Manin domněnka - Manin conjecture

Racionální body ohraničené výšky mimo 27 čar Clebsch úhlopříčka kubický povrch.

v matematika, Manin domněnka popisuje domněnkové rozdělení racionálních bodů na an algebraická rozmanitost ve vztahu k vhodnému výšková funkce. Navrhl to Yuri I. Manin a jeho spolupracovníky^[1] v roce 1989, kdy zahájili program s cílem popsat rozdělení racionálních bodů na vhodné algebraické odrůdy.

Dohad

Jejich hlavní domněnka je následující. Pojďme ${ displaystyle V}$ být Odrůda Fano definované nad a pole s číslem ${ displaystyle K}$,nechat ${ displaystyle H}$být výškovou funkcí, která je relativní k antikanonický dělitel a předpokládejme to ${ displaystyle V (K)}$je Zariski hustý v ${ displaystyle V}$. Pak existují neprázdné Zariski otevřená podmnožina ${ displaystyle U podmnožina V}$tak, že funkce počítání ${ displaystyle K}$-racionální body ohraničené výšky, definované

${ displaystyle N_ {U, H} (B) = # {x v U (K): H (x) leq B }}$

pro ${ displaystyle B geq 1}$, splňuje

${ displaystyle N_ {U, H} (B) sim cB ( log B) ^ { rho -1},}$

tak jako ${ displaystyle B až infty.}$Tady${ displaystyle rho}$je hodnost Picardova skupina z ${ displaystyle V}$a ${ displaystyle c}$je kladná konstanta, která později obdržela dohadnou interpretaci Peyre.^[2]

Maninova domněnka byla rozhodnuta pro speciální rodiny odrůd,^[3] ale je stále otevřený obecně.

Reference