Pytagorova čtyřnásobná - Pythagorean quadruple

Všechny čtyři primitivní Pythagorovy čtyřnásobky s pouze jednocifernými hodnotami

A Pytagorova čtyřnásobná je n-tice z celá čísla $A$ , $b$ , $C$ a $d$ , takový, že $A 2 + b 2 + C 2 = d 2$ . Jsou to řešení a Diophantine rovnice a často se berou v úvahu pouze kladné celočíselné hodnoty.^[1] Aby však byla zajištěna úplnější geometrická interpretace, lze povolit záporné a nulové celočíselné hodnoty (což umožňuje Pytagorejské trojnásobky jedinou podmínkou je, že $d > 0$ . V tomto nastavení je Pythagorova čtyřnásobná $(A, b, C, d)$ definuje a kvádr s délkami celých stran $| A |$ , $| b |$ , a $| C |$ , jehož úhlopříčka prostoru má celočíselnou délku $d$ ; s touto interpretací se tedy nazývají také Pythagorovy čtyřčata Pythagorovy krabice.^[2] V tomto článku budeme předpokládat, pokud není uvedeno jinak, že hodnoty Pythagorovy čtyřky jsou všechna kladná celá čísla.

Parametrizace primitivních čtyřnásobků

Pytagorejský čtyřnásobek se nazývá primitivní pokud největší společný dělitel jeho položek je 1. Každý pythagorovský čtyřnásobek je celočíselným násobkem primitivního čtyřnásobku. The soubor primitivních pythagorovských čtyřnásobků, pro které $A$ je liché lze generovat podle vzorců

{displaystyle {egin {aligned} a & = m ^ {2} + n ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2}, b & = 2 (mq + np), c & = 2 (nq- mp), d & = m ^ {2} + n ^ {2} + p ^ {2} + q ^ {2}, konec {zarovnáno}}}

kde $m$ , $n$ , $str$ , $q$ jsou nezáporná celá čísla s největším společným dělitelem 1 takovým $m + n + str + q$ je zvláštní.^[3]^[4]^[1] Všechny primitivní Pythagorovy čtyřčata se tedy vyznačují Lebesgueovou identitou^{[je zapotřebí objasnění ]}

{displaystyle (m ^ {2} + n ^ {2} + p ^ {2} + q ^ {2}) ^ {2} = (2mq + 2np) ^ {2} + (2nq-2mp) ^ {2 } + (m ^ {2} + n ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2}) ^ {2}.}

Alternativní parametrizace

Všechny Pythagorovy čtyřky (včetně neprimitivů a s opakováním) $A$ , $b$ a $C$ neobjevují se ve všech možných objednávkách) lze vygenerovat ze dvou kladných celých čísel $A$ a $b$ jak následuje:

Li $A$ a $b$ mít různé parita, nechť $str$ být jakýmkoli faktorem $A 2 + b 2$ takhle $str 2 < A 2 + b 2$ . Pak $C = A 2 + b 2 - str 2 / 2 str$ a $d = A 2 + b 2 + str 2 / 2 str$ . Všimněte si, že $str = d - C$ .

Podobná metoda existuje^[5] pro generování všech Pythagorovských čtyřnásobků, pro které $A$ a $b$ jsou oba sudí. Nechat $l = A / 2$ a $m = b / 2$ a nechte $n$ být faktorem $l 2 + m 2$ takhle $n 2 < l 2 + m 2$ . Pak $C = l 2 + m 2 - n 2 / n$ a $d = l 2 + m 2 + n 2 / n$ . Tato metoda generuje všechny Pythagorovy čtyřky přesně jednou, když $l$ a $m$ projděte všechny dvojice přirozených čísel a $n$ projde všemi povolenými hodnotami pro každý pár.

Žádná taková metoda neexistuje, pokud obojí $A$ a $b$ jsou lichá, v takovém případě neexistují žádná řešení, jak je patrné z parametrizace v předchozí části.

