Vybírá teorém - Picks theorem - Wikipedia

i = 7, b = 8, A = i + b/2 − 1 = 10

Trojúhelník s vrcholy v levém dolním, pravém dolním a pravém horním bodě má i = 12 a b = 14, dávat podle Pickovy věty A = i + b/2 − 1 = 18; to potvrzuje vzorec oblasti trojúhelníku 1/2 × základna × výška = 1/2 × 9 × 4 = 18.

Vzhledem k jednoduchý mnohoúhelník postaveno na mřížce bodů se stejnou vzdáleností (tj. bodů s celé číslo souřadnice) takové, že všechny polygony vrcholy jsou body mřížky, Pickova věta poskytuje jednoduchý vzorec pro výpočet plocha A tohoto mnohoúhelníku, pokud jde o počet i z mřížové body v interiéru v polygonu a číslo b z mřížové body na hranici umístěné na obvodu mnohoúhelníku:^[1]

${ displaystyle A = i + { frac {b} {2}} - 1.}$

V ukázaném příkladu máme i = 7 vnitřní body a b = 8 hraniční body, takže oblast je A = 7 + 8/2 - 1 = 7 + 4 - 1 = 10 čtverečních jednotek.

Věta uvedená výše platí pouze pro jednoduchý polygony, tj. polygony, které se skládají z jediné, neprotínající se hranice (a tedy neobsahují díry). Pro obecný mnohoúhelník se Pickův vzorec zobecňuje na^[2][3]

${ displaystyle A = v - { frac {1} {2}} e_ {b} + h-1}$

kde ${ displaystyle v}$ je počet vrcholů jak na, tak na hranici mnohoúhelníku, ${ displaystyle e_ {b}}$ je počet hran mřížky na hranici mnohoúhelníku a ${ displaystyle h}$ je počet děr v mnohoúhelníku.

Jako příklad zvažte „mnohoúhelník“ vytvořený spojením bodů ${ displaystyle (0,0), (2,0)}$. Má 3 vrcholy, 0 děr a 0 oblasti. Aby vzorec fungoval, musí mít 4 hrany. Jeden tedy musí počítat každou hranu dvakrát, „jednou na každé straně“.

Výsledek poprvé popsal Georg Alexander Pick v roce 1899.^[4] The Reeve čtyřstěn ukazuje, že neexistuje žádná analogie Pickovy věty ve třech rozměrech, která vyjadřuje objem polytopu počítáním jeho vnitřních a hraničních bodů. Existuje však zobecnění ve vyšších dimenzích prostřednictvím Ehrhartovy polynomy.

Důkaz

Zvažte mnohoúhelník P a trojúhelník T, s jedním společným okrajem P. Předpokládejme, že Pickova věta platí pro oba P a T odděleně; chceme ukázat, že to platí i pro mnohoúhelník PT získáno přidáním T na P. Od té doby P a T sdílet hranu, všechny hraniční body podél hrany společné jsou sloučeny s vnitřními body, s výjimkou dvou koncových bodů hrany, které jsou sloučeny do hraničních bodů. Společné volání počtu hraničních bodů C, my máme^[5]

${ displaystyle i_ {PT} = i_ {P} + i_ {T} + (c-2)}$

a

${ displaystyle b_ {PT} = b_ {P} + b_ {T} -2 (c-2) -2.}$

Z výše uvedeného vyplývá

${ displaystyle i_ {P} + i_ {T} = i_ {PT} - (c-2)}$

a

${ displaystyle b_ {P} + b_ {T} = b_ {PT} +2 (c-2) +2.}$

Protože předpokládáme větu pro P a pro T odděleně,

${ displaystyle { begin {aligned} A_ {PT} & = A_ {P} + A_ {T} & = left (i_ {P} + { frac {b_ {P}} {2}} - 1 right) + left (i_ {T} + { frac {b_ {T}} {2}} - 1 right) & = i_ {P} + i_ {T} + { frac {b_ {P} + b_ {T}} {2}} - 2 & = i_ {PT} - (c-2) + { frac {b_ {PT} +2 (c-2) +2} {2 }} - 2 & = i_ {PT} + { frac {b_ {PT}} {2}} - 1. end {zarovnáno}}}$

