V extrémním případě jsou nad racionální čísla Q (nebo p-adic čísla ${ displaystyle mathbf {Q} _ {p}}$) s č racionální body, v jakém případě X rozhodně není racionální.^[16] Li X(k) je tedy neprázdné X je alespoň iracionální přes ktím, že Beniamino Segre a János Kollár.^[17] Pro k nekonečnost, nerozumnost znamená, že množina k-racionální body jsou Zariski hustý v X.

The absolutní skupina Galois z k permutuje 27 řádků X přes algebraický uzávěr ${ displaystyle { overline {k}}}$ z k (prostřednictvím nějaké podskupiny skupiny Weyl z ${ displaystyle E_ {6}}$). Pokud se nějaká oběžná dráha této akce skládá z disjunktních čar, pak X je výbuch „jednoduššího“ povrchu del Pezzo přes k v uzavřeném bodě. V opačném případě, X má Picard číslo 1. (Skupina Picard z X je podskupina geometrické skupiny Picard ${ displaystyle operatorname {Pic} (X _ { overline {k}}) cong mathbf {Z} ^ {7}}$.) V druhém případě to ukázal Segre X nikdy není racionální. Silněji, Jurij Manin prokázal biracní tuhost: dva hladké kubické povrchy s Picardovým číslem 1 nad a perfektní pole k jsou birational právě když jsou izomorfní.^[18] Tyto výsledky například propůjčí mnoho kubických povrchů Q které jsou iracionální, ale nejsou racionální.

Viz také

• Algebraický povrch
• Klasifikace Enriques – Kodaira
• Odrůda Fano
• Schubertův počet

Poznámky

Reference

• Bruce, J. W .; Wall, C. T. C. (1979), „O klasifikaci kubických povrchů“, Journal of the London Mathematical Society, 19 (2): 245–256, doi:10.1112 / jlms / s2-19.2.245, ISSN  0024-6107, PAN  0533323
• Cayley, Arthur (1849), „Na trojitých tečných rovinách povrchů třetího řádu“, Cambridge a Dublin Math. J., 4: 118–138
• Cayley, Arthur (1869), „Monografie o kubických plochách“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně Královská společnost 159: 231–326, doi:10.1098 / rstl.1869.0010, ISSN  0080-4614, JSTOR  108997
• Degtyarev, A. I .; Kharlamov, V. M. (2000), „Topologické vlastnosti skutečných algebraických odrůd: Rokhlinova cesta.“, Ruské matematické průzkumy, 55 (4): 735–814, arXiv:matematika / 0004134, doi:10.1070 / RM2000v055n04ABEH000315, PAN  1786731
• Dolgachev, Igor (2012), Klasická algebraická geometrie: moderní pohled, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9781139084437, ISBN  9781139084437, PAN  2964027
• Robin Hartshorne (1997) [1977]. Algebraická geometrie. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90244-9. PAN  0463157.
• Henderson, Archibald (2015) [1911], Dvacet sedm čar na kubickém povrchu„Cambridge Tracts in Mathematics“, Cambridge University Press, ISBN  978-1107493513, JFM  42.0661.01
• Holzer, Stephan; Labs, Oliver (2006), „Ilustrující klasifikaci skutečných kubických povrchů“ (PDF), Algebraická geometrie a geometrické modelování, Springer, str. 119–134, PAN  2279847
• Iskovskikh, V.A. (2001) [1994], "Kubický hyperplocha", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Kollár, János; Smith, Karen E.; Corti, Alessio (2004), Racionální a téměř racionální odrůdy, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511734991, ISBN  978-0-521-83207-6, PAN  2062787, S2CID  117569533
• Manin, Jurij Ivanovič (1986), Kubické tvaryMatematická knihovna v Severním Holandsku, 4 (2. vyd.), Amsterdam: Severní Holandsko, ISBN  978-0-444-87823-6, PAN  0833513
• Reide, Milesi (1988). Vysokoškolská algebraická geometrie. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-35662-6. PAN  0982494.
• Schläfli, Ludwig (1863), „O distribuci povrchů třetího řádu na druhy s odkazem na absenci nebo přítomnost singulárních bodů a realitu jejich linií“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně Královská společnost 153: 193–241, doi:10.1098 / rstl.1863.0010, ISSN  0080-4614, JSTOR  108795
• Segre, Beniamino (1942), Non-singulární kubické povrchy, Oxford University Press, PAN  0008171
• Serganova, Vera; Skorobogatov, Alexej (2007), „Del Pezzo povrchy a teorie reprezentace“, Algebra a teorie čísel, 1 (4): 393–419, doi:10.2140 / ant.2007.1.393, PAN  2368955
• Silhol, Robert (1989), Skutečné algebraické povrchyPřednášky z matematiky, 1392, Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0088815, ISBN  3-540-51563-1, PAN  1015720

externí odkazy

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Kubický povrch", MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
• Čáry na kubickém povrchu Ryan Hoban (The Experimental Geometry Lab na University of Maryland), založený na díle Williama Goldmana, Demonstrační projekt Wolfram.
• The Krychlové povrchy DVD (54 animací kubických povrchů, ke stažení samostatně nebo jako DVD)