Izoperimetrický bod - Isoperimetric point

Isoperimetric point.svg

V geometrii je izoperimetrický bod je speciální bod spojený s a letadlo trojúhelník. Termín původně představil G.R. Veldkamp v příspěvku publikovaném v Americký matematický měsíčník v roce 1985 k označení bodu P v rovině trojúhelníku ABC mít vlastnost, že trojúhelníky PBC, PCA a PAB mít isoperimetry, tedy mít tu vlastnost, která[1][2]

PB + před naším letopočtem + CP = PC + CA + AP = PA + AB + BP.

Izoperimetrické body ve smyslu Veldkampa existují pouze pro trojúhelníky splňující určité podmínky. Izoperimetrický bod trojúhelníku ABC ve smyslu Veldkamp, ​​pokud existuje, má následující trilineární souřadnice.[3]

(s ( A/ 2) cos ( B/ 2) cos ( C/ 2) - 1, s ( B/ 2) cos ( C/ 2) cos ( A/ 2) - 1, s ( C/ 2) cos ( A/ 2) cos ( B/2 ) − 1 )

Vzhledem k libovolnému trojúhelníku ABC lze s ním spojit bod P mající trilineární souřadnice, jak je uvedeno výše. Tento bod je a střed trojúhelníku a v Clark Kimberling je Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) se nazývá izoperimetrický bod trojúhelníku ABC. Je označen jako střed trojúhelníku X (175).[4] Bod X (175) nemusí být izoperimetrický bod trojúhelníku ABC ve smyslu Veldkampa. Pokud je však izoperimetrický bod trojúhelníku ABC ve smyslu Veldkamp existuje, pak by to bylo totožné s bodem X (175).

Bod P s vlastností, že trojúhelníky PBC, PCA a PAB mít stejné obvody byla studována již v roce 1890 v článku od Emile Lemoine.[4][5]

Existence izoperimetrického bodu ve smyslu Veldkampa

Trojúhelník ABC, ve kterém střed trojúhelníku X (175) není izoperimetrický bod ve smyslu Veldkampa.

Nechat ABC být libovolný trojúhelník. Nechť jsou postranní délky tohoto trojúhelníku A, b, a C. Nechť je jeho obvod R a Inradius být r. Nutnou a dostatečnou podmínku pro existenci izoperimetrického bodu ve smyslu Veldkampa lze uvést následovně.[1]

Trojúhelník ABC má izoperimetrický bod ve smyslu Veldkampa právě tehdy A + b + C > 4R + r.

Pro všechny ostré úhlové trojúhelníky ABC my máme A + b + C > 4R + r, a tak všechny akutní úhlové trojúhelníky mají izoperimetrické body ve smyslu Veldkampa.

Vlastnosti

Nechat P označte střed trojúhelníku X (175) trojúhelníku ABC.[4]

  • P leží na linii spojující stimulant a Gergonne bod trojúhelníku ABC.
  • The incircles trojúhelníků PBC, PCA, PAB jsou párové tečny k sobě navzájem. Existuje ještě jeden takový bod, a to stejný objížďkový bod X (176) trojúhelníku ABC.
  • Radikální střed kruhů trojúhelníků PBC, PCA, PAB je P. Existuje ještě jeden takový bod, a to stejný objížďkový bod X (176) trojúhelníku ABC.
  • Li P je izoperimetrický bod trojúhelníku ABC ve smyslu Veldkampa, pak obvody trojúhelníků PBC, PCA, PAB se rovnají 2 Δ / | (4R + r - ( A + b + C)) | kde Δ je oblast, R je cirkadius, r inradius a A, b, C postranní délky trojúhelníku ABC.[6]

Soddy kruhy

Vnitřní a vnější kruhy Soddy v případě, že vnější bod Soddy je izoperimetrický bod ve smyslu Veldkampa.
Vnitřní a vnější kruhy Soddy v případě, že vnější bod Soddy není izoperimetrický bod ve smyslu Veldkampa.

Vzhledem k trojúhelníku ABC lze kreslit kruhy v rovině trojúhelníku ABC se středisky v A, B, a C tak, že jsou navzájem tečně navenek. Obecně lze nakreslit dva nové kruhy tak, že každý z nich je tečný ke třem kruhům s A, B, C jako centra. (Jeden z kruhů se může zvrhnout na přímku.) Tyto kruhy jsou Soddy kruhy trojúhelníku ABC. Kruh s menším poloměrem je vnitřní Soddy kruh a jeho střed se nazývá vnitřní bod Soddy nebo vnitřní centrum Soddy trojúhelníku ABC. Kruh s větším poloměrem je vnější kruh Soddy a jeho střed se nazývá vnější Soddyho bod nebo vnější centrum Soddy trojúhelníku ABC.[6][7]

Střed trojúhelníku X (175), izoperimetrický bod ve smyslu Kimberlinga, je vnější Soddyho bod trojúhelníku ABC.

Reference

  1. ^ A b G. R. Veldkamp (1985). Msgstr "Izoperimetrický bod a body stejné objížďky". Amer. Matematika. Měsíční. 92 (8): 546–558. doi:10.2307/2323159. JSTOR  2323159.
  2. ^ Hajja, Mowaffaq; Yff, Peter (2007). Msgstr "Izoperimetrický bod a bod (body) stejné objížďky v trojúhelníku". Journal of Geometry. 87 (1–2): 76–82. doi:10.1007 / s00022-007-1906-r.
  3. ^ Kimberling, Clark. „Isoperimetric Point and Equal Detour Point“. Citováno 27. května 2012.
  4. ^ A b C Kimberling, Clark. „X (175) izoperimetrický bod“. Archivovány od originál dne 19. dubna 2012. Citováno 27. května 2012.
  5. ^ Článek Emile Lemoine je přístupný v Gallice. Papír začíná na straně 111 a bod je popsán na straně 126.Gallica
  6. ^ A b Nikolaos Dergiades (2007). „Soddy Circles“ (PDF). Fórum Geometricorum. 7: 191–197. Citováno 29. května 2012.
  7. ^ „Soddy Circles“. Citováno 29. května 2012.

externí odkazy