Pokud tedy věta platí pro polygony konstruované z n trojúhelníky, věta platí také pro polygony konstruované z n + 1 trojúhelníky. Obecně polytopes, je dobře známo, že vždy mohou být trojúhelníkové. Že to platí v dimenzi 2, je snadný fakt. Dokončit důkaz do matematická indukce, zbývá ukázat, že věta platí pro trojúhelníky. Ověření v tomto případě lze provést v těchto krátkých krocích:

• pozorujte, že vzorec platí pro všechny jednotkový čtverec (s vrcholy majícími celočíselné souřadnice);
• z toho odvodit, že vzorec je pro všechny správný obdélník s bočnicemi paralelní k osám;
• nyní to odvodíme pro pravoúhlé trojúhelníky získané řezáním takových obdélníků podél a úhlopříčka;
• nyní lze libovolný trojúhelník přeměnit na obdélník připojením takových pravých trojúhelníků; protože vzorec je správný pro pravé trojúhelníky a pro obdélník, následuje také pro původní trojúhelník.

Poslední krok využívá skutečnosti, že pokud věta platí pro mnohoúhelník PT a pro trojúhelník T, pak to platí také pro P; to lze vidět výpočtem velmi podobným výpočtu výše.

Nerovnost pro konvexní množiny

Nechat ${ displaystyle C}$ být ohraničenou, konvexní oblastí v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$, nemusí být nutně uzavřené. Pak

${ displaystyle | L (C) | leq operatorname {Area} (C) + { frac {1} {2}} operatorname {Perimeter} (C) +1.}$ ^[2]

kde ${ displaystyle L (C)}$ je množina mřížkových bodů v ${ displaystyle C}$, a ${ displaystyle | L (C) |}$ je jejich počet.

Důkazem je převzetí konvexního trupu ${ displaystyle { bar {C}}}$ z ${ displaystyle L (C)}$, což by mělo být považováno za mřížkovou aproximaci ${ displaystyle C}$, pak na něj použijte Pickovu větu.

${ displaystyle { begin {aligned} | L (C) | = | L ({ bar {C}}) | & = operatorname {Area} ({ bar {C}}) + { frac {1 } {2}} B ({ bar {C}}) + 1 & leq operatorname {Area} ({ bar {C}}) + { frac {1} {2}} operatorname { Perimeter} ({ bar {C}}) + 1 & leq operatorname {Area} (C) + { frac {1} {2}} operatorname {Perimeter} (C) +1 end { zarovnaný}}}$

kde ${ displaystyle B ({ bar {C}})}$ je počet hraničních bodů ${ displaystyle { bar {C}}}$, což se rovná počtu jeho hran, a protože každá hrana má alespoň délku 1, ${ displaystyle B ({ bar {C}}) leq operatorname {Perimeter} ({ bar {C}})}$. A krok ${ displaystyle operatorname {Obvod} ({ bar {C}}) leq operatorname {Obvod} (C)}$ používá vlastnost, že mezi dvěma vnořenými, konvexními, uzavřenými křivkami je vnitřní kratší, což je aplikace Croftonův vzorec.

To stále funguje v degenerovaném případě, kdy ${ displaystyle L (C)}$ je na stejném řádku. Jeden musí počítat každou hranu dvakrát, „jednou na každé straně“.

Viz také

• Blichfeldtova věta
• Celočíselné body v konvexní mnohostěně
• Steinhausův longimetr
• Farey sekvence

Reference

externí odkazy

• Pickova věta (Java) na cut-the-uzel
• Pickova věta
• Pickův důkaz věty Tom Davis
• Pickova věta podle Ed Pegg, Jr., Demonstrační projekt Wolfram.
• Weisstein, Eric W. „Pickova věta“. MathWorld.