Vlastnosti

Největší číslo, které produkt vždy rozdělí $abeceda$ je 12.^[6] Čtyřnásobek s minimálním produktem je (1, 2, 2, 3).

Vztah s čtveřicemi a racionálními ortogonálními maticemi

Primitivní Pythagorejský čtyřnásobek $(A, b, C, d)$ parametrizováno podle $(m, n, str, q)$ odpovídá prvnímu sloupec z maticová reprezentace $E (α)$ z časování $α (\cdot) α$ podle Hurwitzův čtveřice $α = m + ni + pj + qk$ omezený do podprostoru $ℍ$ překlenul $i$ , $j$ , $k$ , který je dán

{displaystyle E (alpha) = {egin {pmatrix} m ^ {2} + n ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2} & 2np-2mq & 2mp + 2nq 2mq + 2np & m ^ {2} -n ^ {2} + p ^ {2} -q ^ {2} & 2pq-2mn 2nq-2mp & 2mn + 2pq & m ^ {2} -n ^ {2} -p ^ {2} + q ^ {2} end { pmatrix}},}

kde jsou sloupce párové ortogonální a každý má norma $d$ . Kromě toho máme $1 / d E (α) \in SO (3, ℚ)$ a ve skutečnosti Všechno 3 × 3 ortogonální matice s Racionální tímto způsobem vznikají koeficienty.^[7]

Primitivní Pythagorovy čtyřky s malou normou

Existuje 31 primitivních pythagorovských čtyřnásobných, ve kterých jsou všechny položky menší než 30.

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)

Viz také

Reference

^ ^A ^b R. Spira, Diophantinová rovnice $X 2 + y 2 + z 2 = m 2$ , Amer. Matematika. Měsíční Sv. 69 (1962), č. 5, 360–365.
^ R. A. Beauregard a E. R. Suryanarayan, Pythagorovy krabice, Math. Časopis 74 (2001), 222–227.
^ R. D. Carmichael, Diophantinová analýza, New York: John Wiley & Sons, 1915.
^ L.E. Dicksone, Některé vztahy mezi teorií čísel a jinými obory matematiky, ve Villat (Henri), vyd., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Štrasburk, Toulouse, 1921, s. 41–56; dotisk Nendeln / Lichtenštejnsko: Kraus Reprint Limited, 1967; Shromážděná díla 2, str. 579–594.
^ Sierpiński, Wacław, Pythagorovy trojúhelníky, Dover, 2003 (orig. 1962), s. 102–103.
^ MacHale, Des a van den Bosch, Christian, „Zobecnění výsledku o Pythagorových trojcích“, Matematický věstník 96, březen 2012, s. 91-96.
^ J. Cremona, Dopis editorovi, Amer. Matematika. Měsíční 94 (1987), 757–758.

externí odkazy

Carmichael. Diophantinová analýza na Projekt Gutenberg

[Spira-1] A ^b R. Spira, Diophantinová rovnice $X 2 + y 2 + z 2 = m 2$ , Amer. Matematika. Měsíční Sv. 69 (1962), č. 5, 360–365.

[2] R. A. Beauregard a E. R. Suryanarayan, Pythagorovy krabice, Math. Časopis 74 (2001), 222–227.

[3] R. D. Carmichael, Diophantinová analýza, New York: John Wiley & Sons, 1915.

[4] L.E. Dicksone, Některé vztahy mezi teorií čísel a jinými obory matematiky, ve Villat (Henri), vyd., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Štrasburk, Toulouse, 1921, s. 41–56; dotisk Nendeln / Lichtenštejnsko: Kraus Reprint Limited, 1967; Shromážděná díla 2, str. 579–594.

[5] Sierpiński, Wacław, Pythagorovy trojúhelníky, Dover, 2003 (orig. 1962), s. 102–103.

[6] MacHale, Des a van den Bosch, Christian, „Zobecnění výsledku o Pythagorových trojcích“, Matematický věstník 96, březen 2012, s. 91-96.

[7] J. Cremona, Dopis editorovi, Amer. Matematika. Měsíční 94 (1987), 757–758.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)