Jacobi – Maddenova rovnice - Jacobi–Madden equation

The Jacobi – Maddenova rovnice je Diophantine rovnice

${ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4} = (a + b + c + d) ^ {4} ,}$

navrhl fyzik Lee W. Jacobi a matematik Daniel J. Madden v roce 2008.^[1][2] Proměnné A, b, C, a d může být jakýkoli celá čísla, kladné, záporné nebo 0.^[3] Jacobi a Madden ukázali, že existuje nekonečno řešení této rovnice se všemi proměnnými nenulovými.

Dějiny

Jacobiho-Maddenova rovnice představuje konkrétní případ rovnice

${ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4} = e ^ {4} ,}$

poprvé navrženo v roce 1772 Leonhard Euler kdo předpokládal, že čtyři jsou minimální počet (větší než jedna) čtvrtých mocnin nenulových celých čísel, který může sčítat až další čtvrtou mocninu. Tato domněnka, nyní známá jako Eulerův součet sil dohad, bylo přirozené zobecnění Fermatova poslední věta, který byl pro čtvrtou moc prokázán Pierre de Fermat sám.

Noam Elkies byl první, kdo našel nekonečnou řadu řešení Eulerovy rovnice s přesně jednou proměnnou rovnou nule, čímž vyvrátil Eulerův součet domněnek mocnin pro čtvrtou mocninu.^[4]

Až do publikace Jacobiho a Maddena však nebylo známo, zda existuje nekonečně mnoho řešení Eulerovy rovnice se všemi proměnnými nenulovými. Bylo známo pouze konečné množství takových řešení.^[5][6] Jedno z těchto řešení, které objevila Simcha Brudno v roce 1964,^[7] přineslo řešení rovnice Jacobi-Madden:

${ displaystyle 5400 ^ {4} + 1770 ^ {4} + (- 2634) ^ {4} + 955 ^ {4} = (5400 + 1770-2634 + 955) ^ {4}. ,}$

Přístup

Jacobi a Madden začali s,

${ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4} = (a + b + c + d) ^ {4}}$

a identita,

${ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + (a + b) ^ {4} = 2 (a ^ {2} + ab + b ^ {2}) ^ {2}}$

Přidávání ${ displaystyle (a + b) ^ {4} + (c + d) ^ {4}}$ na obě strany rovnice,

${ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + (a + b) ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4} + (c + d) ^ {4} = (a + b) ^ {4} + (c + d) ^ {4} + (a + b + c + d) ^ {4}}$

je vidět, že je to zvláštní Pytagorejský trojnásobek,

${ displaystyle (a ^ {2} + ab + b ^ {2}) ^ {2} + (c ^ {2} + cd + d ^ {2}) ^ {2} = { big (} (a + b) ^ {2} + (a + b) (c + d) + (c + d) ^ {2} { big)} ^ {2} = { tfrac {1} {4}} { big (} (a + b) ^ {2} + (c + d) ^ {2} + (a + b + c + d) ^ {2} { big)} ^ {2}}$

Poté použili Brudnovo řešení a jisté eliptická křivka zkonstruovat nekonečnou řadu řešení Jacobi-Maddenovy rovnice.

Další počáteční řešení

Jacobi a Madden si všimli, že jiná výchozí hodnota, jako např

${ displaystyle (-31764) ^ {4} + 27385 ^ {4} + 48150 ^ {4} + 7590 ^ {4} = (- 31764 + 27385 + 48150 + 7590) ^ {4} ,}$

našel Jaroslaw Wroblewski,^[6] by vedlo k jiné nekonečné řadě řešení.^[8]

V srpnu 2015 Seiji Tomita oznámila dvě nová malá řešení rovnice Jacobi-Madden:^[9]

${ displaystyle 1229559 ^ {4} + (- 1022230) ^ {4} + 1984340 ^ {4} + (- 107110) ^ {4} = (1229559-1022230 + 1984340-107110) ^ {4} ,,}$

${ displaystyle 561760 ^ {4} + 1493309 ^ {4} + 3597130 ^ {4} + (- 1953890) ^ {4} = (561760 + 1493309 + 3597130-1953890) ^ {4} ,,}$

které vedly ke dvěma novým sériím řešení konstruovaných metodou Jacobiho a Maddena.

Viz také

• Bealova domněnka
• Prouhet – Tarry – Escott problém
• Číslo taxíku
• Pytagorova čtyřnásobná
• Lander, Parkin a Selfridge domněnka
• Součty sil, seznam souvisejících dohadů a vět

Reference