Hasse – Minkowského věta - Hasse–Minkowski theorem

Dva dokončení racionálních čísel, dyadická čísla (zde jsou zobrazena pouze dyadická celá čísla) a reálná čísla. Veta Hasse-Minkowski dává vztah mezi kvadratické formy v pole s číslem a v dokončení číselného pole.

The Hasse – Minkowského věta je zásadním výsledkem v teorie čísel který uvádí, že dva kvadratické formy přes pole s číslem jsou rovnocenné, pouze pokud jsou rovnocenné místně na všech místech, tj. ekvivalent na každém dokončení pole (což může být nemovitý, komplex nebo p-adic ). Souvisejícím výsledkem je, že a kvadratický prostor nad číselným polem je izotropní právě tehdy, pokud je to izotropicky místně všude nebo ekvivalentně, že kvadratická forma nad číselným polem netriviálně představuje nulu právě tehdy, pokud to platí pro všechna dokončení pole. Věta byla prokázána v případě pole racionální čísla podle Hermann Minkowski a zobecněna na číselná pole pomocí Helmut Hasse. Stejné tvrzení platí ještě obecněji pro všechny globální pole.

Důležitost

Význam Hasse-Minkowského věty spočívá v novém paradigmatu, které předkládá pro zodpovídání aritmetických otázek: k určení, zda má rovnice určitého typu řešení v racionálních číslech, stačí otestovat, zda má řešení přes úplná pole skutečných a p-adická čísla, kde analytické úvahy, jako např Newtonova metoda a jeho p-adický analog, Henselův lemma, aplikovat. To je zapouzdřeno v myšlence a lokálně-globální princip, což je jedna z nejzákladnějších technik v aritmetická geometrie.

Aplikace na klasifikaci kvadratických forem

Hasse – Minkowského věta snižuje problém klasifikace kvadratických forem přes číselné pole K. až po rovnocennost se souborem analogických, ale mnohem jednodušších otázek místní pole. Základní invarianty nesingulární kvadratické formy jsou její dimenze, což je kladné celé číslo, a jeho diskriminující modulovat čtverce v K., což je prvek multiplikativní skupiny K.^*/K.^*2. Navíc pro každého místo proti z K., od dokončení je invariant K._proti. V závislosti na výběru proti, toto dokončení může být reálná čísla R, komplexní čísla Cnebo p-adic číslo pole, z nichž každý má různé druhy invarianty:

• Případ R. Podle Sylvestrov zákon setrvačnosti, podpis (nebo alternativně záporný index setrvačnosti) je úplný invariant.
• Případ C. Všechny nesingulární kvadratické formy stejné dimenze jsou ekvivalentní.
• Případ Q_p a jeho algebraické rozšíření. Formy stejné dimenze jsou klasifikovány až do ekvivalence podle jejich Hasse neměnný.

Tyto invarianty musí splňovat některé podmínky slučitelnosti: paritní vztah (znaménko diskriminujícího musí odpovídat zápornému indexu setrvačnosti) a produktový vzorec (lokálně-globální vztah). Naopak pro každou sadu invarianty uspokojující tyto vztahy existuje kvadratická podoba K. s těmito invarianty.

Reference

• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmetika kvadratických forem. Cambridge Tracts v matematice. 106. Cambridge University Press. ISBN  0-521-40475-4. Zbl  0785.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1973). Kurz aritmetiky. Postgraduální texty z matematiky. 7. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90040-3. Zbl  0256.12001.